中考专题复习最短路径问题

1、中考专题复习最短路径问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#中考专题复习路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外 侧面吃食问题；线段（之和）最短问题； 二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题：例1、如右图是一个棱长为4的正方 体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木 块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路 径是 o如右图是一个长方体木块，已知 AB=3, BC=4, CD=2,假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则 蚂蚁爬行的最短路径是 O例2、如图，要在河边修建一个水泵 站，

2、分别向张村、李庄送水，水泵站修 在河边什么地方可使所用/根隹最短。 如图，直线L同侧有两点月1,已知 A、B到直线L徜理喧距离分别为1和 3,两点的水平距离为3.要在直线L上 找一个点P,使PA+PB的和最小。请在 图中找出点P的位置，并计算PA+PB的 最小值。要在河边修建一个水泵站，向张村、 李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河 边的垂直距离分别为1Km和3Km,张村 与李庄的水平距离为3Km,则所用水管 最短长度为 O四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已 知AB二5, BC二3, CD=4,假设一只蚂蚁在点 A处，它要沿着木块侧面爬到点D处， 则蚂蚁爬行的最短路径 是

3、O圆周长为16cm,则所缠金丝带长度的最 小值为 O3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁 要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃 到食物，知圆柱体的高为5 cm,底面圆 的周长为24cm,则蚂蚁爬行的最短路径 为。4、正方形ABCD的边长为8, M在DC上，且DM = 2, N是ACDM的周长声一2、现安锋如图可力的圆柱体侧面A局与B点E间缠一性丝带（金丝带的I J 度忽必不计），圈柱体高为6cm,底幅B上的动A 点，DN+MN的最 小值第4题第6题5、在菱形ABCD中,AB二2, ZBAD=60° ，点 E是中点，P是对角线 ACAB的口 AC上的 D一个动点，则 .BPE+PB的最小值

4、A 为 o6、3图，在ABC 中，AC = BC = 2, ZACB=90°, D 是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值为7、AB 是。的直径，AB=2, 0C 是。0 的半径，0CJ_AB,点D在福庄上，AD =2CD,点P港竦修0C上的一个动点，则AP+PD的品小值为一 一（-）8、如图，点P关于0A、0B的对称点分别为C、D,连接CD,交0A于 M,交 0B 于 N,若 CD = 18cm,则4PMN9、已乡直平会BAB的垂E,且0BAC = 5, BC = 8,则aAEC的周长为10、已知，如图，在aABC中，AB< AC, BC边上的垂直平分线DE

5、交BC于点 D,交AC于点E, AC = 8, £JBE的周长为14,则AB的长。11、如图，在锐角ABC中，AB =4娘，ZBAG=45°, NBAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动 点，则BM+MN的最小值是.12、在平面直角坐标系中，有A (3,- 2) , B (4, 2)两点，现另取一点C(1, n),当 n =时，AC + BC 的值最小.第11题第14题第15题13、AABC 中，NC = 90°, AB = 10, AC=6, BC=8,过 AB 边上一点 P 作 PE±AC 于E, PF_LBC于F, E、F是垂足，

6、则 EF的最小值等于.14、如图，菱形ABCD中，AB=2, ZBAD二60°，点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为 15、如图，村庄A、B位于一条小河的 两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要 建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应 如何选择，才能使A村到B村的路程最 近16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴 分别交于点A (2, 0) , B (0, 4).(1)求该函数的解析式；(2) 0为坐标原点，设0A、AB的中点 分别为C、D, P为0B上一动点，求PC + PD的最小值，并求取得最小值时P点 坐标.(三)16、如图，已知NA0B内有一点

7、 P,试分别在边0A和0B上各找一点E、 F,使得4PEF的周长最小。试画出图 形，并说明理由。17、如图，直线I是第一、三象限的角 平分线.实验与探究：(1)由图观察易知A (0, 2)关于直线 I的对称点A，的坐标为(2, 0),请在 图中分别标明B (5, 3)、C (-2, 5) 关于直线I的对称点夕、C，的位置，并 写出他们的坐标：、C，: 归纳与发现： (2)结合以上 三组点的坐标， 你会发现：坐标 平面内任一点P (a, b)关于第 一、三象限的角 平分线I的对称 点P，的坐标为:运用与拓广：(3)已知两点 D (1, -3)、E (-1, -4),试在直线I上确定一点Q,使点

8、Q到D、E两点的距离之和最小，并求出 Q点坐标.18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个 定点.问题：在直线L上确定一点P, 使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线/的对称点4, 连结A'8交/于点P,则24 + 03 = 43的值最小(不必证明).模型应用：(1)如图1,正方形A8CO的边长为2, E为AB的中点,P是AC上一动 点.连结 BD,由正 形对称性可 知，B与D 于直线AC 对称.连结ED丈AC于P,则总+ PE的最小值是(2)如图2, 的半径为2,点4 B、C在。O上 OA±OBZAOC = 60。，POB 上一动'点、,求PA + P

9、C的最小值；(3)如图 3, NAOB=45° , P 是 NAOB解得：a =-,b = ,c = 0.所求抛物线解析式为A BOC 的周长二QMC+iB+BC+CA.解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否 存在点C,使BOC的周长最小若存 在，求出点C的坐标；若不存在，请说 明理由.(注意：本题中的结果均保留 根号)解：(1)过点B作BD_L戈轴于点D, 由已知可得：0B=0A=2, NB0D=60.在 RtZkOBD 中，Z0DB=90- , Z0BD=30'.0D=1, DB=V3点B的坐标是(1, G).(2)设所求抛物线的解析式为y = ax2 +bx +

10、c 9由已知可得：解得：k= ,b = -.直线AB的33解析式为V =x +33内一点，P0=10, Q、R分别是OA、0B上 的动点，求PQR周长的最小值.19问题与好I(内如舱，四边形48於促»pa施上的一个动点，股号声岛囱最不轨；质I 1NZ(2)如图，若四边形A3CQ是菱形，AB = 10。，ZABC = 45° , E 为边8c上的一个4点，P为BD上的一个动点，求PC + PE的最小值；问题解决(3)如图，若四边形ABCD 是矩形，AB = 1 °。"，BC = 20cm E 为边际，的一勺*、, P为BD上的 一个动，柒，求修PE的最小发

11、y 20.如图，磷“生标系中/ 标为(力)/、：结0%。/ / 绕原点 诲时1找牙著 OB. y ="+ ,则有：" 一囱2k + b = 0 E C(1)求点B的坐标；(2)求经过A、0、B三点的抛物线的<3）存在.B(也写用顶点坐标公式求出)V0B=2,要使B0C的周长最小，必须 BC+C0最小.,点。与点A关于直线入二-1对称，有 C0=CA.当A、C屋点、共线，即点C为直线 AB与梦，对稽轴的交点时，BC+CA最 dyXstABOC的周长最小.线AB的解*式为求点C的坐标为（一 1,中）.21 >如图，抛物线y = C+Z?x + c的顶：.ZOCff=

12、60° ,同理可求N0=30° . A ZAC3=90°6分由旋转性质可知4?=融，BC=AD点户的坐标为,交x轴于A 6两点，交y轴于点。（0，-褥）.（1）求抛物线的表达式.（2）把/力绕的中点E旋转180° ,得到四边形判断四边形4妙的形状，并说明 理由.（3）试问在线段彳C上是否存在一点 F,使得阳D的周长最小，若存在，请写由点尸的坐标；若 不存在，请说明理由.解：（1）由题意知M.2>/3解得弋，5 =-3分（列出方程组给1分，解出 给2分）抛物线的解析式为）,卓邛3，分（2）设点彳（/，0） , B（工2,0）,则学一乔=0,解得玉=1

13、, -V, = 35分 OA | =1, OB =3.义：tanNOCB='2 =6oc（3）延长8C至此慢CN = CB.假设 存在一点尸，使曲的周长最小.即FD + FB + DB最小.破固定长.只要。用最小.义,： CA1BN:FHFB=FlhFN.当M F、。在一条直线上时， 。小最小.10分义： C为BN的中点,:.FC = -AC （即尸为/C的中点）.2又/ （-1, 0） , C （0, 一木）点尸的坐标为尸（一1,正）22存在这样的点尸（-1,2-E）,使得胸的周长最小.一12分22.已知：直线y = 1工+ 1与y轴交于 2A,与K轴交于。，抛物线y = ；/+/?

14、x + c与直线交于4、£两点,与X轴交于8、C两点，且8点坐标为(1, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)动点，在大轴上移动，当外£是 直角三角形且以，为直角顶点时，求点 ，的坐标.(3)在抛物线的对称轴上找一点制，使 IAM-MCI的值景大，求出点附的坐 标.答案：(1)将/ (0, 1) , B (1, 0)坐 标代入y = ；/ +x + c得.AO OP由=PF EF，此时的点。的坐标为(1, 0)或(3, 0) .分(3)抛物线的对称轴为33% = -e :B、C关于工=二对称，J22MC = MB.最大.y当 4、8、BCJ。由三角形两边之吁第三边得，上时 IAM-M8I要使IAM-MCI最大，即是使解得/? = -2c = 1易知直关熊的解折式为V = -X + l 工抛物线的解折式为1.22(2)设点