2024年高中学业水平合格性考试数学模拟试卷试题（含答案详解）

20224普通高中学业水平考试模拟试卷

数学

（时间：120分钟；分值：100分）

第I卷（选择题，共48分）

一、选择题（本大题共16题，每小题3分，共计48分.每小题列出的四个选项中只有一项

是最符合题目要求的）

1.已知集合“/+x=o},则（）

A.{0}eMB.0GMC.D.-IGA/

2.已知7=3/+,则v的取值范围为（）

A.(-OO,-4]U[4,+CO)B.(-OO,-2]U[2,+CO)C.(0,+℃)D.[V6,+oo)

3.若关于x的不等式-2<0在区间［1,5］上有解，则实数。的取值范围是（）

A.B・C（—巩1）D.

4.已知函数了=/（x）的图象关于x=l对称，且在（1,+8）上单调递增，设-£|,b=/（2）,c=/（3）,

则。、b、。的大小关系为（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

5.函数/（x）=Jr2+5x+6的定义域（）

A.(-oo,-l]u[6,+oo)B.(-oo,-l)u[6,+oo)C.(-1,6]D.[2,3]

9

6.log3—+21og310=()

A.0B.1C.2D.3

7.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设/为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级7可定

义为/=0.61g/.2021年6月22日下午宁夏/市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日宁夏3市发生里氏

4.3级地震，则3市地震所散发出来的能量是/市地震所散发出来的能量的（）倍.

A.2B.10C.100D.1000

47r

8.如果函数尸3cos（2x+p）的图象关于点（5,0）对称，那么阳的最小值为（）

试卷第1页，共4页

7171

A.—B.

6~4

71

C.D.-

T2

7J7

A.B.C.D.

9339

10.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是

()

71—兀„7t一

A.—B.—C.--D.--

363

11.已知向量a,b满足同=1,a-b=—1,则a《2a-b)=

A.4B.3C.2D.0

12.已知三棱锥/-BCD的所有顶点都在球。的球面上，且431平面BCD,AB=2y/3,AC=AD=4,

CD=2V2,则球。的表面积为（）

A.20万B.18〃C.36万D.24%

13.如图是某公司2020年1月到10月的销售额（单位：万元）的折线图，销售额在35万元以下为亏损，超过

35万元为盈利，则下列说法错误的是（）

A.这10个月中销售额最低的是1月份

B.从1月到6月销售额逐渐增加

C.这10个月中有3个月是亏损的

D.这10个月销售额的中位数是43万元

14.将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为。和6,则Ina-In此0的概率是（）

试卷第2页，共4页

15.已知e是自然对数的底数，设a=lge,6=22,c=k>g10.2,则。也。的大小关系是（）

3

A.c<b<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

16.已知x是实数，贝!]“x>2”是“》2+4》一12>0''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

第n卷（非选择题，共52分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分）

17.已知幕函数了=加尤"（加,"€©的图象经过点（2,8）,则.

C0S（7T一夕）-2COsI--F0I（、

18.已知一7---——旧—1=2,则tan0+9=________.

sin+sin（^-+6»）、

19.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是.

20.复数6+52与-3+4,分别表示向量次与赤，则表示向量0的复数为.

三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤）

21.已知集合力=lx|x2-2x<oj,B=f^x\2+a<x<l-a,aE

（1）当Q=-1时，求CR（4U5）；

（2）若4c5=0,求。的取值范围.

22.已知集合A={x\y=ln（x-2+“）}（“wR）,B=|x|——|>oj>.

（1）当4=1时，求（6RB）；

（2）若xe/是的充分条件，求实数。的取值范围.

23.已知函数f（x）=sin2x+V3sinxcosx.

（I）求/（x）的最小正周期；

（II）若“X）在区间-上的最大值为:，求加的最小值.

24.如图：在三棱锥中，平面NBC,A4BC是直角三角形，48=90。，AB=BC=2,

ZPAB^45°,点。、E、尸分别为NC、AB、的中点.

试卷第3页，共4页

p

(1)求证：EF±PD；

(2)求直线P尸与平面PBO所成角的大小;

(3)求二面角尸尸-5的正切值.

25.某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力

的测试，其测试结果如下表:

维能力一般良好优秀

运动协调病

一代221

良好4b1

优秀13a

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人，由于部分数据丢失，只知道从这20位参加

测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为g.

(1)求。、b的值;

(2)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.

A-i-C

26.AZ8C的内角42,C的对边分别为a,6,c,已知asin-------=bsinA.

2

(1)求B；

(2)若AA8C为锐角三角形，且c=l,求A43C面积的取值范围.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】先求得集合再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.

【详解】因为集合/+X=0}={0,-1},所以-leM,

故选：D.

2.D

【解析】直接利用基本不等式求解即可，解答过程注意等号成立的条件.

【详解】Vx2>0,

J"—y/6，

当且仅当3x?=工，即一=逅时，等号成立,

2/6

•..y的取值范围为［庭,+00）,

故选：D.

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条

件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否

则会出现错误.

3.C

【解析】用分离参数法转化为求函数的最值.

【详解】因为关于x的不等式/+办-2<0在区间［1,5］上有解,

所以""匚=乙7在［1,5］上有解，

XX

易知）=2-%在工5］上是减函数，所以工£［1,5］时，\--x］=2-1=1,

%57max

所以a<1.

故选：C

4.B

【分析】分析可得.==利用函数y=/（x）在…上的单调性可得出.b、C的大小关系.

【详解】因为函数y=/（x）的图象关于x=i对称，则°=一=

因为函数y=f（x）在。,+8）上单调递增,且1<2<g<3,

所以，/（2）</f|j</（3）,即b<a<c.

答案第1页，共13页

故选：B.

5.C

-%2+5x+6^0

【分析】解不等式组x+川得出定义域

-%2+5x+620

【详解】解得-1<X6

x+1w0

即函数“尤）的定义域（T6]

故选：C

6.C

【分析】利用对数的运算法则求解.

99

【详解】log—+2log10=log—+log100=log—xl00|=2

33333100)

故选：C.

7.C

3.14.3

【分析】确定4=10荷，/,=10荷，相除得到答案.

3.14.3

【详解】y=0.61g，=3.1,故/「=10正;7=0.61g/?=4.3,故A=io靛；

4.3

T1Q0.6空一网

"=二^=10。6。6=100.

T11

110°6

故选：C.

8.A

【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.

47r47rTC

【详解】因函数y=3cos（2x+9）的图象关于点（手,0）对称，则有2・<+夕=左左+]/eZ,

TTTT

于是得。=（左-2）%-显然夕=（左-2）万对于左eZ是递增的，

66

..,_.7t.।71、“•，_„57r..57r

而上=2时，（p=--,|°|=7，当左=3时t，（p=—,\（p\=--,

6666

TT

所以阳的最小值为J.

6

故选：A

9.A

答案第2页，共13页

【解析】根据sinL=；,利用诱导公式得到cosU再由cos(12o|=cos需+a|],利用

二倍角公式求解.

【详解】因为sin

£

所以COS

3

71T=[

所以cos+2a\=cos12—+6Z2cod\—+a

音(3

故选：A

10.B

【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为

O

TT

【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转2弧度.

6

故选B.

【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题.

11.B

【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：因为鼠(2力)=27H2由2-(-1)=2+1=3,

所以选B.

点睛：向量加减乘：万±B=(X]±X2，M土%)，万2=02,6.5=同.问cosR.a

12.A

【分析】根据481平面BCD，得到AB1BD,再由｛3=2百，4C=AD=4,8=20,得到

BCLBD,则三棱锥/-BCD截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.

【详解】因为481平面BCD,

所以43/BC,ABLBD,

：.BC=BD=%-(26¥=2,

在△BCD中，CD=272,

CD-=BC2+BD-,

BC1BD.

答案第3页，共13页

如图所示:

三棱锥A-BCD的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，

设球O的半径为R,则27?=BA2+BC2+BD2=｛（2®+2?+2?=275,

解得火=石，

所以球。的表面积为20兀，

故选：A.

13.B

【解析】根据折线图观察销售额最低的月份判断A；观察从1月到6月销售额的变化情况判断B;比较各

月份销售额是否低于35万元判断C;求出这10个月的中位数判断Z）.

【详解】根据折线图知，这10个月中销售额最低的是1月份，为30万元，所以A正确；

从1月到6月销售额是先增加后减少，再增加，所以3错误；

1月，3月和4月的销售额低于35万元，其它月份都高于35万元，所以C正确；

这10个月的销售额从小到大排列为30,32,34,40,41,45,48,60,78,80万元，

其中位数是;x（41+45）=43万元，所以。正确.

故选：B

14.C

【分析】以（见6）作为一个基本事件，可知基本事件总数为36,列举出满足ln“-lnb20的所有基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】以6）作为一个基本事件，可知基本事件总数为36,

由Ina-lnbZO可得，即

满足不等式Ino-ln业0所包含的基本事件有：（1,1）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、

答案第4页，共13页

（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）,共21个,

217

因此，所求事件的概率为尸.

3612

故选：C.

【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.

15.D

【分析】利用分段的方法，得到。<!<6<l<c,由此确定正确选项.

2

I—1」

［详解］因为a=lge<lgM=w，b=22c=log0.2>log-=,所以a<6<c.

aa3

故选:D

16.A

【分析】由一+4x—12>0得x〉2或x<-6,再利用充分不必要条件定义判断得解.

【详解】解：由%2+4%一12>0得（%-2）（%+6）>°得了〉2或1<-6,

因为当x>2时，1>2或工<一6成立，

当x〉2或％<-6时，x>2不一定成立，

所以“〉”是的的充分不必要条件，

x2+4X-12>0”

故选：A.

17.-2

【解析】根据幕函数的定义确定加的值，再由函数图象经过点（2,8）,代入可得〃，进而可得所求.

【详解】由函数>=妙"（加,〃£区）为幕函数，可知加=1,

故V=£,

由函数图象经过点（2,8）,

所以2〃=8,即〃=3,

故加一〃=1-3二-2,

故答案为：一2.

【解析】首先利用诱导公式对已知条件化简可得一^^=2再利用化弦为切可得tan。的值，再利用

cos0-sin0

两角和的正切公式将tan£展开即可求解.

答案第5页，共13页

cos(^--0)-2cosI—+6jn_

室在【2)-cos0+2sin。

【详解】——7------S----------------=------7―F-=2

•万)

sinIy-0ZI+,si•n/(»+I9m)cos"-sin"

7+2tan"=2,可得4tang=3,解得tan6=3,

1—tan64

八兀31

/\tan6+tan――bl

所以tane+g=----------------=—=7,

11l-tan0tan—1----xl

44

故答案为：7

19.24%

【详解】试题分析：正四棱柱的高是4,体积是16,则底面边长为2,底面正方形的对角线长度为

、停运=&后所以正四棱柱体对角线的长度为痴了二士百，四棱柱体对角线为外接球的直径，所

以球的半径为.而，所以球的表面积为5=4e2=4万.6=24万.

考点：正四棱柱外接球表面积.

20.9+z

【分析】根据第=9-历及向量的复数表示运算得到答案.

【详解】复数6+5?•与-3+4.分别表示向量次与历，

-：^A=OA-OB所以表示向量防的复数为(6+5。-(-3+旬=9+，.

故答案为：9+/.

【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题.

21.(1)(-<»,0)U(2,+oo)(2)

【解析】(1)代入。=-1,求出集合48,可得a(/口8)；

(2)分8=0,8W0讨论求解。的取值范围.

【详解】(1)-A=[0,2],

当a=T时，5=[1,2],

则/U8=(O,2),

...CR(ZU3)=(-S,0)U(2,+S)；

(2)-：AC\B=0,

答案第6页，共13页

当8=0时，贝!)l-a<2+a,得

2

当8x0时，贝时，得1-a<0或2+a>2,解得a>0,不满足要求，

综上所述，a>-1.

【点睛】本题考查集合的基本运算，注意不要遗漏/cB=0时，8=0的情况，是基础题.

22.(1){x|l<x<3}；(2)

【解析】(1)先求出集合/,8和金8,再利用交集运算即得结果；

(2)先根据充分不必要条件得到集合力,3的包含关系，再列关系计算即可.

【详解】解：(1)•••8=卜k<-2或x>3},.•.«8=卜|一2《》W3},

当。=1时，A=[x]x>l]f因此，4门«8={%|1<%«3}；

(2)〈xe/是xeB的充分条件，=

又Z={x|x〉2-。},5={%,<-2或x〉3}

・・・2—〃23,解得QW—1.

因此，实数。的取值范围是(-'-1].

【点睛】关键点点晴：xe/是xeB的充分条件即为4=8.

兀

23.(I)兀；(II)

3

27r

【分析】⑴将八、)化简整理成"x)=/sin(s+e)的形式，利用公式丁=「可求最小正周期；(II)根据

TT1T

可求2*-二的范围，结合函数图象的性质，可得参数加的取值范围.

36

【详解】(I)f(x]=--C°S^X4--sin2x=-sin2x--cos2x+—=sinf2x-—,

所以/(x)的最小正周期为7=|=九

(II)由(I)知/(x)=sin(2x-.

TTjr5兀「兀

因为xe~~,m,所以2x-：e-----,2m----

_3J666

jra

要使得"尤)在-上的最大值为

即2x）在jr

sinf-%--,m上的最大值为1.

答案第7页，共13页

所以2加一四2四，即加2工.

623

所以用的最小值为g.

点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简

时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.

24.（1）证明见解析；（2）arcsin^。；（3）—.

102

【详解】试题分析：以分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算方.历=o,

可得两直线垂直；（2）计算直线PF的方向向量和平面尸BD的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函

数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面平面8尸尸的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余

弦值，然后转化为正切值.

试题解析：

解法一（1）连接AD.在A48C中，28=90°.

VAB=BC,点。为ZC的中点，

，BDLAC.

又•.•P2_L平面/BC,即AD为尸。在平面48c内的射影，，尸O_LZC.

；E、尸分别为48、3C的中点,

J.EF//AC,

：.EFVPD.

（2）•,・P。_L平面/3C,PBLEF.

连结8。交E尸于点O,EF_LPB,EF_LPD,；.EF，平面产BD,

/五尸。为直线与P尸平面PBD所成的角，EF1PO.

答案第8页，共13页

•.•尸2_1_面/3。，PB1AB,PB1BC,又♦；NPAB=45°,

PB=AB=2OF=-AC=—,••PF=\PB?+BF°=B

42

在RtNEPO中，sinFPO=ZFPO=arcsin,

PF1010

即直线PF与平面PBD所成角的大小为arcsin—.

10

(3)过点3作加欣_L尸尸于点M,连结EN,VABLPB,ABIBC,

NB_L平面P3C,即敏为在平面P8。内的射影，

EM1PF,NEMB为二面角E-尸尸-8的平面角.

PBBF2

:.RtAPBF中,BM=,

PFJ5

Atan£M3=—=—,即二面角E-尸尸一5的正切值为日.

BM22

解法二建立空间直角坐标系3-xyz,如图

P

则8(0,0,0),1(2,0,0),C(0,2,0),。(1,1,0),E(l,0,0),尸(0,1,0),尸(0,0,2).

(1).\£F=(-1,1,0),TO=(1,1,-2),

EFPD=-l+l=Q>

：.EF±PD.

(2)由己知可得而=为平面的法向量，-；|p：,1^11；,

/布—\方•访1M

•cos{Pr,Er)=,...—T==--

"、./M跖IVioio，

直线PF与面PBD所成角的正弦值为四.

10

答案第9页，共13页

/.直线PF与面PBD所成角的为arcsin".

10

(3)设平面尸斯的一个法向量为3=(x,%z),

.-.£F=(-l,l,O),PF=(O,l,-2),

aEF=-x+y=Q,aPF=y-2z=0,令z=l,

/.a=(2,2,1).

由已知可得，向量或=(2,0,0)为平面尸8尸的一个法向量,

二面角£-尸尸-8的正切值为

2

考点：空间线面关系的证明，求面面角.

3

25.(1)〃=2,b=4；(2)

【详解】试题分析：(1)根据抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为:，可得彳/=g，从而可得。=2,

进而可得6=4；(2)运动协调能力为优秀的学生从中任意抽取2位，共有15种，其中至少有一位逻辑思维

能力优秀的学生的情况共有9种，根据古典概型概率公式可得结果.

试题解析：(1)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2+4)人，

设事件A：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则尸(小芸4，

解得a=2,所以6=4.

(2)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为加「M2,M.,M4,M5,M6.其

中和&为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.从中任意抽取2位，可表示为M,M3,

M,M4,MXM5,MXM6,M2M3,M2M4,M2MS,M2M6,M3M4,M3M5,M3M6,M4M§,M4M6,M5M6,

共15种可能.

设事件B：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生，

事件3包括M\M$,M2M5,M2Ms，M3M5,M3M6,M4M5,M4M6,M5M6,共9种可能.

答案第10页，共13页

所以四曲-3.

H-5,'5.

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为：3.

考点：古典概型概率公式的应用.

26.(1)3=?;(2)占当

Jo2

TT

【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得3=

(2)根据三角形面积公式邑”c=gac-sin8,又根据正弦定理和c=l得到工^关于C的函数，由于是

锐角三角形，所以利用三个内角都小于擀来计算C的定义域，最后求解S“BC(C)的值域.

【详解】(1)

［方法一］【最优解：利用三角形内角和为乃结合正弦定理求角度】

由三角形的内角和定理得

71B

止匕时asin-----=bsinA就变为asin=6sin/.

2

71B=cos-,所以acosO=bsin/.

由诱导公式得sin

22

在^ABC中，由正弦定理知a=2&sin46=2HsinB,

止匕时就有sinAcos一=sinAsinB,即cos—=sin5,

22

再由二倍角的正弦公式得COS与=2sin与cos与，解得8=J.

2223

［方法二］【利用正弦定理解方程求得C0S3的值可得的值】

由解法1得sinW；=sinB,

2

〃曰.2Z+C>2r>an11COS(/+C).?

两边平方得sin-----=sinB,即------------=sinB.

22

又4+_B+C=180°,BPcos(A+C)=-cosB,IU1+cosB=2sin2B,

进一步整理得2cos之B+cos5-l=0，

|JT

解得cos3=一,因此6=—.

23

［方法三］【利用正弦定理结合三角形内角和为万求得4丛。的比例关系】

A-L.CA+C

木艮据题意osin-----=bsinA,由正弦定理得sin/sin-----=sinBsin/,

22

因为0<4〈万，故sin4〉0,

答案第11页，共13页

A+C.”

消去sinA得sin-------=sinn.

2

4+Cm、J_LL4+Cc_p._ty^-^+B=7T,

0<B<兀，0<---<n，因为故一-—=5或者

222

而根据题意4+