(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

1、用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中,有很多等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式.但实际上有些数列并不是等 差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式.而这些题目 往往可以用构造法,根据递推公式构造出一个新数列,从而间接地求出原数列 的通项公式.对于不同的递推公式,我们当然可以采用不同的方法构造不同的 类型的新数列.下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一.利用倒数关系构造数列.11.、例如：数列an中,假设ai 2, 一 4(n N),求an an 1 an1位 bn ,川 bn

2、1 bn +4, an即 bn 1 bn = 4 ,3是等差数列.可以通过等差数列的通项公式求出 bn,然再求后数列 an 的通项11练习：1)数列 an中,anw0,且?两足 a -, an 1 -,(n N),求 an2 一 3 an 2a 一 2)数列 an 中,a1 1,an 1 ,求an通项公式.an 23)数列 an 中,a1 1,an0,且an 2an an 1 an 1 0(n 2,n N),求 an.二.构造形如bn 42的数列.例：正数数列 an 中,假设 a1 5,an12 an2 4(n N),求an 2 、解：设 bn an ,那么 bn 1 bn 4,即 bn1 b

3、n4数列bn是等差数列,公差是 4, bi a：25bn 25 (n 1) ( 4) 29 4n即 an229 4nan 29 4n,(1 n 7,n N)练习：正数数列 an 中,a1 2,an 2d自二(n 2,n N), 求数列 an 的通项公式.三.构造形如bn lg an的数列.1,、例：正数数列 an 中,右 a1=10,且 lg an lgan1,(n 2, n N),求 an.2解：由题意得：lgan工,可设bn lgan,lg an 12b 1即' 1,bn 12bn是等比数列,公比为 1, b1 lg10 12bn 1 (1)n1 (1)n1,(n N). 221(

4、1)n 1即 lg an (2)n 1, an 10 2练习：(选自2002年高考上海卷)数列 an 中,假设a1=3,an1 an2,n是正整数,求数列 an 的通项公式四.构造形如bn an m的数列.例：数列 an中,假设a1=6, an+1=2an+1,求数列 an 的通项公式.解：a+1+1=2a n+2,即 an+1+1=2 (an+1)设 bn= an+1,那么 bn = 2 bn-1那么数列 bn 是等比数列,公比是2,首项b户a1 +1 = 7,bn 7 2n 1,即an 1 7 2n 1 n 1.an 7 21 , (n N)构造此种数列,往往它的递推公式形如：an 1 c

5、 an d,(c 1)和Sn an n 2的形式.如：an+1 = c an+d,设可化成 an+1+x=c(an+x), an+1=c an+(c-1)x用待定系数法得：(c-1)x=dc 1又如：S n+an=n+2,贝 S n-1+an-1=n+1,式相减7fm : S n S n-1 +a n a n-1 = 1 ,即 a n +a n a n-1 = 1 , 2 a n an-1= 1 ,an = an-1+.22如上提到bn= a n Hd = a n - 1c 1练习：1.数列 an 满足an+1=3an+2,求an2.数列 an 满足 S n+an=2n+1,求 an五.构造形

6、如bnan 1 an的数列.例：数列 an中,假设 a1= 1 , a2 =3,an+2+ 4 an+1 - 5an=0 (n N),求 an.解：&+2 + 4 an+1-5an=0 得：an+2 an+1= - 5(an+ian)bn = an+ 1 3n,那么数列 bn 是等比数列,公比是-5,首项b1=a2- a1 = 2,n-1an+1 -an=2?(-5)n1即 a2 ai =2?(-5)a3 a? =2? (-5)2a?一a3=2?(-5)3cb cb 1 =2?(-5)n以上各式相加得：& -ai =2?(-5) +(-5)2+(-5)3+ -+ (-5) n-

7、1一1即：a ai =2?-5)n 11 ( 5)an 1 1 ( 5)一,即 an3当递推公式中,an+1与4 (5)n1, (nN)3an的系数相同时,我们可构造bn- an+i sr,然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+-+bn= an-a1通过求出数列 bn前n-1项和的方法,求出数列 an 的通项公式.1)当递推公式中形如：ai+1 =a n+an+b ; an+1=a n+qn(qw 1)； 可以构造 bn = an+ian" bn = an+b； 求出数列前n-1项的和Tn-1,a(n 1)nTn-1= (n 1)b;2n 1、小晅山；an+1=a n+qn +an

8、+b 等情形时, bn= qn;bn=qn +an+b.即:从而求出1 qTn-1二qLV1)n1 qa(n 1)nan -ai = -2n 1 _q(1 q )an ai-1 qa(n 1)n& ai(n2a(n 1)nan -ai + - (n2q(1 qn 1) an- ai + -;(n(n 1)b1)b；1)b1)b；1 qa(n 1)nan -ai +(n22)当递推公式中形如：1.q(11)b+ -I qn1 qan+1 =a n+ ； an+1 =a n+n(n 1)(2n 1) (2n 1)1；an+1 =a n+.n n二等情形1可以构造1bn - an+1 an

9、": bn n(n 1)111,11 、即 bn - - ； bn -()；n n 12 2n 1 2n 1从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,bn -;(2n 1)(2n 1)bn -、n 1. nbn -,nTn-1-1 n即：.1 1Tn-1- - (1 ) ； Tn-1- n2 2n 1c1an ai-1 -; n1 ,1 、an ai-(1 );2 2n 1an a1=V n 1从而求出an =ai + 1 -;n1 1 、an= ai + -(1 );2 2n 1an =ai + . n 1练习：1)数列 an 中,假设a1=1, ai+1-a n=2n,求通项an.

10、2)数列 an 中,假设 a1=1, a+1-an=2n,求通项 an.3)数列 an 中,假设 a1=2, an 1an2n n ,求通项 an.六.构造形如bn例：数列 an 中,包1的形式.an假设 a1=1 , (n1)an 1nan ,求 an.an n 1an 1 n用累乘法把以上各式相乘得:1 an o n当递推公式形如：anan 1a1nqnan ; (n 1)an 1nan ; nan 1(n1)an等形式,我们可以构造bnan 1解：由(n 1)an 1nan 得：一 an n 1a21a32a43,a12a23a34可得：bn qn; bn;bnn 1然后用叠乘法得：b1

11、b2 b3bn 1包.a1令数列bn的前n-1项的积为An-1,那么n(n 1).一 1 一 1An 1 q ； An 1- ; An 1 一n n1an1-；-na1nn(n 1)从而得到：目 qk;亘a1a1ann( n 1)a q 21ana1 一 ；n1a1 一 on练习：1)数列 an 中,假设 a1=2, an2nan,求 an.七.构造形如bn an 1 man的形式.例：数歹U an 中,a1=2, Sn=4an-1+1,求 an. 解：Sn=4an-1 + 1 , Sn-1=4an-2+1式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2an =4an-1-4an-2an -2an-1=2 (an-1-an-2)bn=an+1-2an当递推公式形如Sn+i=4an+2;an+2=pan+i+qan(p+q=1)等形式时,因ai-2an+i=2(an+i-2an);an+2-an+i=(p-1)(an+i-an),我们构造 bn=an+i-2an； bn=an+i-an,由等比数列知识得 bn=(a2-ai) 2n-1; bn=(