(整理)东南大学高等数学期中期末试卷.

1、测试学期 04- 05- 2 得分课程名称东南大学测试卷(A卷)1.函数,、一f (x )=-J的间断点是第题号一一三四五六七得分适用专业测试形式闭卷.填空题(每题 4分,共20分)测试时间长度 150分钟高等数学(非电) 非电类各专业2.3.1J12005 x .xx e -e dx =封5.设 f x = x sint 1u4du dt,那么 f 0 =- 01一一2x dt设函数f (x )=d (x A 0 ),那么当x =x 1 t3时,f(x)取得最大值.二.单项选择题(每题4分,共16分)密1.设当x Tx0时,口 (x)P(x脐是无穷小(B(x),0)那么当xtx0时,以下表达

2、式中不一定为无F(x姓f(x )的一个原函数,且“乂上汉?那么f(x)=1 x穷小的是(A) ： 2 x (B):x2 Ot1x x sin (C) ln 1 - x i '' i.x )x(D) |«(x|)+|p(xx2.曲线 y =ex arctan - x -1x-的渐近线共有x-1 x 2(A) 1 条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 43 .以下级数中收敛的级数是oO(A)、n丑1n.2(B)°° 11,£ ln 1 +- I (C) nl <n )od1nn1(D)二 xXn4 ° 1 - X4dx4 .

3、以下结论正确的选项是(A)假设 c,d 上 a,bl 那么必有 1d f 仅 dx W bf(xdx.c- a(B)假设f(x )在区间hb上可积,那么f(x )在区间b,b上可积.a TT(C)假设f (x )是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有L f(xyx = fo f(x)dx.(D)假设f (x而区间a,b】上可积,那么f (x庶a,b 内必有原函数.(每题7分,共35分)1.limx一°3.5.x2i Un costt dt2.x cos2 x - cos4 x dx.°求初值问题4.oO判断级数V n工二 arctan x4n匕一二的敛散性.5n - 3

4、ndx.y y 二 x sin xI1 y° =1,y ° =-2的解.四.(8分)在区间1, e】上求一点u,使得图中所示阴影局部绕x轴旋转所得旋转体的体积最小5 .(7 分)设 °<a<b,求证 in - 2 2b -a a a b6 .(7分)设当x A -1时,可微函数f (x )满足条件1 xf xf x f t dt = °x 1°且f(°)=1,试证：当xi°时,有 e-Wf(xA1 成立.七.(7分)设f(x麻区间1,1上连续,且 f f(xdx=f(x)tanxdx = °,1证实在区

5、间-1,1内至少存在互异的两点 匕,匕,使f£= f2 =0 .04-05-2高等数学非电期末试卷答案及评分标准05.1.14.填空题每题4分,共20分1. 0,2.-Cx-； 3.4e；4.1; 5. 3 3.1x24二.单项选择题1. A;2. B;每题4分,共16分3. D; 4. C.每题7分,共35分1.原式=,2li ln (cosx )+xx"3x23分)11 cosx -1二一 一 lim2(3 3 x 力 x2分二62. lim an = lim -： an n ：n -141-n 1 c n 1534n5n -3n.4二 lim n "51 -

6、4,15由比值法知原级数收敛3.原式=j2 0sin xcosxdx3 分=几2 sin xcosxdx 2分=一02dxx2 1 x21 arctanx4 .原式=-11 x2.二.1 825 .对应的齐次方程的通解为y = C1 cosx C2 sin xsin x的一个特解为非齐次方程y" + y=x的一个特解为y1 = x1分,非齐次方程y" + yxxy2 =cosx( 1 分、原方程的通解为y = C1 cosx+ C2 sin x 十 x- cosx22(1分),利用初值条件可求得Ci =1, C2=-1,原问题的解为xy = cos x - sin x x

7、- - cos x2四.(8分)一一t ,2e . 一2一V(t )=冗 1 (In x ) dx(2分)+冗 1t (1 - (In x ) )dx(2分)=n (x(lnx 2 2xln x +2x )； (x(ln x 2 2xln x + 2x )： +et = jr(2t(lnt 2 -4tlnt+3t -2)1/1 、令V'(t) =n(2(lnt 21)=0,2分得 t=e互(1 分),且V"e孤> 0< J1因此t =eM是V(t )在1, e】上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故1t=e?是最小值点.1分b2 t -1at

8、1f t = t 1 lnt - 21 -10, t 13分1.八f 1 )=0, f t .-lnt - -1, f 1 )=01 分五.(7分)设一=t,原不等式等价于lnt >-',t >1,即等价于_11.f(t)=-下之0, t >1,且等号当且仅当t=1时成立 1分t t因此 f '(t 评增,f'(t )> f'(1 )=0, t a1 从而 f(t)单增,f(t )> f(1)=0, t>1,原不等式得证2分六.(7分)由题设知f'(0)=-1,1分x所给方程可变形x 1 f x (x 1 f x -

9、o f t dt = 0两端对x求导并整理得 (x+1)f (x)+(x+2f'(x)=01分 CL.这是一个可降阶的二阶微分方程,可用别离变量法求得f Yx )= C2分1 x-xe由于 f <0 )= 1,得 C = 1, f '(x )=- <0, f(x)单减,而 f(0 )=1,所以当 x2 0时,1 x_xf (x )<1(1分),对 f<x)=_<0在b,x上进行积分1 xx exf x ；= f 0 - -dt _1 - e dt 二 e"2分01 . t0七.(7 分)记 F(x)= jf(tdt,那么 F(x *匚1,

10、 1】上可导,且 F( 1)=F(1)=0 2分假设F(x位(一1,1)内无零点,不妨设F(x)>0,xe(_1,1)1 1112120= f f (x Jtanxdx = tanxdF(x) = F(x)tanx一 f F(x )sec xdx = - f F(x)secxdx<01此矛盾说明F(x而(-1,1 )内至少存在一个零点 x0,2分对F(x )在匚1,x°】§0,1】上分别使用Rolle定理知存在1,x0)与w(x0,1),使得F侬1)=F&)=0,即f化1)="匕)=03分东南大学测试卷A卷课程名称工科数学分析 测试学期04 0

11、5 2 期末 得分适用专业 上课各专业测试形式 闭 测试时间长度 150分钟题号一一三四五六七得分号学精品文档4.以下结论正确的选项是.填空题(每题 4分,共20分)、一 11 .仅 y =,那么 y (1)=.2x -12 .设j1nty1 +u4du 1出,那么 f "=.2x 13 .设 f(x) = Jj_dt(x =0),那么当 x=时,f(x)取得最大值.x 1 t、一 ,一 .,、 1 , 、 一4 .设 f (x)满足 f (x) + f (x) = -1 ,那么 f (x) =. x5 .F(x)是f (x)的一个原函数,且 f(x)=正与,那么f(x)=1 x二

12、选择题(每题4分,共16分)x3 -x1.设 f (x)=,那么 f(x)sin 二x(A)有无穷多个第一类间断点(C )有两个跳跃间断点(B)只有一个可去间断点(D)有三个可去间断点2.设当xt xo时,u(x), P(x)都是无穷小量(p(x)#0),那么当xt x0时,以下表达式不一定是无穷小量的是(A)(B) ： 2(x)：2(x)sin- (C) (x)xln(1 - (x) ：(x) (D)(x)| (x)|3.以下反常积分发散的是(A) f dx (B) f rA_dx (C)】sinx,1 -x2-20 e 改(D)12 dx2 xln xbd(A)假设a,b3c, d,那么必

13、有f(x)dx 之 J f (x)dxac(B)假设| f (x) |在区间a,b上可积,那么f (x)在区间a,b上可积a TT(C)假设f(x)是周期为T的连续函数,那么对任意常数a都有L f(x)dx = Jo f (x)dx(D)假设f (x)在区间a,b上可积,那么f (x)在(a,b)内必定有原函数三.(每题7分,共35分)1 .设y = y(x)满足x2 + y2 yexy = 2 ,求曲线y = y(x)在点(0,2)处的切线方程2 .计算积分等十 |in(2-x)|dx_x1 .2 - x23 .计算积分F2 2x dx xarctan x ,4 .计算反常积分 3 3一dx

14、1 x、X2 t215.设 f(x) = ( e dt,求 L xf (x)dx.y y = x sin x4 .(7分)求微分方程初值问题 1小、/ ,小、1的y(0) =1,y (0);解.5 .(8分)在区间1,e上求一点 ,使得图中所示阴影局部绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.6 .(7 分)设 0 < a < b ,求证：ln b a 2(b - a) a a b1.1sin sin n 2 n 3sin)n n, 一 ,、一.17 .(7分)求极限lim (sinf ： n 1东南大学测试卷(A卷)课程名称工科数学分析 考 试学期04053 (期末) 得分题号一一三四五六

15、七得分适用专业上课各专业测试形式闭填空(每题4分,共20分)测试时间长度 150分钟交换积分次序0dx.,1 _x2f(x, y)dy =一.二(-1)n n 一 一哥级数 工-LJ2-xn的收敛域是 m 2n ln(n 1)21_f-1, -n < x<0,那么x 0 < x < n设 f (z) =z sin -,那么 Res f (z),0= z设函数f(x)是以2n为周期的周期函数,在区间 -n,n)上f (x)=f (x)的Fourier级数在x = n处收敛于时,向量场 A = (2x+y, x+4y+2z, By - z)为有势场.单项选择题(每题 4分,

16、共16分).在以下无穷级数中,收敛的级数是(A)oO x -3.nn en 1(B)J (-1)n( "1nnW n 1号学(C)co ln(1n 1 n(D)OOZn 12.设工为上半球面z = "4-x2-y2 ,那么曲面积分dS三,x2 y2 z2 1(A) 4二 (B)16n5(C)16Ji3(D)22二+2 =1正向1693 .设力场F =(3x4y)i十(4x+2y)j ,将一质点在力场内沿 xoy平面内的椭圆运动一周,场力所做的功 W为(A)96 二(B)48 二 (C)24 二(D)12 :4 .二元函数f (x, y)在点(x0, y0)处的两个偏导数fx

17、(x0, y0), fy(Xo, y0)存在是函数f在该点可微的(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件三.计算以下各题(每题7分,共35分)1.计算积分q1dz.|zH(z-1)2(z2 1)1 一2 .将函数f(x)=展开为x-2的哥级数.x2 x -2一、,1, 0 <x <13 .将函数f(x)=o 1工？在0,2上展为正弦级数.1 4 .将函数f(z)= 分别在圆环域(1) 0 <| z1|<2, (2) 3 <|z+2区 " 内展成Laurent z -1级数.-be5 .判断级数Z ln(1+

18、-) (0<x<3)是否一致收敛？证实你的结论.n=2n ln n4 .(8分)面积分 I = LfzxdyAdz + zy2dzAdx+ (yz2+x2)dxAdy,其中工为锥面 £z = %'x2 + y2(0 <z <1)的下侧.5 .(7分)计算积分?y2dx+xydy + xzdz,其中L是圆柱面x2+y2=2y与平面y = z的交线,从 Lz轴的正向看,L为顺时针方向.二(-1)n4(-1)n46 .(8分)求级数£ -(口-x2n*的收敛域与和函数,并求级数£ (1)一n的和.nm n(2n -1)nd n(2n -1

19、)4a7 .(6 分)设 an >0(n =1,2,3 ),且 lim n(3-1) = % > 0 ,试证交错级数 £(1)n,an 收敛. n 1 an 1nT东南大学课程名称高等数学下重修测试日期 05- 07 得分适用专业电类各专业测试形式闭卷测试时间长度150分钟题号一一三四五六七得分.填空题此题共5小题,每题4分,总分值2 0分.- zsinz1 - Res I2,冗 =.|(z-n)2一1x22.f2x _x22 .改变积分次序：dx f (x, y)dy + dx f(x,y)dy=.3 .函数u =ln(x +Jy2 z2 )在点A(1,1,0)处沿着从

20、点A指向点B(3,1,1)的方向的方向导数为.4 .哥级数 £ 口(x-2)n的收敛域为.n"n2_2_25.右函数 f(x,y)可微,且 f (x,x ) =1, fx(x, x ) = x,那么当 x 0 0时,fy(x,x)=二.单项选择题(此题共4小题,每题4分,总分值1 6分)1 .设ez _1 _j =0,那么 z =(n )/- f n )(n:)(A) ln2 i - 2k?. J (B) ln、2 i 2k?. J (C) ln 2 i _ 2k二(D) ln 2443QO2 .设级数£ (1)nan条件收敛,那么必有n 11n(A) £

21、; an收敛(B) Z a；收敛(C) Z a2n与工a2n4都收敛(D) Z (anan41)收敛 n +n 1n 1n 1n 13 .设C是从点B(2,0)经点A(1,1)到点O(0,0)再到点B的有向闭折线,那么曲线积分I = J(x+xy2 )dx 十(y+x2y x )dy 的值等于C精品文档(A) 2(B) -1(C) 1(D) -24.假设D是由上半圆周y = Ji x2与x轴所围成的区域,f为连续函数,那么二重积分JJ(xf (x2 +y2 )+1 )dxdy 的值为D(A)(B)n(C)(D) Ti22三.计算以下各题(此题共5小题,总分值3 3分),一一 一、“,1 _ _

22、1.(此题总分值6分)将函数f(z)= 在圆环域2<z+i <y 内展成罗朗级数.z2 +12.(此题总分值&-27分)设函数u = f (x2+y2,xy )淇中f具有二阶连续偏导数,求史,.二x rx.y3.(此题总分值6分)求曲线2- 22-,2x 3y - z =14CJ 2:在点(1,1,3)处的切线方程.x2 2y2 =z4 .(此题总分值6分)计算积分dy/ysSdx.0 y xz =,J2 - x2 - y2 与曲面 z = x2四.此题总分值7分将fx =2 一 一x -8x 15展成x-1的哥级数,并指明收敛域.5.此题总分值8分计算积分Jjjzdv ,

23、其中G为曲面围成的区域.五.(此题总分值8分)计算曲面积分I = Jx2dy/dz +y2dzAdx + (z3+2)dx八dy , £其中,为锥面z = Jx2 +y2 (0 EzEl),取下侧. 二1六.(此题总分值8分)求哥级数 工 x2n 的收敛域与和函数.nn(2n 1)七.(此题总分值8分)求原点到曲线?22x y = z ,一. 一, 、x y z的最长和最短距离.东南大学成贤学院期末试卷一、填空题(4分x5=2相)1. 一直线过点可(2,-1,-3)且平行于向 量了=(-3,-2,1),那么该直线的方程.为r 222 n2.曲线 ? V =2在xoy面上的 z = L+y投影曲线方程为00 产3 .累级数y的收敛域» r nn- n ' 3为4 .设 /(x) = x3 (0<x<),而coS(x) = + +0rl COS/7X ,其中