(大标题)教你如何学好微积分

1、大标题教你如何学好微积分4月高数一考题重点内容分析文/机械工程师大学林士中很多经历了 2005年高等教育自学测试?高数一?的考生,都留意到了这次考题内容全面,根本上覆盖了测试大纲的全部内容；同时考题重点突出, 一元函数微分学和积分学内容占全部考分 70%,考题有一定难度.因此,要想顺利通过测试,考生必须熟练掌握教材主 要内容,必须按测试要求进行学习与复习,力求做到以下三点：第一,学习内容应全面,不 要存侥幸心理,数学课程指望期末突击、冲刺是没有出路的；第二,主要内容要反复练习, 熟练掌握；第三,要学会总结,使学过的知识系统化.为使考生顺利通过十月测试,现针对以上问题作具体分析.小标题重根底,全

2、面学习首先,数学课是一门逻辑关系很强的课程,前后紧密联系,前面章节掌握的熟练程度,往往对后面章节的学习有很大影响.例如一元函数微积分没有掌握好,多元函数微积分就很难学好；一元函数微分学掌握的熟练程度,还直接影响微分学的应用和一元函数积分学的学习.因此,无论是为了学好还是为在测试中取得理想成绩,都应当全面学习、全面复习,这一点对文科学生特别重要.数学的学习是一个长期的过程,而非期末突击、冲刺就能侥幸过关.下面就2005年4月高数一微积分的主要测试题目进行分析：【例一】 考题一5 f x3sinx2 +2?1 x2dx= - JA . b B. 2n C. 3冗 D. 4元1 QC分析：学员需要知

3、道 x sin x是奇函数,所以有： x sin x dx = 01要求学员根据定积分的几何意义知道:Fdx是半径为R的上半圆的面积,所以有:R2212.R2 -x2dxR2_R21 .2 .1 1 f dx = ：,21.cc1.c1c(x3sin x2 21-x2)dx= x3 sin x2dx 2 j ：；1-x2dxj1= 0+ 2 应选 A.21 x - (1 t)tdt 【例二】 考题(一)(3) lim -=()x >°tan xA. 0B. 1 C. e D.不存在分析：首先,要求学员知道 x-0时,tanxx. 要求学员掌握微积分根本定理：d x,f (t)d

4、t = f (x) dx a要求学员掌握第二个重要极限1lim (1 ax)x = eax )0要求学员掌握罗必达法那么limx.01 x - 0(1 t)tdttan x=limx 01 x - 0(1 t)tdt1 tanx x0【例三】 考题三=lim (1 x)x =e x.0选Co(18)计算f4dx2. x一 x arcsin 2分析：要求学员熟记积分表:.a* 2 -x2.x -dx = arcsin- Ca,. xd arcsin 二aa2 - x2dx要求学员熟记积分表:1-du =ln |u | C u1一x一d a rc s+n4 -x2 arcsxn2一 一 x一a r

5、c s+n2 x ,一=In | arcsin - | C 2【例四】 考题三22计算dx分析：需要学员掌握三角函数的倍角公式:2,cos2x=2cos x -12 x1 cox=2cos2需要学员熟记微分公式:1d tan x = 2 dx cos x需要学员掌握分部积分公式:u dv =uv - vdu需要学员熟记积分表:tanxdx - -In |cosx| Cji20 1coscdx = 20dx-2 x2 co s -2JI二x2 xd tan02x= xtan 2xtan - dx2JIJIJl , c二ln 22(小标题)主要内容反复练习高数(一)微积分无论从学习还是从测试的角度

6、看, 最主要也是最核心的内容是一元函 数的微分学和积分学及其应用：一方面是这局部内容占考分的 70%;另一方面是这一局部 内容掌握好了,其他内容特别是多元微积分局部就迎刃而解了.【例五】考题三(17) y=ln arctan(1+x2)2分析：这是一道屡次复合而成的函数的导数问题,练,经过屡次复合函数导数公式便可容易得到结果,请看:.2 .2 一.y =2ln arctan(1 x )ln arctan(1 x ),求y只要关于复合函数的导数经过反复训2、=2lnarctan(1 x )1：； 二. 27arctan(1 x )2 一 .arctan(1 x )2、2 ln arctan(1

7、x )2arctan(1 x )4x In arctan(112.2T(1x2)1 (1x2)2x2),4_ 2一 2、(x 2x 2)arctan(1 x )【例六】计算分析:考题三(16).4 -2x - ： 4 x lim x >0 , 1 x - .1 - x0t E此题虽然是未定式3,但不宜用罗必达法那么,但在教材的例题和作业中,经常利用公式22ab=a -b变形后计算,所以有: a b-3x.4 - 2x - . 4 xlimlimx0 ,1 x ,1 xx一；02x,1 x . 1 - x-3( . 1 x 1 -x)二 lim x >02( 4 -2x .4 x)计

8、算定积分2_dx0 x 4x 3分析：解法一:D需要学员熟记积分公式:122a - x122x -a1dx = In2adx一 21a1na_xca -x需要学员知道完全平方公式：(x - a)2 =x _2ax a24x 32dx= 02(x 2)2 -1d(x 2)1-In1 (x 2)21(x+2)15 19-In - = In29 2 5解法二：局部分式需要学员知道:a -bab学员应熟记积分公式：.高,1 .dx =In |ax b | C a221 dx = 21(x 3)-(x d)dx0x2 4x 302 (x 3)(x 1)11)dx = - Inx 32119x +1x +

9、3=一In In =In 25325【例八】 考题三21y=jx+jx 求dy分析：此题是只有一次复合而生成的函数,直接用复合函数导数公式即可dy = y dx =(x - Jx)dx-(1 一)dx 二2.x . x 2 x2.x 1 dx4 v x x x【例九】 考题四24y =x2 +ax a>0, y=0, x=1所围图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为一,求 a.51 2 .Oy dx1=二.1二二ax)2dx-二(lx552ax3 a2x2)dx?ax4a2x3)43111 2二二(aa )=一a =05235D是x=1 , y=2 , y=x-1所围区域求 sin y2d

10、:D2x积分解：由于sin y对y积分原函数不是初等函数,所以应先对D:0WyW2, K x< 1+y221y 211 sin y d；二- dy sin y dxD221旬 22=0(sin y )x1 dy = gysin y dy= cosy21=-(1 - cos4)【例十一】考题三(20) ez -xy2 +sin(xz)=0 确定 z；,zy解：,/ F =ez -xy2 +sin(xz)._ .2,、 Fx - -y zcos(x z)Fy = -2xyFz =ezx cos(x z) F zxFx _ - y2 z cos(x z)Fz ez xcos(x z)zyFy2

11、xyFz ez xcos(x z)上面所列考题,都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题,只要考生在学习过程中反复练习,就不会感到生疏或困难. 建议考生将教材中的练习做过一遍以后, 过两周再重 做一遍,考前再做一遍,通过测试就会有较大把握.如今社会上的辅导材料太多,有的并不完全符合测试要求,建议考生还应以教材为主,学习之余感到教材练习已做得很熟练后,再考虑看参考辅导材料.有个别考题,未见得在教材或习题中见过,不要由于试卷中有个别偏题,就盲目到处找辅导材料.其实任何一份测试题都会有个别题目难度偏大,并不为怪,例如在 1995年4月高数(一)的考题中的证实题 五(25)就比拟困难.例如考题五(2

12、5)f(x)在0, 1上连续,在(0, 1)内可导,且f(0)=0 ,证实存在CC(0, 1),使得 Cf (C) f (C)= f (C)此题明显和微分中值定理有关系,需要用微分中值定理证实,如果直接做,那么有f(1)-f(0) = f (C)(1-0)f(0)=0,但f(1)不知道,立即就出现问题和困难,习惯是引入一个新函数,对于大多数学员来说,如何引进新函数是比拟困难的,在此题中,由于f(1)不知道,因此新函数中不应出现f(1),因此,令F(x)=(1-x)f(x)F(x)在0, 1上连续,且在(0 , 1)内有 F'(x)=f (x)十(1 + x)f'(x)由于 F(

13、1)=0, F(1)=0由罗尔中值定理,存在 ce(0, 1),使F (C) =0 ,即 -f (C)十(1 C)f '(C) =0 . f(C) =(1 C)f (C)Cf (C) f (C) =f (C)小标题随时总结知识,记忆积分表考生一定要对学过的知识进行总结,使知识系统化并掌握其中的要点. 例如,学过不定积分的概念和计算方法以后,可以小结如下：(I)不定积分的概念f (x)dx =F(x) Cm f(x) =F (x)(n)不定积分的性质(1) f (x)dx = f (x) +C 或 Jdf (x) = f(x)+Cd(2) f(x)dx = f(x) 或 d f(x)dx

14、=df(x) dx(3) kf(x)dx=k f (x)dx(4) f1(x) f2(x)dx= f1(x)dxf2(x)dx(出)根本积分表(1) kdx =kx C(2)fxadx= xaH4 +C(a01)a 11(3) dx=ln|x| Cx1 1-(4) dx = In | ax b | Cax b ax(5) axdx = CIn a(6) exdx =ex ' Cax 1axe(7) e dx = - e C a(8) sin xdx - - cosx C1一(9) sin(ax b)dx = - cos(ax b) Ca(10) cos xdx =sin x C1一(1

15、1) cos(ax b)dx= -sin(ax b) Ca2.1(12) sec xdx = 2- dx =tanx Ccos x2.1(13) csc xdx = 2 dx = - cot x Csin x(14) secxtan xdx =secx C(15) csccot xdx - -cscx C(16) tan xdx - - In |cosx | C(17) cot xdx = In | sin x | C(18) secxdx =ln |secx tan x| C(19) cscxdx = In |cscx - cot x| C1(20) 2 dx =arctanx C1 x21

16、1 x(21) p2 dx = arctan Ca x a a11a,x(22) -2-2=丁小| | C a2 -x22aa -x,1,(23) dx = arcsin x C.1 -x2(24)1,. x _dx = arcsin Ca2 -x2a(25)(26)f , 1- dx = ln |a2 +x2 +x|+Ca2 x2P (x)_尊 dx=ln |P(x)| C- P(x)特别情形:2x .99.2 dx =ln |x2 士 a2 | Cx2 ,a2P (x)(27)')dx =2. P(x) C,P(x)特别情形：2x-dx =2 . x2 _a2 C22.x 二 a由

17、于不定积分难度较大,最好多记一些积分表大有好处. 例如,根据公式20和26便有：x 1x12 dx :2 dx 2 dx1 x 1 x 1 x12、二一 ln(1 x ) arctanx C 2dxx x(1 e ) -e1 exdx二 .(11 ex)dx = x-ln(1 ex) C根据公式25和27便有:x 1. x1.dx =dx dx.x2 1, x2 1,x2 1-x2 1 ln | x2 1 x| C根据公式(23)和(27)便有：r x +1 dx = r x dx + r 1 dx,1 - x2.1 - x2. 1 - x2=- .1 - x2 arcsin x C(IV)换

18、元积分公式(一)凑微分法fg(x)g (x)dx = fg(x)dg(x)=f f (u)du 令u = g(x)常见情形有：,1,(1) f (ax b)dx= f (ax b)d(ax b) a“xDxn'dxf (xn)dxn n,1,(3) f (In x) dx = f (In x)d In x x(4) f(ex)exdx= f(ex)dex(5) f (sin x)cosxdx = f (sin x)d sin x(6) f (cosx)sin xdx = - f (cosx)d cosx,、.,、2 .,、1,(7) f (tan x)sec xdx = f (tan

19、x)2 dx cos x= f (tan x)d tan x2(8) f (cot x)csc xdx - - f (cot x) d cot x 1.(9) f (arcsin x)dx = f (arcsin x)d arcsin x,1 -x21.(10) f (arctan x)2 dx = f (arctan x)d arctan x1 x此外,还需注意：,22x22xd x a =dxd a f =-dx2222.x 二 a. a fd ln(4x2 ±a2 +x) = , 1 = dx,x2 二 a2(V)换元积分法(二)令 x = g(t)= dx = g (t)dt

20、f(x)dx= fg(t)g (t)dt常见情形有：f (x)中含有 Kax + b时,令v ax + b =tf (x)中含有va2 -x2时,令x=a sintf (x)中含有Ja2 +x2时,令x=a tantf (x)中含有x2 -a2时,令x=a sect 均能到达有理化的目的.(VI)分部积分公式udv = uv - vdu或 uv dx = uv - u v dx常见情形有：(1) xneaxdx = xnd( eax)a一n . n . 1(2) x sin axdx = x d( 一 cosax)an. n 1、(3) x cosaxdx = x d(sin ax)a2(4)

21、 xsec xdx = xd tan x1 n 1 ：x )n 11 n 1x )n 1(5) (ln x)xndx = ln xd xn 1(6) (arctan x)xndx = arctan xd(7) (arcsinx)xndx = arcsin xd (此外,需记住以下结果：eax sin bxdx =eax cosbxdx =1F- a ba2b2 eax(asin bx - bcosbx) C2 eax(bsin bx acosbx) C小标题打好根底练习,做拔高练习以到达提升水平的目的.在根本练习题已经比拟熟练的根底上,可以做一些下面的例题,【例一】 计算x 1.(1) (arcsin )dx3 a-x2x 1xx斛：(arcsin -)dx = (arcsin)d arcsin-3