(整理)函数的定义域与值域

1、函数的值域求函数的值域或最值是高中数学根本问题之一,也是测试的热点和难点之一遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题更是少的屈指可数.原因可能是求函数的值域往往需要用到众多的知识内容,技 巧性强,有很高的难度,因而求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习 中逐步强化.1、 函数的值域的概念一般的,设函数f(x)的定义域为I ,函数值的集合f (x) | x W I 叫做函数的 值域,它是由卜数的定义域不应关皿同决定的.值域还可以理解为函数值的 取值范围.2、 常见函数的值域(结合图像理解)1. . 一次函数y = kx+b(k =0)的定义域是R ,值域也是R

2、.2. 二次函数 y = ax2+bx + c(a = 0)的定义域是R ,当a0时,值域为1y|y之终出2；或联上产)、4a ： 4a J当a0,a *1)的定义域为R ,值域y|y.6. 对数函数y = log a x (a 0,a =1)的定义域为& |x a0),值域为R.7. 幕函数y=x3的定义域为R ,值域为R .1y=x2的定义域为b,+=c ),值域为b,+=c)8. 三角函数y =s i区和y =cosx的定义域为R ,值域为Ll,1y = t a nx的定义域为?x|x色二kwz：,值域为R .k9. 对勾函数y = x + -,k 0的je义域为(一空,02(0,依),

3、x值域为 - ：,-., k _.*,：；三、常见函数在给定区间上的值域1 . 一次函数2 .二次函数3 .反比例函数四、图像法假设给定函数能够作出图象,那么可通过观察图象直接得出该函数的值域,但必须保证函数的图象要非常精确,尤其在一些关键的线(渐近线、分界限、对称轴等)和关键点(顶点、交点、间断点、孤立点、端点、定点等,及这些点的虚实 情况).主要处理分段函数的值域.1 .y=|x-1+x-4答：匕,)2 .y=|x-3-x+1答：匚4,4】五、单调性法如果函数f(x)在a,b】上单调递增,那么其值域为f(a), f(b)；如果函数f (x) 在a,b】上单调递减,那么其值域为 f(b),

4、f (a) I例 1 y u x - 1 - x例 2 y = x 1 - x -10, . 2 2,2】分子有理化例 3 y = x10x-x2 - 23 ) x . 2-(x-5)2解：令 x 5 - 2 cos f2 -(x -5)2 _0= 2-2cos* _0= -1 三 cosi 三1二 ,10,二 12 -(x -5)2 = ,2sim那么 y = 2 sin12cos15 = 2sin(u ) 5,4.2 . . , .二、./- s sin(i ) _ 15 -,2 y 0)的值域 x十二、几何法 利用几何上的一些结论,如两点间的线段最短、直线外一点与直线(或平面)上各点连线中垂线断最短十三、反求法 用y来表达x,适用于x的范围知道,且能用y来表达xex -1 y/2 - sin x2 sin x而c2cosx +11 1 r .例 2 y= -0,一 g 3,)3cosx -2i 5 J求函数的值域方法很多,常用的有以