(整理)回旋曲线坐标计算事例.

1、一、盘旋线的根本特征及坐标计算盘旋线上,任意一点的曲率半径P与该点至曲线起点的曲线长l之积为一常数图1即p l =A2或式中,A 2为盘旋曲线常数,表征盘旋曲线曲率变化缓急程度的量,称 A为回 旋曲线参数.图 11.盘旋曲线上任意一点坐标计算由图1曲线右旋,取盘旋线的起始点ZH处的切线方向为x轴,法 线方向为y轴,任意一点的 切线方向方位角为缓和曲线角 B.在缓和曲线上 对任意一点P取微分dl= p d 0 dx=dlcos B dy=dlsin 0考虑式(1)对B或l在区间0 , B 或0,1上积分后有下 列关系式成立1 2= 2A之 工一4 4上产门0十216 9 360+)尸亭阴1一号+

2、磊一 +)或者 耍六(5)F . 萨 .=而 -335户十42 22请(6)对于公路平面线形的根本形,其缓和曲线始于直线终于圆曲线,故缓和曲线 的曲率半径P变化于8R (圆曲半径).设缓和曲线段长度为1 S ,那么p=段i工尸而一 336RW(8)2.盘旋线的几何要素见图1 ,盘旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P处的曲率半径(由 式(1) 和式(2)P点的盘旋曲线长(10)P点的缓和曲线角(切线方位角,由(9)式)()1 =7=# _ i 9Q 一一之用2封一p X(11)上面导出了当参数分别为B和l时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式.显然,缓和曲线左旋时(图2),与右旋相比,x

3、坐标公式一致, 而y、 B反号.假设令sign= 1 ,缓和曲线右旋时取sign=1 ,左旋时取 sign=-1 ,那么坐标和方位角等符号量可统一表示为：(12)3.盘旋曲线的根本特征1 .几何特性.盘旋曲线随着曲线长度的增加,曲率按线性函数增加.起点 处l =0 ,曲率l / p = 0 ,终点处l =l s ,曲率l /p =常数2 .相似性.盘旋曲线的形状只有一种,盘旋曲线参数 A即为放大系数二、卵形曲线形式及其缓和曲线段坐标计算按直线-缓和曲线Ai-圆曲线R-缓和曲线-圆曲线R-缓和 曲线A-直线的顺序组合构成的平面线形形式 RWR,称为卵形曲线 图3.卵形曲线中,显然圆曲线-缓和曲线

4、-圆曲线段的缓和曲线坐标计 算是新的课题,它成为整个卵形曲线计算的瓶颈.解决了这个问题,其他平面 线形形式的曲线坐标计算 也就迎刃而解了.图 3解决问题的关键在于对两圆曲线之间的缓和曲线的正确熟悉：1两不等圆曲线之间的缓和 曲线仍是盘旋线；2该盘旋线是没有起点p = 0的 盘旋线段.于是,解决问题的方案是：第一,仍须确定哪端为盘旋曲线的起点p = 0 端；第二,假定缓和曲线起点而套用平面曲线根本形计算盘旋曲线任意一点坐标 及其方位角；第三,坐标变换为大地或施工区坐标形式,而这正是高效测 设曲线的现代开展所需要的坐标形式.我们知道,盘旋曲线起点处曲率半径 p二 ,随着离曲线起点的曲线长度 增加,

5、曲率半径由大变小.因此,卵形曲线两圆之间盘旋线的起点必在相接圆半 径较大的圆曲线那一端.由此再确定盘旋线的右或左旋形式以确定独立坐标公式 sign的值的使用.根据盘旋线上特征点的大地坐标和独立坐标,可计 算出坐标变换参数,从而得到盘旋线上任意一点的大地坐标及其切向、法向方位以图3为例,由于R i R ,可见盘旋线的起点在 R i圆曲线的那一端, 显然,该盘旋线右旋.设盘旋曲线起点为 O ,起点处切线方向为x轴,法线方 向为y轴,建立独立坐标系.O-YH 弧长：l i = A 2 /RO-HY 弧长：l s =li+l = A 2 /R这里,l 0=1yh-hy为缓和曲线段长度.缓和曲线上任意点

6、P至起点O的弧长为l= l 1 +l这里,l为P至圆缓点YH的弧长.将l 1 , l s, T 分别替代l代入式(7)、式(8)得到圆缓点YH、缓圆 点HY、任意点P独立坐 标系坐标x yh, 丫丫耳Xhy yHY Xp, yp(注意,计算时式中R =R 2 ) o设独立坐标系xOy原点O的大地坐标为(%Y) , x轴的大地方位角为 a 0 ,由YH、HY点的大地坐标和独立坐标可分别反算直线 YH-HY的坐标方 位角 a i , a 2 ,那么a o a i- a 2(13)于是,独立坐标系中任意一点 P (x,y)的大地坐标X , Y为X = X 0 +xcos a 0- ysin a 0(

7、14)Y = Y 0 +xsin a o+ycos a 0(15)这里,X o,Y)可由点YH或HY坐标数据(大地、独立)用上两式求得. P点切线大地方位角a = a o+sign B(16)法线大地方位角r = ( a-sign90) 180(17)三、算例广东某高速公路一段卵形曲线设计数据的特征点大地坐标见表 1 ,缓和曲 线参数A = 30 0 ,缓和曲线长度l o =157.50 m ,两相接圆曲半径见图4. 求缓和曲线内两里程桩号点的大地坐标及法向方位角.表1 局部设计数据点 号)/(里程桩号)/( X/m)/( Y / m)/(其他数据圆缓点(YH)/( K+327.43)/(3

8、961.506)/(4 033.679)/(Ti=59.95交 点(JD)/( K+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/( F=97.98缓圆点(HY)/( K+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(8 = 10 54 13简要计算如下：因R 2 R ,可见盘旋线起点在 R 2端且左旋sign=-1,建立独立坐标 系如图4 .那么l 1 =A/R2=30 ml s=l i+1 o=A2/ Ri = 187.50 m由此代入式(7)、式(8)并注意到R = R 1 =480得HY , YH点独立坐标为- 0- 0512.174由直线HY-YH的大地方位角 a i和独立方位角a 2得独立坐标轴x的大地方 位角a =a 1- a 2 = 138 51 05那么X o = 4 094.145 Y 0 = 3 901.605于是缓和曲线上点K 0 +420处、K 0 +380处坐标与方位角数据可得K 0 +420 : ( l =1 1+484.93-420=94.93)x =94.906 y =-1.584 B = 2 52 06X =4 0