1第一章极限与连续

1、第一章函数与极限一、教学目标极限与连续是高等数学最根底的概念,高等数学的其他概念几乎都是建立在极 限的根底之上的,所以,不仅要求学生理解和掌握极限计算方法,而且要引导学生 理解和掌握极限思想,并能用极限思想分析问题解决问题 .二、根本要求1 .理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会建立简单应用问题的函数关系式2 .理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.3 .掌握根本初等函数的性质及其图形.4 .理解极限的概念,理解函数左极限、右极限的概念,以及函数极限存在与 左、右极限之间的关系.会求分段函数在分段点处的极限.5 .掌握极限的性质及四那么运算法那么.掌握计算极限的技巧约公因式

2、、有 理化与极限的反问题.熟练计算简单函数式的极限 .6 .掌握极限存在的两个准那么,并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限 求极限的方法.7 .理解无穷大、无穷小的概念,掌握无穷小阶的比拟方法,会用等价无穷小 求极限.8 .理解函数连续性的概念包括左连续右连续,会判别函数的间断点的类 型.9 .了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质 有界性、最大值和最小值定理,介值定理,零点定理,并会应用这些性质.三、教学内容及课时分配 需16学时§1.1 集合§1.2 函数§1.3 数列的极限§1.4 函数的极限§1.5 无穷小

3、与无穷大§1.6 极限的运算法那么2课时2课时2课时1 课时2课时1.7极限存在准那么与两个重要极限2课时1.8无穷小的比拟1课时1.9函数的连续性2课时习题课2课时四、重点和难点重点：1 .数列与函数的极限概念与性质(1)极限的理解：数列与函数的极限是自变量在一个特定变化过程中数列与函数取值的变化趋势；(2)数列与函数极限的性质：唯一性,有界性和保号性；(3)左、右极限的应用：常用于分段函数在分段点处的极限判别.2 .极限的计算(1)利用四那么运算法那么求极限,应注意该法那么成立的条件,并掌握计算技巧;(2)利用无穷小的性质求极限；(3)利用两个重要极限求极限；(4)利用等价无穷小

4、代换求极限；(5)利用极限存在的两个准那么求极限；(6)极限的反问题,即极限值反求参数问题.3. 连续的定义与性质(1) 函数在一点连续的两个等价定义；(2) 判断分段函数在分段点处以及在定义域上的连续性；(3) 闭区间上连续函数的性质.难点：1 .极限收敛性判别(准那么与定义的应用)；2 .介值定理与零点定理的应用.五、深化与拓宽高阶无穷小、等阶无穷小的应用；极限的反问题；零点定理的应用.六、教学方式、方法课件教学与课堂板书教学相结合；互动式教学、启发式教学法 . 1.1 集合 1.2 1.2 函数一、教学目标与要求：复习高中知识中集合与函数的定义、几何性质与代数性质；理解函数的本质, 会建

5、立函数关系.二、教学重点与难点1 .区间与邻域.2 .根本初等函数.3 .复合函数及复合函数的分解特别注意复合函数的分解4 .简单的初等函数的性质、图形；分段函数与常见的经济函数.三、教学方法复习法四、教学过程需2课时一授课内容从高中知识回忆中,提出根本初等函数及其性质与图形 .1 .函数的定义定义1.2.1 设x, y是两个变量,D是非空实数集合,f是一个对应规那么,假设 对每一个xw D,都有一个确定的实数y与之对应,那么称这个规那么f为定义在D上 的函数,也称变量y是变量x的函数,记作y = fxx D称x为自变量,y为因变量；D为函数的定义域.注：1把握定义,会求函数的定义域及函数值；

6、会判断两个函数是否是相 等的.2函数的表示法3分段函数的概念2 .函数的根本性质周期性、奇偶性、单调性、有界性.3 .隐函数、反函数；复合函数；重点把握复合函数的分解.4 .根本初等函数(六类)的定义及其性质.5 .初等函数的概念.6 .经济学中常用的几个函数.(二)课堂练习P54 习题一(A) 1(1)(3) 6 10(1)(2)(三)小结本节复习集合与函数的定义、性质；根本初等函数；初等函数等重要概念.要 理解好函数的有关概念,尤其对分段函数的理解,会求函数的定义域、函数值,掌 握函数的性质.(四)课后作业P56 习题一(A) 1(2)(4) 2 3 4 7 8(2) 10(3)(4)(5

7、)(6) 1112§ 1.3 数列的极限一、教学目标与要求1 .理解和掌握数列极限的思想.2 .理解数列极限的定义与几何意义.3 .理解数列极限的性质；子数列的极限与数列的极限的关系.二、教学重点与难点1 .数列极限的定义.2 .收敛数列的性质唯一性、有界性、局部保号性.三、教学方法启发式教学法四、教学过程需1课时一授课内容1 .数列极限的定义1描述性定义给定数列xn,假设随着n的无限增大,Xn无限地趋于某一确定的实数 A,那么称数列 Xn当n T笛时以A为极限,记作lim Xn = A. n2精确定义定义1.3.1设有数列 Xn,假设存在常数A,使寸名A 0,存在正整数N, 当nT

8、笛时,恒有Xn - A 成立,那么称数列Xn以A为极限.记作lim Xn = An ： n定义1.3.1可以概括为如下形式名-N定义：lim Xn = A u Vs >0, 3N ,当 n>N时,恒有 Xn - A < S.njpc2 .数列极限的几何意义3 .例题例 1 证实：lim n =1. 例2 设 | q |<1,证实：limqn=0.n- ' n 1n4 .收敛数列的性质定理1.3.1假设数列 Xn收敛,那么它的极限唯一.定理1.3.2假设数列 Xn收敛,那么数列 Xn有界(即有极限的数列必有界).定理1.3.3 假设lim Xn = A ,且A&g

9、t;0 (或A<0),那么存在正整数N ,使当n>N时, n,有 Xn>0(或 Xn <0).定理1.3.4假设数列Xn收敛于A,那么 Xn的任何子数列 Xkn都收敛于A.(二)课堂练习P54 习题一(A) 13(2)(3) 14(1)(三)小结本节讲解了数列极限的定义、几何意义以收敛数列的性质.(四)课后作业P54 习题一 (A) 13(1)(4)(5) 14(2)§ 1.4 函数的极限一、教学目标与要求1 .理解函数极限的概念两种形式.2 .理解左、右极限的概念,掌握左、右极限与极限的关系3 .熟练判别分段函数在分段点处的极限.4 .理解函数极限的性质唯一

10、性、局部有界性、局部保号性5 .了解函数极限与数列极限的关系即海因定理.二、教学重点与难点1 .函数的两个极限定义的理解.2 .分段函数在分段点处极限的判断.3 .函数极限与数列极限的关系一一海因定理.三、教学方法讲练结合法四、教学过程需2课时一复习数列极限的定义二授课内容1 .4.1 函数极限的定义2 .当XT°O时,函数fX的极限1当XT笛时,函数fX的极限定义1.4.1 假设对于VW A0,总存在一个正数 M,使当x >M时,恒有f x - A <名成立,那么称当xTg时,fx以A为极限.记作|im_ f (x) = Ax >M 时,恒有 f (x) - A定

11、义1.4.1又称为名-M定义,可概括为如下形式:!imJ(x)=Au v ® > 0, 3 M >0,当一 一 .1.例1 证实：lim- = 0(1)当XT y时,函数f(X)的极限只需在定义1.4.1中,把x A M ,改为x A M即可.记作lim f(x) = A. x(2)当x T g时,函数f(x)的极限只需在定义1.4.1中,把x > M改为x < -M即可.记作lim f (x) = A. x-co注 上述自变量的三种变化过程必要时应区别使用.如：3T3Tlim arctanx = , lim arctanx =-二, 而 lim arctan

12、x不存在.x)二2 x)一二2x)二3 .当xt x0时,函数f(x)的极限先由两个例题直观的表述此种极限的描述性定义,再引出精确定义.定义1.4.2如果对于任意的8 A0,总存在正数6 ,使当0<|x-% C6时,f(x)-A<w恒成立,那么称当xt x0时,函数f(x)以A为极限.记作lim f (x) = Axx0注(1)定义1.4.2可以概括如下：lim f(x)=Au V 8 a 0,三6 a 0,当 0 c x - x0 <6 时,有 f(x)A<w 成立.x0(2) 由定义可知,函数f(x)在xt x0时有无极限与函数f(x)在点x0处有无定义无关.(3)

13、 xim f(x) = A的几何意义.3 .左极限与右极限定义1.4.3 如果当x从Xo的左侧趋于Xo时,f(x)无限地趋于常数A,即寸名>0/6 A0,当0 <Xo x<8时,有f (x) A <生那么称A为f(x)当xt Xo时的左极限.记作lim_f(x) = A 或 f(Xo-0)=AXXo 一如果当X从X0的右侧趋于X0时,f(X)无限地趋于常数A,即V名>0,A0,当0 <x X0 <6时,有f(x)A <生那么称A为f(X)当XT x0时的右极限.记作limJ(x) = A 或 f(X0+0)=AXX0 -4 .极限与左、右极限的关

14、系定理 1.4.1 lim f(x)=A = lim f (x) = lim f (x) xX0x >x0x_xo -5 .例题(1)证实：lim(2x+1)=3j1x x <1 (2)设f(x)=试讨论极限lim f (x).、2x +1x >171.4.2函数极限的性质1 .函数极限的性质定理1.4.2 (唯一性)假设lim f(x)存在,那么极限唯一. x %定理1.4.3 (局部有界性)假设lim f(x)存在,那么在点看的某个去心邻域内,函数f(x)有界.定理1.4.4 (局部保号性)假设lim f (x) = A ,且A>0 (或A<0),那么在点x0

15、的某 jx个去心邻域内,有f(x)>0 (或f(x)<0).推论 假设在点x0的某个去心邻域内,有f(x) >0 (或f(x) w 0),且lim f (x) = A , x/那么 A>0 (或 A<0).2 .函数极限与数列极限的关系一一海因定理( 定理1.4.5 )作用：将数列极限转化为函数极限计算.(二)课堂练习P54 习题一(A)14(1) 15(1)(三)小结本节重点讲解了函数的两种极限问题：lim f(x)=A与lim f(x)=A以及函数极 x )- -x 'x限的性质.(四)课后作业1 .总结极限定义,有什么共性？能否用通俗的语言给出通用定

16、义 .2.P54 习题一(A) 14(2) 16 17五深化与拓宽极限思想的应用一一化未知为定值的思维方式.六教学中应注意的几点问题1 .学生从高中升入大学,学习环境及授课方式都发生了变化；引导和提醒学 生尽快适应大学生活.强调：自觉性、自律性.2 .课前要预习与课堂记笔记.§ 1.5 无穷小量与无穷大量一、教学目标与要求1 .理解无穷小与无穷大的定义.2 .掌握无穷小与无穷大的性质.3 .了解无穷小与无穷大之间的关系,会判别无穷小与无穷大.二、教学重点与难点重点：无穷小与无穷大的判别.难点：无穷小的性质.三、教学方法讲解、启发式以及练习相结合.四、教学过程需1课时一授课内容4 .5

17、.1.无穷小量的概念及其性质5 .无穷小量的定义定义1.5.1极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小.即假设在某个变化过程中有iimy=0,那么称在该变化过程中y为无穷小.注1强调变化过程2常数0是无穷小6 .无穷小的性质无穷小有以下性质：定理1.5.1无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.推论常量与无穷小的乘积仍是无穷小.定理1.5.2limf(X)=A充分必要条件是f(X)=A+a ,其中lim o=0.无穷小还有两条显然的性质：性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小性质2有限个无穷小的积仍是无穷小.利用上面的性质可以求极限1 例 1 求 lim xsin 一 , x Q xlimcosnn

18、,：.：n7 .5.2无穷大量8 .无穷大的概念定义1.5.2 在变量y的变化过程中,如果|y|可以无限地增大,那么称变量y在该变化过程中为无穷大量,简称无穷大.记作limy =s.9 .无穷大的性质性质1两个(有限个)无穷大的乘积仍是无穷大性质2无穷大与有界变量之和仍是无穷大.10 无穷大与无穷小之间的关系定理1.5.3在自变量的同一变化过程中,(1)假设y为无穷大,那么工为无穷小；y(2)假设y为无穷小,且y为,那么二为无穷大.y(二)深化与拓宽定理1.5.2的运用(三)课堂练习P54 习题一(A) 25(1)(B)10 11(四)小结本节主要讲了无穷小与无穷大的定义,无穷小的性质及无穷大

19、与无穷小之问的关系.(五)作业P54 习题一 (A) 25(2)(3)(4)§ 1.6 极限的运算法那么一、教学目标与根本要求1 .掌握极限的四那么运算法那么.2 .掌握计算极限的技巧约公因式、有理化与求极限的反问题.3 .掌握复合函数极限的运算法那么,会计算简单函数式的极限.二、教学重点与难点重点：极限的计算难点：极限的反问题三、教学方法讲练结合教学法四、教学过程需2课时一复习变量的极限以及变量极限的性质.二授课内容1.6.1 四那么运算法那么定理1.6.1假设limfx = A, limgx=B 在每个极限均存在条件下那么(1) limf(x) _g(x) =limf(x) _l

20、img(x) =A _ B(2) limf(x)g(x) =lim f(x) limg(x) =A B(3)当 limg(x)=Bw0 时,f (x)lim f (x)Alimg(x)lim g(x)B四那么运算法那么的三个推论:推论 1 设 c 为常数,limf(x)存在,那么 lim cf(x)=climf(x).推论2 假设 limf(x)存在,n 为正整数,那么 limf(x)n= limf(x)n .学生练习例 1 lim(2x2 -x + 5) 例2 lx+1)(2x3-8)一 3x T- x 2例3 lim例4 limx 2 x 6x x-2利用运算法那么求极限的技巧(1)当XT

21、必时,“抓大头法2x2 3x1lim 2X-5x2 4x 3L 25x 4x -1lim 3J 3x 2x -53x3 - x 2lim2f ： 2x2 1进一步总结出规律.(2)约公因式法假设在求极限过程中,分子、分母均趋于零且有公因式,那么在求极限过程中应 该先约分.2/一 x - 2x -1例 2 求极限：lim - , lim -2.x 2 x -8 x 1 2x - x -1(3)有理化法假设极限式中含有无理式,且无理式导致不能运用法那么,那么将具有理化例3求极限：limx_0lim ( . x2 x 1 - x2 - x 1).x_：i 二(4)无穷和式的极限一 ,一 12 n、例

22、4 求极限：lim(=+)+) n '二 n2 n2n2(5)极限的反问题所谓极限的反问题,指的是极限值(或存在),反求函数中的参数问题.x2 - 2x,k一例5假设lim x经上=4,求k的值. x 3 x -31.6.2复合函数的极限定理1.6.2 设y=f Mx)是函数y=f(u)与u= Mx)的复合函数,假设lim 中(x) =u0, lim f(u)=A,且当 0<|x-x0|< 6时,平(x)=u0,那么xx0uu0lim f (x) = lim f (u) = A xxou u0(三)练习P56 18 (3)(5)(四)小结1 .极限的四那么运算法那么及其用法

23、.2 .对给定的待求式子,仔细观察其特点,选择适当的方法计算.抓大头法及其适用范围约公因式法及其适用范围有理化法及其适用范围(五)作业P54 习题一(A)18 (4)(6)(8)(9)(10) 19 20 21sin x1. lim = 1x0 x例1求以下极限:sin 5x limx Q 2x2 arcsin x lim x >0 3xtanx1 n2. lim (1) = e,n w nlim(1 -)xx >:= x=e (作简单的说明)§ 1.7 极限存在准那么与两个重要极限一、教学目标与要求1 .理解极限存在的两个准那么,并能用准那么判别简单函数(数列)的极限.

24、2 .熟练掌握两个重要极限,掌握利用重要极限求极限的方法与技巧.二、教学重点与难点重点：利用两个重要极限求极限.难点：极限存在判别(准那么的应用).三、教学方法讲练结合法四、教学过程(需2课时)(一)授课内容3 .7.1 极限存在准那么定理1.7.1 (夹逼定理)假设函数f(x), g(x), h(x)满足以下条件：(1)当 xu 仇,r)时,有 g(x) W f (x) Wh(x) ; (2) lim g(x) = lim h(x) = A. x%X及那么 lim f (x) = A. xx)定理1.7.2单调有界数列必有极限.1例 1 求极限：lim(1n +2n+3n +4n+5n) n

25、 )：;例2设a>0, x = TO", xn = Ja + xn,n=2,3,求证数列xj极限存在,并求之.4 .7.2 两个重要极限推出典式：(lim：;(1 +)()=e ()1limo (1+ ： )' =e(作简单证实),给出典式：(lim0SyIyI=1.讲解应用技巧例2求以下极限:3x22、lim 1 +- I X；limX2x+1、312x3J3.第二重要极限的现实意义一一连续复利问题limx一j 二二(4)xim)(1-2x)x二练习2sin3xsin(x -1)(1) lim (2) lim x0 sin5xx-1x -1三小结本节讲授了以下问题：1

26、 .两个准那么及其应用了解；2 .两个重要极限及其应用；3 .利用重要极限求极限是本局部的重点四作业P57 58 22(1)(2)(3)(4) 23 24一、教学目标与要求1 .掌握无穷小量阶的比拟的定义.2 .熟练运用定义比拟无穷小的阶.3 .理解等价无穷小代换定理,会运用定理求解极限问题.二、教学重点与难点重点：无穷小量阶的比拟.难点：等价无穷小代换定理的应用.三、教学方法讲练结合法四、教学过程(需1课时)(一)授课内容(1) 穷小量的阶设a, B为同一变化过程中的无穷小,如果 ot(1)1皿同=0,称a是比B较高阶的无穷小,记作a =0(0).ot(2) lim刊:00,称a是比B较低阶

27、的无穷小.ot(3) lim j =C(Cw 0),称a与B为同阶无穷小.ot(4) lim b = 1 ,称a与B为等价无穷小,记作aB .(5) XT 0时,以下无穷小与相比是什么阶的无穷小？1 1) x+tan2x (2) sin2x (3) x2+2x例2 证实：当 xt0 时,1n(1 +x) LI x;(2) ex -1 LI x;(3)W +x T_x. n2 .等价无穷小代换定理f2(x)定理 1.8.1 设 f1 (x) f2(x),g1(x), g2(x),且 lim存在,那么g2(x)lim 3 ) lim f(xgi(x)g2(x)sin2x例3 求lim-x >

28、0 x 3x(e -1)sinx例 4 求 lim T 1 -COSx二深化与拓宽1 .等价无穷小的代换2 . a =0 B的应用用极限表示欲求极限问题三练习当x-0时 x , x2 + x,x3 +2x均为无穷小,试比拟它们的阶四小结1 .无穷小阶的比拟；2 .等价无穷小的代换.五作业P54 习题一 A 26 27 28一、教学目标与要求1 .理解函数连续性的概念包括左连续右连续,会判定函数的连续性.2 .了解函数的间断点的分类,能指出间断点及其类型 .3 .了解连续函数的性质和初等函数的连续性.4 .理解闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理,介值定理,零点定理,并会应用这些性质

29、.二、教学重点与难点重点：1.函数连续的定义及其连续性的判断.2 .分段函数连续性的讨论.3 .函数的间断点及其分类.4 .闭区间上连续函数的性质,零点定理及其应用.难点：函数的连续性的证实及介值性定理、零点定理的应用.三、教学方法启发式教学法四、教学过程需2课时一授课内容1.9.1 函数的连续性1 .增量改变量的概念与计算定义1.9.1设变量t从初值t0改变到终值t1,终值与初值之差t1-t0称为变量t 的改变量,记作?t,即？t= t1-t0.P46 例 12 .函数在一点的连续性1函数y=f x在点xo处连续的定义定义1.9.2 设函数y=fx在点xo的某邻域内有定义,当自变量 x在点x

30、o 处取得的改变量Ax趋于零时,函数相应的改变量 Ay也趋于零,即 躯0也丫 = 0,那么称函数fx在点x0处连续.定义1.9.2的等价定义如下：定义1.9.3 设函数f(X)在X0的某邻域内有定义,假设lim f(x)=f(X0),那么 X称函数f(X)在点X0处连续,X0是函数f(x)的连续点.注 定义1.9.2与定义1.9.3要区别使用,前者侧重于证实,后者侧重于 判断.在判断函数f(X)在点X0处是否连续时,应考察以下三个条件是否同时成立：1°在X0的某邻域内有定义；20 lim f(X)存在；30 lim f(X)=f(XO). X >X0X >X0(2)函数f

31、(X)在点X0处左、右连续的定义定义1.9.4 如果lim f(X) =f(X0)称函数f(X)在点X0处左连续； XTX0 一假设lim f (x) =f(Xo),称函数f(X)在点X0处右连续. xx0 3 .函数f(X)在区间上连续定义1.9.5如果函数*刈在(2,幼内任一点都连续,称*刈在(2,场内连续；如果f(X)在(a, b)内连续,在a点右连续,在b点左连续,那么称f(X)在a, b 上连续.1.9.2 函数的间断点及其类型1.9.3 断点的定义由于函数函数f(X)在点X0处连续需满足三个条件：10在X0的某邻域内有定义；20 lim f(X)存在；30 lim f(X)=f(X

32、.). X >X0X >x0假设函数f(X)在X0点不能满足上述三条,那么称函数f(X)在点X0处不连续,称点X0为f(X)的间断点.-1例 1(1)f(x)= ,(2) f (x)X1msin x = 0例 2 y = < x.0 x = 0求以下函数的间断点：X -1-2 .x -1x -1x ： 0例 3f(x)= 0 X = 0 .X +1X > 0J2.函数间断点的分类：左右极限均存在的间断点为第一类间断点；其余的为第二类间断点.按极限状态分别称：无穷间断点、跳跃间断点、振荡间断点与可去间断点1 .9.3初等函数的连续性2 .连续函数的运算法那么定理1.9.1(连续函数的四那么运算)定理1.9.2(复合函数的连续性)定理1.9.3(反函数的连续性)3 .初等函数的连续性根本初等函数在其定义域上连续；初等函数在其定义区间上连续.4 .(非初等)函数连续性讨论X sin 2x-x 0例1设f(x) = x,问k为何值时,f(x)在其定义域上连续?Jx + k)2 x>0例2利用函数的连续性,求以下极限.(1)lxm0Sin(1x. x24)(2叩01n1xm(12x护1.9.4 闭区间上连续函数的性质性质1