2004年上海市高考数学试卷(文科)

1、2004年上海市高考数学试卷文科、填空题共12小题,每题4分,总分值48分11. 4 分右 tana =一 ,那么 tana +=.242. 4分设抛物线的顶点坐标为2,0,准线方程为x=1,那么它的焦点坐标为 .3. 4 分设集合 A=5 , 10g2a +3,集合 B =a , b .假设咽 B =2 ,那么 AJ B =.1 一8 一4. 4分设等比数列annWN的公比q =-,且：吗a1 + a? + a5+十的、,那么5. 4分设奇函数fx的定义域为亮,5,假设当xW0, 5时,fx的图象如图,那么不等式f x <0的解集是6. 4分点 A-1, -5和a =2,3,假设iB

2、=?a ,那么点B的坐标为,演女4 I7. 4分当x、y满足不等式组?尸3时,目标函数k=3x2y的最大值为 .x y, 88. 4分圆心在直线 x=2上的圆C与y轴交于两点 A0, -4 , B0,-2,那么圆C的方程为.一.10 一 一 9. 4分假设在二 项式x +1的展开式中 任取一项,那么 该项的系 数为 奇数的概 率是 .结果用分数表示10. 4分假设函数f x=a|x-b|笠在0,y上为增函数,那么实数a、b的取值范围是 .11. 4分教材中“坐标平面上的直线与“圆锥曲线两章内容表达出解析几何的本质是.12. 4分假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量.设a.是公比为

3、q的无穷等比数列,以下an的四组量中,一定能成为该数列“根本量的是第 组.写出所有符合要求的组号§与S2；a2与S3；ai与1;q与a其中n为大于1的整数,0为1的前n项和.二、选择题共 4小题,每题4分,总分值16分13. 4分在以下关于直线1、m与平面a、P的命题中,真命题是A .假设 luP,且 a_LP,那么 1_LaC.假设以| m =m ,且 1 _Lm ,那么 1 / Za14. (4分)三角方程2sin(工x) =1的解集为2A. x|x=2kn+g, kWZTTC. x|x=2kn士二,kZ315. (4分)假设函数 y=f(x)的图象与函数那么 1 _ ：D.假设

4、 1_LP,且 ot_LP,那么 1/ot()5B. x|x =2kn 十一 ,kw Z3D. x|x=kn +(1)K , kZy =1g(x+1)的图象关于直线 x-y=0对称,那么B.假设 1 _LP ,且 a/P ,fx=A. 10x1B . 1 -10xC. 1104D. 10116. 4分某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436假设用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来

5、衡量该行业的就业情况,那么根据表中数据,就业形势一定是A .计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张三、解做题共6小题,总分值86分17. 12分复数 4满足1+iz1 =1+5i, Z2 =a2i ,其中i为虚数单位,a= R ,假设|Z -4|<|4|,求a的取值范围.18. 12分某单位用木料制作如下图的框架,框架的下部是边长分别为 x、y 单位：m的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积8m2,问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？21. (16分)如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,x 319. (

6、14 分)记函数 f(x)=12的定义域为 A, g(x)=lg(x_a1)(2ax) , (a <1)的x 1定义域为B .假设B£A,求实数a的取值范围.1 1 220. (14分)如图,直线y=-x与抛物线y=-x -4交于A、B两点,线段 AB的垂直平分 28线与直线y = -5交于Q点.(1)求点Q的坐标；(2)当P为抛物线上位于线段 AB下方(含A、B)的动点时,求 AOPQ面积的最大值.D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面 DEF /底面 ABC ,且棱台 DEF ABC与棱锥 P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1)证实：

7、P - ABC为正四面体；1.(2)假设PD =DA =-求二面角D -BC A的大小；(结果用反三角函数值表不) 2(3)设棱台DEF -ABC的体积为V ,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,第3页(共15页)使得它与棱台DEF _ABC有相同的棱长和？假设存在,请具体构造出这样的一个直平行六22. (18 分)设 P(x ,yi) ,P(X2,y2),Pn(Xn,Yn)(n-3 , nN)是二次曲线 C 上的点,且a =|OPi |2, a2 =|OP212 ,an =|OPn |2构成了一个公差为 d(d #0)的等差数列, 其中O是坐标原点.记 S =a +a2 + an

8、.2(1)假设C的方程为 -y2 =1 , n =3 .点P"3,0)及$ =162 ,求点P3的坐标；(只需写出9一个)(2)假设C的方程为y2 =2px(p/0).点P(0,0),对于给定的自然数 n,证实：(xi+p)2, 22(X2 +P),(Xn +p)成等差数列； 22(3)假设C的方程为 土十方=1(abA0) .点P(a,0),对于给定的自然数 n ,当公差d变化时,求Sn的最小值.符号意义本试卷所用符号等同于?实验教材?符号向量坐标a = X,ya=(x, v)正切tgtan2004年上海市高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、填空题共12小题,每题4分,总分值48

9、分1 一二1. 4 分右 tana =一 ,那么 tana + = 3 .2 4【解答】 a Vtana=l11.=31-12,2 tan_i -1.tan(二一)=41 tan、工2. 4分设抛物线的顶点坐标为2,0,准线方程为x = 1 ,那么它的焦点坐标为 _5,0【解答】解：顶点到准线距离是2(1)=3,那么焦点到顶点距离是3,且和准线在顶点两侧所以横坐标是2+3 =5.,它的焦点坐标是 5,0.故答案为5,0.3. (4 分)设集合 Ag5 , 10g2(a+3),集合 B=a , b.假设 唱 B =2,那么 aJb=_12- 5 一【解答】解：Ap|B =2 ,.log2(a+3

10、)=2 .a =1 . . b =2 ., A =5 , 2 , B =1 , 2 .二 aUb =1 ,2, 5,故答案为1 ,2, 5.18 一.4. (4分)设等比数列an( n = N)的公比q ,且 陛 a1 +a3七5 t,-+a2 J =-,那么& =2 .【解答】解：人=,2a18：吗& +a3 +a5 +.,+ a2nX) =-1=-.1 -4故答案为2.5. (4分)设奇函数f(x)的定义域为-5, 5,假设当xW0, 5时,f(x)的图象如图,那么不x| 2 <x <0或 2 <x, 5【解答】 解：由奇函数图象的特征可得f (x)在-5

11、, 5上的图象.由图象可解出结果.故答案为x| 2 <x<0或2 <x 5.6. (4分)点A(1,-5)和'=(2,3),假设AB =3a ,那么点B的坐标为_ (5,4)【解答】 解：由题意知,AB =3a =(6,9),又因点A的坐标是(1,*),那么点B的坐标为(6 1 , 9-5) =(5 , 4).故答案为：(5,4).21女47. (4分)当x、y满足不等式组 任-3 时,目标函数k=3x2y的最大值为6x y, 8 3 k【解答】 解：作出可行域将目标函数k=3x-2y变形为y =-x-223 作出直线y =3 x,将其平移至(4,3)时纵截距最小,k

12、最大所以k的最大值为3M4-2父3=68. (4分)圆心在直线 x=2上的圆C与y轴交于两点 A(0,K), B(0, -2),那么圆C的方程为_ 22(x -2)十(y +3) =5_,【解答】 解：根据垂径定理可得 AB的垂直平分线y = -3过圆心,而圆心过x =2 ,那么圆心坐标为(2,),圆的半径 r AC |= J(2-0)2 +(-3+4)2 = J5 ,那么圆的标准方程为：(x 2)2 +(y +3)2 =5 .故答案为：(x-2)2 (y 3)2 =510 一9. (4分)假设在二项式(x+1)的展开式中任取一项,那么该项的系数为奇数的概率是生(结果用分数表示)11 一【解答

13、】解：展开式中共有11项,其中只有4项的系数C1o, G0, C80, C；为奇数.该项的系数为奇数的概率是11故答案为土 1110. 4分假设函数fx=a|xb|42在0 ,收上为增函数,那么实数 a、b的取值范围是 a >0H b, 0 _.【解答】 解：f x =a |x _b|也的图象可看作把 y=a|_|x|的图象向左或向右平移|b|个单位,再向上平移 2个单位得到的.由画出图形,如下图,可得a >0且b, 0 ,故答案为：2>0且00.11. 4分教材中“坐标平面上的直线与“圆锥曲线两章内容表达出解析几何的本质是 用代数的方法研究图形的几何性质.【解答】解：这两章

14、的内容都是通过建立直角坐标系,用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质.故答案为用代数的方法研究图形的几何性质12. 4分假设干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“根本量.设aj是公比为q的无穷等比数列,以下an的四组量中,一定能成为该数列“根本量的数第 组.写 出所有符合要求的组号S与S2;a2与S3；&与an ;q与an .其中n为大于1的整数,Sn为aj的前n项 和.【解答】解：1由&和S2,可知a1和a2.由空可得公比q ,故能确定数列是该数列的 “基 a1本量,故对；2由a2与S3,设其公比为q ,首项为& ,可得a2 =&q , a=电,S3 =a

15、+aq+ a1q2 , qa22S3 =一+& +a?q ,a2q +a2Ssq+a2 =0 ; q满足条件的q可能不存在,也可能不止一个,因而不能确定数列,故不一定是数列的根本量,不对；3由2与a»可得an =aiqn,当n为奇数时,q可能有两个值,故不一定能确定数列,所以也不一定是数列的一个根本量.4由q与4由an=aiqn,故数列a.能够确定,是数列a.的一个根本量;故答案为：.二、选择题共 4小题,每题4分,总分值16分13. 4分在以下关于直线I、m与平面口、B的命题中,真命题是A.假设 luP,且 u_lP,那么 I_LotB.假设 |_LP,且 ot/P,那么

16、I_LotC.假设 a.m =m ,且 I _Lm,那么 I / /aD.假设 I _L P ,且 a _L P ,那么 I / 位【解答】 解：A不正确,由面面垂直的T质定理可推出；C不正确,可能Iua；B正确,由线面垂直的定义和定理,面面平行的性质定理可推出；D不正确,由面面垂直的性质定理可知,口| P =m,且I _Lm , I _L P ,那么I Ua ；14. 4分三角方程2sin x =1的解集为A . x|x=2kn +- , kZ3B.5 二 x |x =2kn +,3k Z3TC. x| x =2kn 士一 , k w Z3D. x|x=kn +(-1)K , k Z1【斛答

17、】 斛：, 2sin( -x) =1,2cos x W ;.cos x =一 22'x=2kn 士一, kZ 3应选：C .x- y =0对称,那么15. 4分假设函数 y=fx的图象与函数 y =Igx+1的图象关于直线f(x)=()A . 10x _1B . 1 _10xC. 1 -10-D. 10- -1【解答】 解：,-函数y = f (x)的图象与函数y =lg(x+1)的图象关于直线x_y=0对称, .函数y=f(x)与函数y =lg(x+1)互为反函数,y =lg (x+1).反函数 f(x)=10x_1,应选：A .16. (4分)某地2004年第一季度应聘和招聘人数排

18、行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436假设用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,那么根据表中数据,就业形势一定是()A .计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张【解答】解：:用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,建筑行业招聘人数是 76516,而应聘人数没有排在前五位,小于65280,建筑行业人才是供不应求,物流行业应

19、聘人数是 74570,而招聘人数不在前五位,要小于70436 ,二物流行业是供大于求,二就业形势是建筑行业好于物流行业,应选：B .三、解做题(共6小题,总分值86分)17. (12分)复数4满足(1十i)乙=-1+5i, Z2 =a2i ,其中i为虚数单位,a= R ,假设| z -Z2网Z1 |,求a的取值范围.【解答】解：由题意得z1 = T 5i =2 3i ,1 - i是 |z1 W曰4_a+2i|=J(4a)2+4, |乙 |=g/(4a)2 +4 二痴, 得 a2 -8a +7 <0 , 1 <a <7 .28m .向x、y分力1J为多少精18. 12分某单位用

20、木料制作如下图的框架,框架的下部是边长分别为 x、y 单位：m的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积确到0.001m时用料最省？【解答】解：由题意得xy+1x2=8,42x88 x-: y =-4- =(0 <x <4j2).x x 4框架用料长度为,l =2x+2y +2(x) =(3 + .2)x+16 -4j6+4& . 22x当(12)x =16 , IP x8-4. 2 时等号成立.此时,x；t2.343, y =2 五% 2.828.故当x为2.343m, y为2.828m时,用料最省.x 319. (14 分)记函数 f(x)=j2 的定义域为 A

21、, g(x)=lg(xa1)(2ax) , (a <1)的 x 1定义域为B .假设B工A,求实数a的取值范围.【解答】解：由29-0得：1-0 ,解得x<1或x-1,x 1x 1即 A =(f -1)|J1 ,y)由(x -a -1)(2a -x) >0 得：(x -a -1)(x -2a) <0由 a<1 得 a+12a, ,B=(2a,a+1)*；B£A,2a -1 或 a+1, -111即 a一或 a, 2 ,而 a 父1 , . _, a <1 或 a, -2 22故当B=A时,实数a的取值范围是g, _2|1,1.一,1 1 220.

22、14分如图,直线y=x与抛物线y=-x -4交于A、B两点,线段AB的垂直平分8线与直线y = -5交于Q点.1求点Q的坐标;2当P为抛物线上位于线段 AB下方含A、B的动点时,求 AOPQ面积的最大值.从而AB的中点为M 2,1,或x =8y2 =4即 A(口,2), B(8,4),1由kAB"'直线AB的垂直平分线万程y -1 = 2(x2).令 y=-5,得 x=5, .Q(5, -5).1 c(2)直线 OQ 的万程为 x+y =0 ,设 P(x,-x2 -4). 8丁点P到直线OQ的距离| x -x2 -4| d2|x 8x -32 | .15 o|OQ |=5/2

23、 ,二 Spq =一|OQ |d =一|x2 +8x32| 216"：P为抛物线上位于线段 AB下方的点,且P不在直线OQ上,:4, x <4於4或4.4 cx 8 .丫函数y =x2+8x -32在区间4,8上单调递增,当x =8时,AOPQ的面积取到最大值 30.21. 16分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长 PA、PB、PC上的点,截面 DEF /底面 ABC ,且棱台 DEF ABC与棱锥 P-ABC的棱长和相 等.棱长和是指多面体中所有棱的长度之和1证实：P - ABC为正四面体； 1.2假设PD =DA=万求二面角D -BC -A的大小

24、；结果用反三角函数值表不3设棱台DEF -ABC的体积为V ,是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体, 使得它与棱台DEF ABC有相同的棱长和？假设存在,请具体构造出这样的一个直平行六【解答】 证实：1:棱台DEF -ABC与棱锥PABC的棱长和相等,: DE +EF +FD =PD +OE +PF .又,-截面DEF /底面ABC ,.DE =EF =FD =PD=PE=PF , /DPE =/EPF =/FPD =60.,J.PABC 是正四面体解：2取BC的中点M ,连拉PM , DM . AM .VbC _LPM , BC _LAM ,BC _L平面 PAM , BC _L DM ,那么/DMA为二面角 DBCA的平面角.由1知,P - ABC的各棱长均为1 ,3.PM =AM =,由D是PA的中点,得AD 33sin /DMA =,/ DMA =arcsin.AM 33(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF -ABC的棱长和为定值6,体积为V .设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为 a ,2那么该六面体棱长和为 6,体积为1sinot=V .8'正四面体 P - ABC 的体积是, 0 <V < , 0 <8V <1 ,可知 a =arcsin(8V)1212故构造棱长均为 1 ,底面相邻两边夹