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文档简介

1、第十一讲矩阵的QR分解，G i vens矩阵与G i vens变换1.定义：设实数C与s满足c2(i)Tij(j)ij为Givens （吉文斯）矩阵（初等旋转矩阵）Givens变换（初等旋转变换）说明：（1）实数c2 + s2 = 1 ,故存在。，使c = cos， s = sin .（2） y = Mx中Tj确定了将向量x变成y的一种变换，正是 Givens变换.二阶情况下，cos sin ，、一，一一 一.y= ix确定的正是平面直角坐标系中IL sin 口 cos绕原点的一个旋转变换（按顺时针方向旋转e角）.（3）以上实Givens矩阵也可推广成为复初等旋转矩阵j cej四 sej% 一

2、 sejZ ce(k)ik其中c与s仍为满足的实数,2/3/4为实角度,显然,det( U ik)二2 j(% U4)c e2 j(W)s e ;时，det( Uj(% )ik ) = e；3 3 = 2nH 时,det( U ik)，1 .2.性质(1) LTij(c,sTTij(c,s)= Tij(c，s),- s = - sin(9 ) = sin( - e ),(即旋转9度再反向旋转9度，就可还原）det Tij（c,s）= 1.(2)设 x = _ 1 ,2，y = Tijx ;则有(k ; i, j)一 _js -2 T，弋i j一T x 二ij x巴匕1 ， i-1 ，j-1,0

3、,定理1设乂=产# 0 ,则存在有限个说明：（1） |x| = J|x|； = JxT x （x 为实向量时）;x| = JxH x （x为复向量时）；(2) %，1 , 0 , 0, 0 1T证：先考虑# 0的情形:(1)构造 Ti2(c,s):（2）对Lx再考虑T T x13 12 x0,(3)依此类推,T1k(c,s): c =构造(k : 2,3,T1k(T1,k_iT13T小),n)直至k = n .令T = T1J11I,则有 I II , II /0,- /7-2 22/ 2- 1Tx = H -2n， 0，0， 0= X e1.L J再考虑 = 0的情形：若 * 1 = 2 2 =* k.1 = 0，-0(1 =rI bi I V 6V 6v3q2也|b2v3q3|b3b372b3于是a2a1 = b1 ,十b1 b2， a371.6A 二(ai , a? /a?) = (4 , b2b3)011 一3017 1.6=(6q1 , V3q2 , V2q1 1.301IJ71-611.301V600I|=(q1，q2, q3) 07300 I- 00V2 07需1五上一 厂：上。o O一! 1L(正。1五- 1石1f石-1正2正_1

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