2012年概率论与数理统计试题及答案

1、自测题(第一章)一、选择题(每小题 3分，共15分)：1.在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示 选出的学生是男生”，B表示“选出的学生是三年级学生” ，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含义是( B ).(A)选出的学生是三年级男生；(B)选出的学生是三年级男子篮球运动员；(C)选出的学生是男子篮球运动员；(D)选出的学生是三年级篮球运动员；2 .在随机事件A, B,C中，A和B两事件至少有一个发生而 C事件不发生的随机事件可表示为()(A) ACUBC(B) ABC(C) AB C U ABC U ABC(D) A U B U C3 .甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6,乙胜的概

2、率为 0.4,设A为甲胜，B为乙胜，则甲胜乙输的概率为().(A) 0.6 X 0.6(B) 0.6 -0.6 X 0.4(C) 0.6 -0.4(D) 0.64,下列正确的是().(A)若 P(A) >P(B),贝U B J A (B)若 AU B ,贝U P(A) > P(B)(C)若 P(A) = P(AB)，则 A £ B (D)若 10 次试验中 A 发生了 2 次，则 P(A) = 0.25.设A、B互为对立事件，且 P (A) > 0, P(B) > 0 ,则下列各式中错误的是()(A) P(B|A)=0 (B) P(A|B)=0 (C) P(A

3、B)=0(D) P(aUb)=1解：1.由交集的定义可知，应选(B)2 .由事件间的关系及运算知，可选( A)3 .基本事件总数为C；,设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为 c5=5,故P(A尸三，故 C 8应选(D)。4 .由题可知 A1、A2互斥,又 0<P(B)<1, 0<P(A1)<1 , 0<P(A2)<1,所以 P(A1B U A2B)=P(A1B)+P(A2B) F(A1A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 故应选(C)。5 .因为 A、B 互为对立事件，所以 P(A+B)=1 , P(AB)=0 ,又

4、 P(A)A 0 , P(B)>0 ,所以 B=A,因而 P(B |A)=P(AA)=1，故选(A)二、填空题(每小题 3分，共15分)：1 . A、B、C代表三件事，事件“ A、B、C至少有二个发生”可表示为 . 1_ 一2 .已知 P(AB) =, P(AB ) = P(A) P(B), P (AB) = P( AB),则 P(A) =.163 . A、B 二个事件互不相容， P(A) =0.8, P(B) =0.1 ,则 P(A B) =.4 .对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7 ,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 .,195

5、 .设 A、B、C 两两相互独立，满足 ABC =6,P(A) =P(B) =P(C) <一，且已知 P(A + B+C) = 一，则216P(A) = 解：1. AB+BC+AC五、(6分)3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为A表示“密码译出"，则A = A1，A2 . A3P(B | A)P(B)P(A | B)P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.96 0.980.96 0.98 0.04 0.05= 99.8%2 . A、B 相互独立，. . P(AB)=P(A)P(B) . P(AUB)=P(A)+P(B) F(AB)=0.2+0.5 -0.1=0

6、.63 . A、B 互不相容,则 P(AB)=0 , P(A-B)=P(A) -P(AB)=0.8,则三次射击中恰有一次击中目标可表示为4 .设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”ABC +ABC + ABC,即有P(ABC ABC ABC )=P(A) P(B )P (C ) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B) P(C) =0.365 .甲产品滞销或乙产品畅销。三、判断题(正确的打错误的打 爻”，每小题2分共10分)：1 .设A、B为任意两个互不相容事件，则对任何事件C , AC和BC也互不相容.2 .概率为零的事件是不可能事件.3 .设A、 B为任意两个事件，则

7、P(A AB ) = P(A) P(AB ).4 .设A表示事件男足球运动员”，则对立事件 A表示女足球运动员” .5 .设P(A) =0 ,且B为任一事件，则 A与B互不相容，且相互独立.解：1.正确2.不正确3.正确4.不正确5.不正确四、(6分)从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率.解：设A表示事件“ 12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由12R-乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为12，而事件A所包含的形式有P12种，则P(A)='17 =0.000054。12七、(10

8、分)假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件，30件和40件，而一等品分别有 20件，12件及24 件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回)，试求先取出的零件是一等品的概率； 并计算两次都取出一等品的概率.解：设Bi、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20, 12, 24件的箱子，Ai、A2分别表示第一、二次选出的为一等品，依题意，有P(Ai)=P(Bi)P(AJBi)+P(B2)P(Ai |B2)+P(B3)P(Ai|B3)1201121247- .=0.46735033034015120191121112423P( A1A2)="P(Bi)

9、P(A1A2| BQ=0.220i a35049330293403911八、(10 分)设 P(A) = , P(B)=.321, 一1.右 AB =，求 P(BA); 2.右 AuB,求 P(BA) ; 3.右 P(AB)=,求 P(BA).81解：1. P(B A)=P(B)-P(AB)因为 A, B 互斥，故 P(AB)=0,而由已知 P(B)=-21 P(BA)=P(B)=-21. 12. P(A)=-,由 AuB 知:P(AB)=P(A)=-33111P(B A)=P(B)-P(AB)=-=- 2363. tP(AB)=L P(BA )=P(B) -P(AB)=1 -=- 8288九

10、、(10分)一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取 2件进行测试，若合格，则进入第二 道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂.两 道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05, 一件不合格品被认为合格的概率为0.01,已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率.解：设H 1表示报名表是第i个地区考生的(i=1,2, 3), Aj表示第j次抽到的报名表是男生表(j=1,2),则1P(Hi)=P(H2)=P(H3)= 3_7820P(A1|H1)=； P(A1|H2 )= ；P(Ai|H3)=

11、 一10152531 37529(1) P=P(A1)=" P(H i)P(A1 | H i)()= i43 101525907810(2)由全概率公式得P(A21H1)= 一，P(A21H2)= 一，P(A21H3)= 一101525785P(A1A21Hi)=,P(AiA|H2)=，P(AiA2|H3)= 3030303.1782061P(A2)=" P(H i)P(A2 | H i)()i 4310152590一,一 .、一17305)，3 30因此,二 P(A | A2)二P(A1A2)20P(A2)6161P(A1A2)=" P(H i)P(A>2

12、 | H i)=一(90十、(8 分)设 0 < P( A) <1,0 <P(B) <1, P(A | B) +P(A | B) =1 ,试证事件 A 与 B 相互独立.证明:0<P(A)<1 ,0<P(B)<1P(AB )P( AB) 1 - P( A B)P(A|B)=L ,P ( A | B ) =_=P(B)P(B) 1 - P(B)1 - P( A) - P(B) P(AB)一1 - P(B)又 P(AB)+P(a | B)=11 -P(A) -P(B) P(AB) P(B) - P(AB)1 -P(B)- P(B)化简，彳导:P(AB

13、)=P(A)P(B)事件A、B相互独立自测题(第二章)一、选择题(每小题 3分，共15分)：1 .设随机变量 X的分布律为P X =k =b，J(k =1,2,)，则()(A) 0 < 九 <1 ,且 b =1 -Z-(B) 0 <九< 1 ,且b =九(C) 0 < 九 <1 ,且 b = %,一1 (D) 0 c 九 <1 ,且 b =1 +九22 .设随机变量 X的密度函数为f (x) =Ae，则()(B)3 .设随机变量X的概率密度和分布函数分别是f (x)和F (x),且f (x) = f (-x),则对任意实数a ,有F (-a)=().1

14、 1(A) F(a)(B) - +F(a)(C) 2F(a)1(D)1 - F (a)2 24 .设相互独立白随机变量X,丫具有同一分布，且都服从区间0, 1上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是().(A) ( X ,Y )(B) X +Y(C) X Y(D) X 25 .设(x)与F2(x)分别为随机变量 X1与X2的分布函数，为使F(x) =aF1(x) bFz(x)是某随机变量的分布函 数，在下列给定的各组数值中应取().32一2 .2(A)a = 一，b = (B) a = ，b5533131 .3(C)a =, b=一(D) a =一,b=22221 解工 PX =

15、k =bZ+b? +=b'一=1故选(C)f(x)dx二1即:bx .a _Aa e dx=_ =1 bb=-a又二 f(x)=a 6bx / 0a>0故选(D)XN(也仃2)1- f(x)=_2JiaU)2由4个结论验得(B)为正确答案P(X =Y) = P X =1,Y =1P X = 2,Y = 21122-x + x 故选(D)3因为F(x)必须满足条件0WF(x) <1,而只有取a = ,b52 -时，才会使0W F(x) & 1满足，故选(A) 5二、填空题(每小题 3分，共15分)：1.二维随机变量(X ,Y7121a0.22p0.3)的联合分布律为：

16、，当X ,Y相互独立时，a则a与P应满足的条件是2.二维随机变量一一1(X,Y)的联合号度为：f(x,y)=1 x-(23.连续型随机变量 X的概率密度为f (x) =«0,、一24.设 X N(10,0.02 )，已知 6(2.5)=0.9938,则5.设X , 丫是相互独立的随机变量,0 ： x ：二 1 一.，,则常数 其它P 9.95 < X ：: 10 .052,则X的边缘概率密度22X N (2,仃)，Y N (3,0 )，且 P| 2X +Y -1 区 8.7654 0.95 ,则:二=1 解Z Z Pij =1ot + P +0.2 +0.3 =1 即有 ot

17、+ P =0.5 j当 X, 丫相互独立P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)a =( a+0.2)( a + P ) a =0.22 解 fX (x)=一11 登f (x, y)d y =_e- 2二二二2 y-4)上 )一_5)212 二；、.2 二二1 612 kkx dx - - =1033 解f 彳(x)d x =1 k=34 解 XN(10, 0.022)9 95 -10 P9.95 & X<10.05= P j9.95一10 < X0.02 一10 .05 -10=P _2.5 < X <2.50.02=2 (2.5) -1 =2 0.

18、9938 -1 = 0.98765 解,X, 丫相到独立. .f(x, y)=fX(x)fY(y)“一一 .，-几Acos x, | x 区一三、(12分)随机变量X的概率密度为f (x)=<4 ,试求(1)系数A ; (2) X的分布函数；(3)n0,| x |> 、4X落在0内的概率.6 JJI汽解(1)f (x)d x=1,J-=O即 4 A cos xdx =Asin |4 = . 2A =1-4-4、2A 二2(2)当 x<时，F(x)=0当|x|W工时,4F ( x)-xf(x)d x -x 2cos xd7 212x = - sin x22当x> 工时,4

19、x2F (x) = f(x)dx= 4cos xd x =1二二_ 24匕JI0,x < -41 41nnF (x)=1一十sin x, 一一 < x < 一2 244311,x 之一4 P =；f(x)dx 二sxdx 0024四、(12分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为9 =5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2h便关机，试求设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数.解：(1)，X可能的取值为0, 1,2, 3设Ai=第i个元件出故障)i=1,2, 3P(X =0) P(A1)P(A2)P(A3)=(1-0.2)(1-0.3

20、)(1-0.5)=0.28P(X =1) =P(AiA2A3)(A1A2A3)P(AiA2A3)= P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3)=0.2 >0.7 对.5+0.8 仇3 为.5+0.8 /7 为.5=0.47同理 P(X=2)=P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) =0.22P(X =3) =P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3)=0.03X的分布律:X0123P0.280.470.220.03(2)由(1)及分布函数的定义知当 x<0 时，F(x)=0当 0<x&l

21、t;1 时，F(x)=P(X=0)=0.28当 1Wx<2 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.75当 2Wx<3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.97当 x>3 时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+PX=2)+ P(X=3)=10x <00.280 <x <2<0.751 <x <2 其图为0.972 <x <31 1x >3F(x)八、一 一、,e x > 0,2五、(10分)随机变量X的概率密度为f(x) =；求丫 = X 的概率密度.0, x <0、解：分另1

22、J记 X, Y的分布函数为Fx(x), Fy(y)由于 y=x2>0,故当 y<0 时，FY(y)=0当 y=x2>0 时，有 FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=P(-Q wxw Q )y_ y= - fx (x)d x = i e d x =1 -eT：y0将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为(1 -e 7 ) ' = -ey (77)y, y >。fY (y)=2 Jy10其它fY(y) = Re0,其它六、(12分)随机变量 X和丫均服从区间0, 1上的均匀分布且相互独立.31 .写出二维随机变量( X ,Y )的边缘概率密度和联合概率密度

23、.2.求PX +Y <-.2解：(1)由题意得:11-,0 < x < 2-, 0 < y < 2fx (x)=彳2fy(y) = <20,其它0,其它又X,丫相互独立f(x y)=fx(x)f>(y)=140，0MxM 2其它1= f (x, y)d xd y =-d xd y33 433 192 d x 2-d y =-)0432七、（12分）已知随机变量 X与Y的分布律为X-101P1/41/21/4Y01P1/21/2且已知 P XY =0 =1 .（1）求（X ,Y ）的联合分布律;解：（1）由 P（XY=0）=1 ,可见（2） X与丫是否相

24、互独立？为什么?PX=-1, Y=1=PX=1, Y=1=0 1易见 P X = -1,Y =0= P X = _1= 一 41P X =0,Y =1 =PY =1= 一 21P X =1,Y =0 =PX = _1二 4111Px =0,y =0 a -(-)=0 424于是，得X和Y的联合分布：1041一021111(2)P(X=0, Y=0)=0 而 P(X=0)P(Y=0)= M (一+) =#02444P(X=0) P (Y=0)丰 P (X=0,、丰 0)X, Y不独立八、（12分）设X , 丫是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为fx(x) =«1,0,0 <

25、 x < 1其它fY (y) = "0,求随机变量Z =X+ Y的概率密度函数.设Z的密度函数为fz(z),则由卷积公式得1令zW在 zfz (z) = fY(z x)dx= ( 1fY(t)dta)当 z<0 时，fY(t)=0, .fZ(z)=0b)当 0Wz<1 时，z-1<0 , z>0 0zfz(z)= j 0dt - I e xdt =1 e二c)当 z> 1 时，z-1 >0zfz (z) = 1 e -d t = e1-e - = (e -1)e *0, z ： 0综述：fz (z) = « 1 -e -,0Mz &

26、lt;1z(e-1)e , z 之1自测题(第三章)一、选择题(每小题 3分，共6分)：则每次射击的命中率等于1 .对目标进行 3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72,().(A) 0.1( B ) 0.2( C ) 0.3( D ) 0.42 .若 D(X -Y) =D(X +Y),贝U ().(A) X与丫独立(B) D(X) = D(Y)(C) D(X+Y)=0(D) X 与丫 不相关1 .选(D);由题意知：XB(3, p),而 D(X)=3 p (1 13)=0.72 p=0.4。E(X)=0o-ax2.选(B);E(X)= f xf (x)dx = f 一

27、*dx ,而被积函数为对称区间上的奇函数,.二.- ,a22二, a - x二、判断题(每小题 3分，共12分)： 、一 1 一 一1 .设随机变量 X的概率密度为f (x) =1,q <x <依，则E(X) =0.()二(1 , x )2 .设 X N (0,cr2),则对任何实数 a 均有：X+aN(a,cr2+a2).()3 .设XN ( R,。2) , Y从参数为九的指数分布，则E (X 2 +Y 2) = R2 +。2 .()4 .设 E(XY ) =E(X )E(Y),则 X 与丫 独立.()1. X；E(X)= -x f 3dxi7dx二二1d (12. X; E(X

28、+a)=E(X)+ a=a, D(X)=D(X+a)=D(X)=；=2X+a N(0,0 2) D(X)= E(X2) -E(X)2, D(Y)=E(Y2) 1E(Y)91_1,1而 E(X)=R, D(X)=a2 , E(Y)=- , D(Y)=f(其中九=一)。九九6E(X+Y)=E(X )+E(Y )=D(X)+E(X) +D(Y)+E(Y),222=N +仃 + 2 九一。4. X;参见教材例3.14。三、填空题(每空 2分，共22分)：1.设二维随机变量(X ,Y )的联合分布律为:71211/41/2-101/4贝UE(X)=, D (X ) =, E(Y) =, D (Y) =,

29、 cov( X ,Y)='ax + 2,2 .设连续型随机变量 X概率密度为f (x)=)0MxM 10,其它一1 一，且E(X )=一，则常数a33 .设随机变量 X的数学期望E(X ) =75,.D(X ) = 5 ,且P| X - 75 |至k E 0.05 ,则k 24 .对圆的直径作近似测量，测量近似值X均匀分布于区间0,a内，则圆面积的数学期望是5 .设随机变量 X与丫相互独立，且X - N (1,2,), Y - N (0,1).令 Z =4 + 2X +3 ,则 D (Z )=6 .设随机变量(X,Y)在 区域D=(x,y) 10Mx <1,|y|Cx内 服从均匀

30、 分布，则E(3X 5Y , 2)二1111. E(X)=1 X-十2 父一十一 I_2_2212D(X)=E(X ) 1E(X) =1 x+2 黑47弋324； <4 J 16E(Y)=11(T)2D(Y)=E(Y2) iE(Y)2=12 x I1+1(-1)4223I =；41cov(X, Y)=E(XY) -E(X)E(Y)= ( ,2) x- +(_1) x 04PxY11cov( X ,Y)D(X ) . D (Y)2. 1E(X)= xf (x)dxJx (ax - 2)dx- 0a 3x<3a= -2o4.设|x|f(x)为奇函数,| f (x)dx 收敛，E(X)=

31、0oY=nfX ;表示圆面积,2XUa a, E(X)=0,D(X)=2E(Y)=E :Ji二一E (X4= D(X)E(X)3125. X 与 丫相互独立，二. D(Z)=D(>+2X+3)=D(+)+D(2X+3) =(T)2D(Y)+4D(X)=1+4 X2=9o6. D(Y)=D(2X D)=4D(X)=4 E(X2) 1E(X)2=4(4 才)=12。四、(10分)设随机变量(X,Y )的概率密度为:1(x y),0 _ xf (x, y) - 30,< 2,0 < y < 1其它求数学期望E(X )及E (Y),方差D (X )及D (Y),协方差cov(

32、X，丫)及相关系数PXY,二,二1、解：E(X)= xf (x, y)dxdy = 一2dx1x(x y)dy*be1x dx 211一；E(Y)= i yf (x, y)dxdy1 13。(3252 y - 2 y)dy =10dy20 y(x y)dxE(x2)=y,二m 2 .x f (x, y)dxdy2dx2，、，x (x ' y)dy916一,23一； D(X)=E(X2)-E(X)2=-99E(Y2)= I i y 2 f (x, y)dxdy1二 0dy 02 2, y (x y)dx127y (2y 2)dy =0182D(Y)=E(Y2)1E(Y)2=Z_i5=乌;

33、189162-He -beE(XY)= '' xy f (x, y )dxdyJ_oO1 21一 dx xy (x y)dyj12xcov(X, Y)=E(XY) -E(X)2 E(Y)=3111一； 811,9 16281. 23 13-cov( X,Y)XY =D(X) . D(Y)=-1潟。五、（10分）设有甲、乙两种投资证券，其收益分别为随机变量X 1 , X 2 ,已知均值分别为 匕，N2，风险分别为5 ,仃2，相关系数为P,现有资金总额为C （设为1个单位）.怎样组合资金才可使风险最小?解:-heE(X)= x (x) dx-bexmx-x .e dx m!m /

34、x em!二 1 ae d (x m!1 (m 1)二m _xx e dxm!,=(m 1) °：e,dx_x二(m 1)( -e ). E(X2)= °1- -2 .x -(x)dxm 2-_xx e dx-xm 21 m -2.x一 一x e m!m! 0-10m!-he_xme d (xm!_x d (-em!-0-be_x em,1x dx=(m+2) (m+1)D(X)=E(X2) 1E(X)2=(m+2) (m+1)m+1)2=m+1。P|解:六、（10分）设随机变量X的分布密度X -E(X) |<2 %?D(X).由 _:f(x)dx=0ax (1 -

35、x)dx = a213 iix 一 x3f (x)'ax (1 - x),0 < x <1其它求a,E(X),D(X)和0,得：a=6;这时，f（x）=-6x(1 -x) 0 < x <1其它D(X)=E(X2) 1E(X)2二1 2x 6x(1 - x)dx21、1I =;<2J20P| X E(X) |<2V'D(X) =P)11_ +-=1215-2.：5f (x) dx = 25 6 x (1 - x)dx二6 12=P1X2213x - - x3七、(10分)设随机变量X与丫相互独立，且均服从密度为密度；(2)求 E ( XY ).

36、解：由于X与丫相互独立，(1)应用卷积公式，有 Z=X+Y的分布密度1，5 ：X111.5=_ +。250f(x) =_x e -x . 0.x ,的分布，求(1) X +Y的分布x £ 0fz(z)=fX (x)fY (Z -x)dx考虑到fX(x)仅在x>0时有非零值，fY(Zi)仅在Zi>0 ,即x<Z时有非零值,故当z>0时zf(z)= o e ".iZx), e dx 二z _Zze dx = xez_z0 = Ze ，即 f(Z)= «z . 0oz _0(2) E(XY)=E(X) E(Y)=1 X1=1 ( 丁 X、Y 均服

37、从 九二1 的指数分布)。:二 9)八、(10分)设随机变量 X服从泊松分布，E(X)=6,证明：P 3 < X证明：: Xn (八)，且 E(X)=6=九，则 D(X)= = =6 根据切比雪夫不等式，有P3< X<9= P|Z-6|<3) P1九、(10分)X为连续机变量，概率密度满足：当xa,b时，f(x)=0 ,证明：b - a 2a <E(X ) <b,D(X) <().2证明：< a<x<b, f (x)dx =1boa二af (x)dx _ E (X )5-to= xf (x)dx- bf (x) dx6b f f (x

38、) dx = b。6容易证明 D(X)WE(x©2),取c二D(X)< E+ b 丫f(x)dx2.(x)dx =b -a '2 f (x)dx = 2一、填空题(满分 15分)1 .已知P=0.3,P(A2B)=0.7,且A与B相互独立，则P(A)=1P X =0= 2 .设随机变量X服从参数为九的泊松分布，且3 ,则人=23 .设 X N(2,o )，且 P2 <X <4 =0.2 ,则 PX <0=4 .已知DX=2 , DY=1，且X和丫相互独立，则 D(X-2Y)=c.2 .1. 75 .设S是从N (0,1)中抽取容量为16的样本方差，则D

39、(S ) =2. ln 33. 0.34. 65. 15P(A) =0.4 ,则 P(B)=二、选择题(满分15分)1.已知事件A, B满足P(AB) =P(AB),且(A) 0.4,(B) 0.5,(C) 0.6,2.有丫个球，随机地放在 n个盒子中(T<)n,(D) 0.7则某指定的丫个盒子中各有一球的概率为(A) nC n j(B) nn n!Cn(C)(D)3.设随机变量X的概率密度为f(x) = cec=(A) 2(B) 0(C) 2(D)4.掷一颗骰子600次，求 点”出现次数的均值为50(B) 100(C) 120(D) 1505.设总体N - P, N + P)上服从均匀

40、分布，则参数的矩估计量为(A)(B) n 一1(C) n 一1(D) x1. C2. A3. C4. B5. D、计算题(满分 60分)1.某商店拥有某产品共计 的概率。12件，其中4件次品，已经售出2件，现从剩下的10件产品中任取一件，求这件是正品211C 86 C 8c 4P =22C 1210C 127 C2 4- 210C128=0 .67102.设某种电子元件的寿命服从正态分布N (40, 100),随机地取 5个元件，求恰有两个元件寿命小于50的概率。6(1) =0.84136(2) =0.977250 40,P X < 50 =P :二=：J(1) =0.8413x -.4

41、0Y =10 ，则 Y B(5，0.8413).因此_ 223 3PY=2=C50.8 4l3(1 一 0.8413 =0.0 2833.在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件两数之和小于5 ”的概率。1 f (x)=，00 < x < 1其它f(y)100 < y < 1其它所以1f (x, y) = f (x) f (y) =300<x<1,0<y<1其它P X Y：上 5 254 .一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.2, 0.3, 0.4,各部件的状态相互独立,求需要调整的部件数 X的期望EX和方差DX

42、。E(X ) =0.9 D (X ) =0.61 .5 .从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差。(6(2.055 )=0.98,6(2.325 )=0.99)P ( X N|E4)=1 -0.02 = 0.98 故-1 =0.98= 0.99二2.325-5.446 .设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为 66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程。tc.025 (35 ) =2.0301t0.025 (36 )

43、= 2.0281_ 2X - N (66.5,)n设 H。： X =70 , f : X #70 ,则X -t t (nSn-1),故拒绝域为w =1t | t >ta(35)或 t < -ta(35) b、22 J,即w = t 11 之 2.0301 或 t < -2.0301 由于t =1.4不在拒绝域内，故接受 H 0 ,即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.四、证明题1.设A, B是两个随机事件，0<P(A)<1 , 0<P(B)<1 , P(B|A)=P(B|A),证明：a与B相互独立。P(B) = P(A)P(B | A) P(A

44、)P(B | A)P(A) P( A) P(B | A)= P(B | A)二P(AB )P(A)所以 P(AB ) = P(A)P(B).2.设总体X服从参数为九的泊松分布，X1,X n是X的简单随机样本，试证：2(X +S，是人的无偏估计。222 E 1 X S2E(S )=九，E(Xi )=八+九，故 上是人的无偏估计.概率论与数理统计试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。正确打(4)对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)设A、B是中的随机事件，则(AUB)-B=A若X服从参数为入的普哇松分布，则 EX=DX 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理,错误打“X”)()(

45、)() c1n-，、，样本方差S： = -X (XiX)2是母体方差DX的无偏估计 n 1X; X;、(20 分)设 A、，；，； X。B、C是中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生,A, B,C(3)A, B,CB、C都不发生;(4)(5)A, B,CA, B,C中至少有两个发生; 中不多于两个发生; 中恰有两个发生； 中至多有一个发生。解(1) ABC- (2) AB U AC U BC 或 ABCabC aBCUAbc ;(3)AUbUC 或 abC- U aBC U Abc U aBC U AbC U ABC U ABC ；( 4)abC U aBC U Abc

46、；(5) AB AC BC 或 aBC aBC ABC ABC三、(15分) 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解设A ='三段可构成三角形，又三段的长分别为 x , y , ax - y，则 0Mx<a,0 < y < a, 0<x + y<a,不等式构成平面域 S.一aaA发生u 0<x<一, 0 < y <,不等式确定S的子域A , 所以P(A)A的面积S的面积1015四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为求丫 二 X2的分布列._15解 Y的分布列为Y 01491711 1 .P - 53 053 0

47、1五、(10分)设随机变量 X具有密度函数f(x) = e上1, g v xvg ,求X的数学期望和方差2二 1解 EX = f x ,-eJ-ldx =0 ,(因为被积函数为奇函数) 4 分-二 2_2DX =EX2 1 x| |e 一 dx2,F 2x x e - dxx=2 -xeto0,02_x-x e -to20xe -dx"edx =2.10 分六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占 因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 <X <30).20% ,以X表示在随机抽查100个索赔户中x 00.511.522.53(x) 0.5000

48、.6910.8410.9330.9770.9940.999解 X b(k;100,0.20),EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-5 分30 -2014 -20八P(14 <X <30)之(一)中(一一一)10 分,16.16=：.：( 2.5)。(-1.5=0.994+0.9331=0 . 9 2.-15 分七、(15分)设X1 , X2，Xn是来自几何分布：P(X =k) = p(1 p)k,，k =1, 2，0 < p <1，的样本，试求未 知参数p的极大似然估计.n n' xi -nx； _1n解 L(Xi x

49、n p 寸n p +p )= p -p1 - )5 分i W nl nL = n l n p - 式 X - n ) l n 十 1 p ),i Wd ln Ldp:0,10解似然方程得p的极大似然估计-n15概率论与数理统计期末试题(2)与解答、填空题(每小题3分，共15分)1 .设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3,且P(A) +P(B) =0.5 ,则A,B至少有一个不发生的概率为 .2 .设随机变量X服从泊松分布，且 P(X <1) =4P(X =2),则P(X =3)=.23 .设随机变重X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变重Y = X 在区间(0,4)内的概率皆度为f

50、y (y)二4.设随机变量X ,丫相互独立，且均服从参数为九的指数分布，P(X >1) =e-,则九=Pmin( X ,Y) <1=5.设总体X的概率密度为(u 1) x u, 0 ：:： x ：:： 1,.1.0,其它Xi,X 2，X n是来自X的样本，则未知参数 0的极大似然估计量为解：1 . P(AB +A B) =0.3即 0.3 = P(AB) - P(AB) =P(A) -P( AB) P(B) -P( AB) =0.5 -2P( AB) 所以 P(AB ) =0.1P(A B) =P(AB) =1 - P ( AB ) =0.9.2.P(X <1) =P(X =0) P(X =1) =e, + .e-',P(X =2)2九 =e-2P(X <1) =4P(X =2)知 e-' e '' - 2 '2e"，3.2/一九一1 二01 P(X =3) = -e6设丫的分