推理与证明教案

1、富 县 高 级 中 学集体 备课教 案年级：高二 科目：数学授课人：授课时间： 序号： 第 节课题第三章§ 1.1归纳推理第1课时教学 目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。重点归纳推理及方法的总结中心发言人王 晓 君难点归纳推理的含义及其具体应用教具课型新授课课时 安排上课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程教学一、原理初探引入：“阿基米德曾对国王说， 给人个支点，我将撬起整彳地球！”提问：大家认为可能吗？他为何敢令卜如此海口？理由何在

2、？探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。思考：整个过程对你肩什么启发？过 启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开程 观察，也离不开猜想和证明”。观察 台 猜想 川证明 归纳推理的发展过 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想哥德巴赫在教学中发现， 每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 = 3+3, 12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫（Goldbach）写信给当时的大数学家欧拉（Euler）,提出了以下的猜想：（a） 任何一个方6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。（

3、b）任何一个方9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数， 直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了 “哥德巴赫”。2、数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.注：归纳推理的特点；简言之，归纳推理是由部分到整体、由

4、特殊到一般的推理。3、师生活动例1前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。例2 :前提：三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是 540°,结论：凸n?边形的内角和是（n2） x180°o,一 22 1 2 2 2 2 2 3例3: 2一,*上上,2。八 探究：述结论都成立 3 3 1 3 3 2 3 3 3吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！“ 一切皆有可能！”三、课堂练习四、课堂小结（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通

5、常归 纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题 也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。（2）归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性匠-从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）证明五、作业：教后 反 思审核人签字：富县高级中学集体备课教案年级：高二 科目：数学授课人：授课时间：序号： 第 节课题第三章§ 1.1 类比推理第1课时教学 目标1、通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。2、类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间

6、的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理中心发言人王晓君难点用类比进行推理，做出猜想教具课型新授课课时安排工课时教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程教学过程一 .问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认 为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破 了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要种能割断木头的工具；它也可以是齿形的

7、。这个推理过程是归 纳推理吗？二.新课学习我们再看几个类似的推理实例。例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：猜想不等式的性质： a=b*ia+c=b+c;(1) a >b?a+c>b+c; a=b ? ac=bc; (2) a > b ? ac>bc;a=b 疗=9;等等。 (3) a> b匕2>b2；等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类 比.圆日勺定义：平向内到一个定点日勺距离等十定长日勺点日勺集合.球的定义：到一个定点的品目离等于定长的点的集合.圆球圆球圆球圆球弦一f 截向圆直径一f 大圆周长一表面积

8、面沙一体积圆的性质球的性质圆心与弦（不是直径）的中点的连线垂直于弦球心与截面圆（不是大圆）的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离/、等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的 两截间圆相等；与 球心距离/、等的两 截面圆不等，距球 心较近的截面圆较 大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切向垂直于过 切点的半径；经过 球心且垂直于切向 的直线必经过切点经过切点且垂直于经过切点且垂直于切线的直线必经过切向的直线必经过圆心球心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象

9、的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。即 1 : : “ 二:观烝比较工联M%（范.想.新纳3例3.类比平面内直角二角形的勾股定埋 ,试给出空间中四面体性质的猜想.S1个直角三角形?3个面两两垂直的四面体/0= 90°3个边的长度a, b, c2条直角边a, b和1条斜边c?/ PD已 / PD打 / ED已 904个面的面积 S1, S2, S3和；3个“直角面” S1,S2

10、, S3和面” S三、课堂小结1.类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。2.类比推理的般步骤：四、作业布置教后反思审核人签字：富县高级中学集体备课教案年级：高二 科目：数学授课人：授课时间：序号： 第 节课题第三章§ 2.1直接证明-综合法第1课时教学 目标1、结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法之一综 合法；2、能够运用综合法证明数学问题3、通过本节课的学习，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作 用，养成言之有理，论证有据的习惯。重点了解综合法的思考过程、特占八、中心发言人王 晓 君难点用综合法证明时的解题过程教具课型新授课课时 安排上课时教法讲

11、练结合学法归纳总结个人主页教一、新课引入1、比较a2+b2与2ab的大小关系.生：a2 +b2 >2ab。22222学过程教学过已知 ：a , b > 0,求证 ：a(b +c )+ b(c +a ) > 4 abc生：讨论、交流完成，对比解答二、新课学习1、综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、 公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所 要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。(也形 象地称为“顺推证法”或“由因导果法”)242、2例 2、若实数 x#1 ,求证：3(1+x +x)>(1+x + x ).程证明：采用差值比较法:_242 23(1 x

12、x ) -(1 x x )二24.24233 3x 3x -1-x - x 2x-2x - 2x 2(x4 -x42 2 3(1 x x ) (1 x x ).例3、已知a,b R：求证aabb之abba.本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于a，b对称,不妨设a -b 0.从而原不等式得证2)商值比较法：设a -b>0 -x 1)22= 2(x -1) (x x 1)Ga. baa b,a、a_b ,一至 1, a b 至 0,-b-a- = （一） 1.1.bOV b故原/、等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法

13、。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。三、课堂练习四、课堂小结综合法的一般思路：五、作业布置教 后 反 思审核人签字：富县高级中学集体备课教案年级：高二 科目：数学授课人：授课时间：序号： 第 节课题第三章§ 2.1直接证明一分析法第1课时教学 目标1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之二分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。3、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和 解决问题的能力；重点了解分析法的思考过程、 特点中心友口人王 晓 君难点分析法的思考过程、特点教具课型新授课课时 安排。课时教法讲练结合学法归纳总结个

14、人主页.新课引入学过程教学过程证明数学命题时，还经常从要证的结论Q出发，反推回去，寻求保证Q成立的条件，明确 M成立，再去寻求 M成立 的充分条件（利用定理、定义、公理等）； 直到找到一个 明显成立的事实。二.新课学习1、分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法2、用分析法证明不等式的逻辑关系是：3、分析法的思维特点是：执果索因.4、分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命题B2为真，从而又有这只

15、需要证明命题 A为真. 而已知A为真，故命题B必 为真.三、例题分析例 1、求证 33 +V7 <2a/5证明：因为 向十V7和2北都是正数，所以为了证明<37 ； 2'.5只需证明（国+、1'7）2 <（2痣）2 展开得 10 + 2V,51<20即 2V21 <10,21 <25因为21 <25成立，所以（J3+V7）2 <（275）2成立即证明了 石+J7<W5说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的 充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法-分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要

16、证明命题这只需要证明命题 这只需要证明命题 而已知A为真，故B为真，从而有一B2为真，从而又有 A为真B必真在本例中，如果我们从“ 21<25 ”出发，逐步倒推回去,就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合 起来使用：根据条件的结构特点去转化结论， 得到中间结论Q; 根据结论的结构特点去转化条件， 得到中间结论P'.若由P可 以推出Q成立，就可以证明结论成立.下面来看一个例子.例 4 已知 口，p # 陋 + = (k w Z),且 sin日 +cos日=2sina sin C

17、cosB =sin2 B求证:1 -tan2 ：1 -tan2 :证明： 代入，可得22T； - 01 tan =2(1 tan ：)因为(sin 8+cos8)2-2sin 8 cos8 =1 ,所以将4sin2 二。2sin2 :另一方面，要证=1.21 - tan -2-1 tan -1 - tan2 :2(1 tan2 '), sin2 ;12即证 Cos2 ：1 sin ; cos2 ;1-sin”cos2 :2(1 sin2 :)cos即证 cos2« -sin2a = - (cos2 P -sin2 P),212 :即证 1-2sin 汽=(1 一2sin 0)

18、，2即证 4sin 2a -2sin 2 B =1。由于上式与相同，于是问题得证。三、课堂练习 四、课堂小结 综合法的一般思路: 五、作业布置教 后 反 思审核人签字：富县高级中学集体备课教案年级：高二 科目：数学授课人：授课时间：序号： 第 节课题第三章§ 3接接证明一反证法第1课时教学 目标合、结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了 解反证法的思考过程、特点。2、多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题 和解决问题的能力；3、通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。重点了解反证法的思考过程、特点中心友口人王 晓 君难点反证法的思考过程

19、、特点教具课型新授课课时 安排工课教法讲练结合学法归纳总结个人主页教学过程教学过一.新课引入反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反 的假设，然后，从这个假设出发，经过止确的推理，导致矛盾， 从而否定相反的假设，达到肯定原命题止确的一种方法。反证法 可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论 的反向/、只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： 反设；（2）归谬；结论。二、新课学习1、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些 常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是 /不是；存在/ /、存在;平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（

20、小） 于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有（n 1）个；至多有一个/至少后两个；唯一/至少后两个。2、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的 模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。 推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。三、例题分析例1、已知直线a,b和平面，如果a<Za,buot,且a|b,求 证a |a。下面用反证法证明直线a与平面«没有公共点.假设直线a与平面a有公共点P,则Pwotl B=b,即点P是直线a与b的公共点，这与a |b矛盾.所以a|> .点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直 线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：a<Za,b<za,a/b=> a/a .例2、求证：不是有