实数_知识点+题型归纳

1、第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素原点、正方向 和单位长度。数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1 .相反数：只有符号不同的两个数互为相 反数。数a的相反数是-a。正数的相反数 是负数，负数的相反数是正数，零的相反 数是零.性质：互为相反数的两个数之和 为002 .绝对值：表示点到原点的距离，数 a的 绝对值为3 .倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0 实数a的倒数为-.0没有倒数。a4 .相反数是它本身的数只有0;绝对值是它 本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它 本身的数是土 1.三、平方根与立方根1 .平

2、方根：如果一个数的平方等于a,这个 数叫做a的界方根。数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数，零的平方根还是零。负数没有平 方根。正数a的正的平方根也叫做a的算术平方 根，零的算术平方根还是零。开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开 平方。2 .立方根：如果一个数的立方等于a,则称 这个数为a立方根。数a的立方根用；1'a表 示。任何数都有立方根，一个正数有一个正的 立方根；一个负数有一个负的立方根，零 的立方根是零。开立方：求一个数的立方根（三次方根） 的运算，叫做开立方。四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝

3、对值相加；b）异号两数相加。绝对值相等时和为0;绝 对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，a并用较大的绝对值减去较小的绝对值.任何数与零相加等于原数。2 .有理数的减法法则：减去一个数等于加 上这个数的相反数。3 .乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把 绝对值相乘；零乘以任何数都得零.b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由 负因数的个数决定，当负因数的个数为奇 数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为 0,积 就为04 .有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为 0）同号得 正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任 何非0实数都得0ob）除以一个数等于乘以这个

4、数的倒数。5 .有理数的乘方：在an中，a叫底数，n叫指数a）正数的任何次幕都是正数；负数的偶次 幕是正数，奇次幕是负数；0的任何次嘉都是0b） a0=1 （a不等于 0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，冉乘方、开 方，接着算乘除，最后是加减。五实数大小比较的方法5）倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型一.有关概念的识别1.下面几个数:0.1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大 于左边的点表示的数2）比差法：若a-b>0贝U a>b；若a-b<0则 a<b；若 a-b=0 a=b3）比商法：A.两个数均

5、为正数时，a/b>1则 a>b； a/b<1 则 a<bB.两个数均为负数时，a/b>1则 a<b； a/b<1 则 a>bC. 一正一负时，正数 >负数234）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2, 则有a>b；均为负数时相反,其中，无理数的个数有（B、2C、3D、4，3冗，是无理数故选C举一反三:【变式1】下列说法中正确的是的平方根是土 3 B、1的立方根是±1 C、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=± 1D、=9, 9的平方根是土 3,，A正确. 1的立方根是

6、1=1,A、1是5的平方根，B、C D都不正确.C、B、1.4【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A,则 点A表示的数是（）D、，A表示数为【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的 对应的关系. 正方形的边长为1,对角线为,故选C.【变式3】,由圆的定义知|AO|二【答案】V = = 3.1415，9V3 兀 v 10因止匕3几-9 >0, 3兀-10 V0,则下列结论正确的是（A.类型二.计算类型题B.2.设C.举一反三:【变式1】1) 1.25的算术平方根是；平方根是.2) -27立方根是. 3 )D.解析

7、：(估算)因为.)【答案】1).2 )-3. 3 )(1)【答案】(1)(2)(2) x=4 或 x=-2x=-4类型三.数形结合解析：在数轴上找到A、B两点,3.点A在数轴上表示的数为举一反三:【变式1】如图，数轴上表示1,，点B在数轴上表示的数为的对应点分别为A, B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是 ().,则A, B两点的距离为C. 2-A.D.2【答案】选C变式2已知实数化简在数轴上的位置如图所示:【答案】类型四.实数绝对值的应用九-3.142|I (2) |4.化简下列各式：II-1.41.4I(4) |x-|x-3| (x <3)(5) |x 2+6x+10|分析

8、：要正确去掉绝对值符号，|就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。解：(1) -1.4=1.414 <|=1.4(2) V = =3.14159 <,3.142| 九-3.142|=3.142-71|x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3|1=说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认 识，并能灵活运用。222(4) ,. xO, ,.x-S <0,|x +6x+10|=|x +6x+9+1|=|(x+3) +1|o2v (x+3) >0, a (x+3) +1 >02

9、9|x +6x+10|= x +6x+10举一反三：【变式1化简：【答案】=0,求实数a, b的值。分析：已知等式左边分母类型五.实数非负性的应用不能为0,只能有5.已知：>0,则要求a+7>0,分子o+|a -49|=0 ,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0 ,由此得不等式组由(2)得 a 2=49 .-.a=±7由(3)得a>-7 ,a=-7不合题意舍去。只取a=7把a=7代入 得b=3a=21a=7, b=21 为所求。举一反三：【变式1已知(x-6) 2+从而求出a, b的值。+|y+2z|=0 ,求(x-y)的值。解：;解：由题意得(x-6

10、) 2+解这个方程组得(x-y) 3-z3=(6-2) 3-(-1) 丁64+1=65+|y+2z|=0,_.o且(x-6) >0,>0, |y+2z| >0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0o【变式2】已知a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2类型六.实数应用题那么a+b-c的值为【答案】初中阶段的三个非负数：6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个 面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cni解：设新正方形边长为 xcm,根据题意得x 2=112+13X8x2=225x= ± 15边长为正， x=

11、-15不合题意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形边长应取 15cmo举一反三：【变式1】拼一拼，画一画： 请你 用4个长为a,宽为b的矩形拼成一个 大正方形，并且正中间留下的空白区域 恰好是一个小正方形。(4个长方形拼 图时不重叠),所以面积为(1)计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？(2)当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm时，大正方 形的面积就比小正方形的面积多 24cmi, 求中间小正方形的边长.解析：(1)如图，中间小正方形 的边长是:大正方形的面积所以,一个长方形的面积答：中间的小正方形的面积(2)发现的规律是:大正方形的边长:（或小正方形的边长:大正方形的面积比小正方形的面积多一 . 224 cm所以有,代入，得:化简得:cm答：中间小正方形的边长 2.5 cm。类型七.易错题的平方根是土 15.(3)当x=0或2时,7.判断下列说法是否正确(1)(4)的算术平方根是-3;(2)是分数解析：（1）错在对算术平方根的 理解有误，算术平方根是非负数.故二15.实际上，本题是求15的平方根,(2)的平方根是表示225的算术平方根，即(3)注意到，当x=0时,=0.(4)错在对实数的概念理解不清.,显然此式无意义,发生错误的原因是忽形如分数，但不是分数，它是无理数类型八.引申提高视了 “负数没有平方根”，故 x0,所以当x=2时,8. (