导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案)

1、m(x + n) f(x) = lnx,g(x) =(m > 0)1 .设函数* + 1.(1)当巾=1时，函数V = f(x)与V = £k)在* =1处的切线互相垂直，求 n的值；(2)若函数V =在定义域内不单调，求 m-n的取值范围；2a xf(卜f(e ) + f(_) 5 0(3)是否存在正实数"使得K2a对任意正实数K恒成立？若存在，求出满足条件的实数白；若不存在，请说明理由.2,已知函数中)=妙+ 1)lnK-a>t + m闰ER屈劝是"X)的导函数,为自然对数的底数.(1)讨论削田的单调性；(2)当时，证明：或呼,)>0；(3)

2、当时，判断函数*x)零点的个数，并说明理由.b f(x) = a(x + 一)+ blnx3,已知函数¥(其中，为bER).(1)当6 =用时，若在其定义域内为单调函数，求 总的取值范围；(2)当"T时，是否存在实数 '使得当KE©/时，不等式f僧)> °恒成立，如果存在，求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中R是自然对数的底数，2.71828).4 .已知函数£(x) =1+ln(K + d),其中m为常数.(1)讨论函数或"的单调性；蚓 + g%). + .X X) 以)(2)若以K)存在两个极值点 Y求证：无论

3、实数取什么值都有22.5 .已知函数 小)二内伯。己)一为常数)是实数集R上的奇函数，函数 或x)=*x) + sinx是 区间T, 1上的减函数.(1)求3的值；(2)若+肘+1在* E -1. 1及X所在的取值范围上恒成立，求t的取值范围；Inx 2=x -2ex + m(3)讨论关于 '的方程”对的根的个数.6 .已知函数 f (x)= ax ln x, F (x)= ex+ ax,其中 x>0,a<0.(1)若f (x )和F (x )在区间(0,ln3 )上具有相同的单调性，求实数 a的取值范围；(2)若aw (，; I且函数g(x)=xeax,2ax+ f (x

4、)的最小值为 M ,求M的e最小值.7 .已知函数f (x) =ex所-lnx.(1)如x =1是函数f (x)的极值点，求实数 m的值并讨论的单调性 f (x);(2)若x = x0是函数f(x)的极值点，且f(x)之0恒成立，求实数 m的取值范围(注：已知常数a满足aln a =1).2 x-8 .已知函数 f (x )= ln (1 + mx )+ -mx ,其中 0cmM1 .x3(1)当 m=1 时，求证：1<xE0时，f(x)E；3(2)试讨论函数y = f (x )的零点个数.*、 -Y 1.9 .已知 e 是自然对数的底数，F(x)=2e +x + ln x, f (x

5、)= a(x1 )+3.(1)设T(x )= F (x )f (x )，当a =1+2e时，求证：T(x )在(0,收)上单调递增；(2)若干x21,F( x )之f (x ),求实数a的取值范围.10 .已知函数 f (x )=ex +ax-2(1)若a = -1 求函数f(x)在区间-1,1的最小值；(2)若a w R,讨论函数f (x )在(0,")的单调性；(3)若对于任意的x1, x2w(0,收)，且x1 <x2,都有x21f (x1)+a l<x1 f(x2)+a成立，求a的取值范围。word完美格式参考答案1.（1） n = 5； m=n>3；（3）2

6、 .【解析】1 - ng （M =试题分析：（1）本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当 m = 1时， ），1 - nk -,j可知v = g在x = 1处的切线斜率4 ，同理可求得 出）=1 ,然后再根据函数 V = fx）与1 -（1 乂 1 : 1V=削2在X = 1处的切线互相垂直，得 4,即可求出结果.1x + 2 - mtl - n） + -111Xv=（2）易知函数Y/北的定义域为+叼，可得伙+ 1）,由题意，1 1x + 2 - m（l - n） + -k + 2 - m（：l - n） + -K在W，+a）内有至少一个实根且曲线与X不相切，即区的最小m + fl-n

7、j2> m（l - n） > 4值为负，由此可得 印1-加>4,进而得到4，由此即可求出结果.（3）2a aw x>11h（x = f（一 f（e ） + f（）h （x） = aln2a - alnx - a + - ktx = aln2a - alnx- a + -令 k2a ,可得k ,令k ,则p a 1 ax +1 k（X）='一=- < 0“X”/ ，所以山）在区间O*g）内单调递减，且k的三°在区间。内必存1lnxQ =+ In2a -1在实根，不妨设网"。）=口，可得 叫,（*）,则h在区间。）内单调递增，在区间（）+旬

8、内单调递减，.=中。）h（针刖户Hn狂伯嘲廿叫，将（*）式代入上式，得17aXh（xj = ax0 + - = 2f（） f（eax） + f（） M 0,”.使得算2a对任意正实数*恒成立，即要求1h伙）=ax + 2<0± ¥口恒成立，然后再根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析:1 - ng =当m = l时， 仅+ 1),.¥ =虱2在乂 = 1处的切线斜率11 -nf (X) =-. M 1 =一 1由 K ,得 f 口)=1 , 4 （2）易知函数了二耳，）-虱X）的定义域为2 x + 2 - m(l - n) + -.1 m(l - n)

9、 x + 2 - m(l - n)x +1xy =f(x)-g(x) =又x (x + 1)x(x + lj伙 + 1),1x+ 2 a 1ax +1k (x) =< 0则 , ,W在区间+间内单调递减，且中）=°在区间内必存在实根，不妨设心。）-0,1 1k(xQ) = aln2a - alnx&- a + 一= 0 In/ =+ In2a -1 即%,可得 啊（X + 81内单调递增，在区间 °内单调递减, mQ - n) + -由题意，得x的最小值为负，.(注：结合函数v = + 2-m(l-n)x + l图象同样可以得到)，2a ax xh(x) =

10、f(一)f(e ) + f( = ax In2a - axlnx + Inx - In2a令 x2a,其中“。启。,h(x) -alnZa - alnx- a +则.k(x) - aln2a - alnx - a +，(*)则h闾在区间出京。）则x,4H = W%) h&)=(%-l) ln2a -(仆 1卜叫 51h&）=叫*1 将（*）式代入上式，得抑。h（x0） = a% + 2 E。根据题意恒成立，1 1叫+3 2% =又二 叫,当且仅当白时，取等号18% + = 2,axQ = 1。日，代入（*）式，得In- = In2aa1-=2a即a ,又a>。，”一 ”一

11、.2，存在满足条件的实数"且 2 .点睛：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数询，禾【J用仅 > 巾恒成立曰冈min >m. f仅） < 恒成立=%3K < m ,即可求出参数范围.1。-）2.（1）当aw。时， 的）在（。，+ 8）上为减函数；当a>Q时，且的减区间为a ,增区1（一,4 g）间为占 ；（2）证明见解析；（3） 一个零点，理由见解析.【解析】j a 1 ax-1g（x）= - =,试题分析：（1）讨论函数单调性，

12、先求导 * ，当时，g<。，故酣）在（0, + f1 1 1* 下 一。-）（-, ,+ 8）上为减函数；当 时，解旦 可得 ,故削X）的减区间为3 ,增区间为己 ；（2）J 2 a*2*根据虱R）=T +e ,构造函数，设h（x）3r , Mk = b-2x,当kr时，h（X）>0所以 h（x）= "r,是增函数，= 上得证；（与判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点，由（1）可知，当时，或X）是先减再增的函数，其最小值为1 1 1 11 1 -g(-) = aln- + a = a(l n- + 1) < 0. 二 人，而 人 e < - &l

13、t; e，故虱x)恰有两f M =则< 0 ；当再证明极大值a ,而此时j = n-e ugu 户u ,且 a 个零点 ,内,从而得到血的增减性，当ME 4）时，”的=如）。；当KE%）时， kE%，+ 3）时，f=或x）。，从而由）在X】,、两点分别取到极大值和极小值, f（X1）0,所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点.试题解析：, 1 g（x） = f （x） = alnx + - （1）对函数不）求导得x , a 1 ax -1g（x）=；=? I当。时，g（x）（。，故削X）在13）上为减函数；1 1 1乂一（0* ）（+ g）；（2）鼠设 h（x） = 1-/，则Mx）

14、= 4-%,易知当心时，hk）O,烟=已7-最。（3）由（1）可知，当a”时，g是先减再增的函数，1 1 1或一 = aln- + a = a（ln- + 1） 0其最小值为1ag a ,i1 ia 1：_e - e而此时龈 = l + e %。，且 a ,故蜗恰有两个零点F2. .当XE（O-J时加）=4）"；当XE%,用时/二如）（o；当XW%, 十叼时:一丁厂二当a1时，解目仅”。可得 力 故龈）的减区间为日，增区间为日word完美格式1一）（幻在，两点分别取到极大值和极小值，且a ,虱瓦)-alnX + = 0 a 由xi知*1f(引=(aXj + IjlnXj - ax1+

15、 3 = Inx1 + 21 1lnX +<- 2 Inx. +=-1 乂. g<Q, . 叫，但当 叫时，鼠则白=匕不合题意，所以小卜。,故函数可幻的图象与X轴不可能有两个交点.，函数UK只有一个零点.b E(, + g3. (1) (，0UU + g)；存在，且 eT【解析】试题分析：（1）当b = M时，首先求出函数的导数,函数的定义域是。），得到ax -4x + 4a*灯=：,分a £ 0和a > o两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到 a的取值r -x + bx + b f(x) =范围；(2)K，分b$0和b>0两种情况讨论函数的单调性， 若

16、能满足当"E ©】时，当满足函数的最小值大于 0,即得到的取值范围.x > OJ(x) = a(x-) - 4lnx J (x) = a(l + -)-=试题解析：(1)由题"x'K4 4 ax - 4x + 4a当a £0时，知fw。，则小）是单调递减函数;当"Q时，只有对于 心0,不等式作'皿+ 4心0恒成立，才能使f（刈为单调函数，只需A = （-4）2-16a2S0解之得a务1或曰之1此时曰之综上所述，的取值范围是g,Oui, + g）b b b - x + bx + bf(x) = blnx-x- K> O

17、J(x) = -l + - =(2)x,其中。)当b0Q时，于是f(x)在+ 3)上为减函数，则在 同e上也为减函数b 1f仪)e前=f(e) = b - e - - = (1 - -)b * e < 0知e 已恒成立，不合题意，舍去b + 卅 + 4b(k =(ii)当b>0时，由f=口得2，列表得Xb + vb2 4-4b fAIb +jb? + 4bb + 6 + 4b 2 122 ，)卜k)+0-21最大值Sib +Jb2 + 4beZWe 0 < b < 2若 2 ，即 e + 1则小)在甩M上单调递减.b 111 e2 -2ef(x) =f(e) = b-e

18、- = (1 -)b-e(1 -)b* e < (1 -e =-于是 < 口恒成立，不合题意，舍去.b + Jb2 + 4b L e2 >e八若 2 ，即 e +1.b + Jb2 + 4bb + Q + 4b曲)(，+ 间则f在2 上为增函数，在 2上为减函数,产) > 6要使在他】恒有>。恒成立，则必有f¥)>bb -白0, e2 b2b - e - >0,22eb > e-1则巳 ，所以 由于-/一(在2_1)= 1-3£ + 1工0,则e3-e2 2-1,所以综上所述，存在实数e - 1,使得仅)> 口恒成立.【

19、点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x) > 0 升有藉士门卜一、=耳刈 < 0Ein ,若Tx尸U恒成立 1片抽(3)若“X"飒恒成立，可转化为产虱小熊.4. (1)当一亚也时，鼠时在区间卜即+ 8)上单调递增；-a-Ja2 -a + J-2-a-Ja2 -a + Ja2，、(三，；)E),(；，+ 叼当时，或刈在 22 上单调递减，在 22上单调递增；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究v

20、*2+ 2 ax+1在(-3, + 3)上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定1厂然1 + x2 =- m，乂乂2 =-单调区间，先由(1)知口 ”2,且两个极值点X】叫满足,之.再代入化简g的)+ 的/xx-，/1|应a21 In2> g() ,llna-一+ >0h(a) = & Ina 422得422,利用导数研究422单调性，最后根据单调性证明不等式.试题解析：(1)函数的定义域为-日，+8).1 2xZ + 2ax + 1g'(x) = 2x += 22k +

21、 日 x + a ,记h(x) = 2x *2需+ 1,判别式 A = 4a -g.当二得-g£。即入脸日”2时，烟之。恒成立，g'(x> > 0所以飒在区间(-4 + g)上单 调递增.当口或口 >立时，方程“Cax+LD有两个不同的实数根%”记ar-2乂 0(i)若h闵=2* +2dx + 1图象的对称轴2，m= h0 = l>0.两根x4?在区间。-日)上，可知当x-h时函数h(x)单调递增，h(K)h( -a)0所以g'(x"O,所以虱x)在区间(-轧+ g)上递增.厂2' =_ _f0(ii)若日，2,则h仅)= 2

22、x +2协+ 1图象的对称轴2，忖=h(Q=1 。.，所以 .电%72当KJK与时，必。，所以所以削X)在的用,上单调递减.当一ax%或“时，h(x"O,所以g'(x)0,所以g在8)上单调递增.综上，当一曲£ a £4时，虱x)在区间(-日，+司上单调递增；当a /时，纲在-a - Ja22三此一? 1 a - 2h'(x) = - - - => 012 a 2a，所以卜在3>出时单调递增,-2 - a + Ja2 - 2-a - Ja2- 2 - a + Ja2-2(-.-)(-a,-M-,+ «)1 2上单调递减，在22

23、上单调递增.(2)由(1)知当 心5时，飒没有极值点，当口上时，龈)有两个极值点 如，且1K + X2 = a,XK2 =-眄)+ 飒)a<l-ln2ni 虱一 又 .YiAa a a a)=g( - H = + ln-2,M)+ 或q-g(2) = - - Ina - +1 In2a21 In2h(a) = - - Ina - - + 422a >&l 2n 1 In2h(<2)- lnJ2- + =042 2，所以h付” 0,所以削4)+ g(>2)4 + x2> 或5. (1) 3 = °； (2) t£T；详见解析【解析】 试题

24、分析：(1)根据奇函数定义可得 Ke ' + aH- ln(ex + a)再根据恒等式定理可得占=。.(2)由函数的)=郎)十Sinx是区间-1, 1上的减函数，得其导函数恒非正，即入&8SX最小值-1,从而有而或K)£t*+At+1在xE -L 1恒成立等价于g(x)ma-八 (t + 1)入+ sinl + 1之0对入91恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负Inx f=即可，解不等式组可得t的取值范围(3)研究方程根的个数，只需转化为两个函数K ,Inxf那)=乂.2"+小交点个数，先根据导数研究函数1 x图像，再根据二次函数f2W;x+

25、 m上下平移可得根的个数变化规律试题解析：(1)3二川17)是奇函数，则In馆.葡二-力中田恒成立，伯、必产 +白)二1即1 +日日，日J +二 1. +” + 日)=°, .”0.(2)由(1)知 f(x) = x, .虱，)二从十5访',iF日=。= A 一口 二 , ?又.g在-1, 1上单调递减，.献%d=L, ?且日仅)=入+£门"与0对'毛-1，恒成立，即“E-8SX对'E - 1，1恒成立，X £ 1, ?.纲4 + At + l在丈E-L 1上恒成立，-A - -in-. < ： ' At： ?即(t

26、 + 1)X + t2 + Sim +1 岂。对 A E-1 恒成立，tm令则二(t + in+t，sm + ngi),则3-1 + $巾 + 1之。，t今1 22.t -t + sml>0 而t -t + al之。恒成立，Inx 2=x - 2ex + m(3)由(1)知小厂卜方程为x,1 -tnx小卜丁时时，J1在。 可上为增函数;+回时，品仅,0,闾在0，目上为减函数;1物"网丁而3仅,，函数fjx)、fx)在同一坐标系的大致图象如图所示,.当 e,即 时，方程无解;2*2 xm - e =- m = e + -当 正 即65时，方程有一个根；?12 1m-e <-

27、 m<e +-当 电，即七时，方程有两个根.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数， 另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法6. (1) M的最小值为0. (2) (-«,3.【解析】1 ax 1x一一试题分析：(1)由 f (x) = a =, F (x) = e +a,x>0n f (x)<0 在(0,y)上x x恒成立nf (x )在(

28、0,y )上单调递减 = 当1a<0时，F'(x)>0,即F(x )在(0,收)上单调递增，不合题意；当a < 1时，利用导数工具得F (x )的单调减区间为(0,ln ( a ),单调增区间为ln -a，二二1 -dn xxf(x )和F(x )在区间(0,ln 3)上具有相同的单调性二ln(a沱ln3 n aW3n a的取值范围是(-, 一3 ; ( 2 )由 g'(x ) = (ax + 1 )1 eax，- 1=0= x1 一 l nx ，lxn-2 - E 口 SD ,口p(x)=,p (x)=2利 用 导 致 工 具 得xx211Tnx ax 11

29、_p(x» =P(e = = a <= e - <0 ,再根据单倜性exx,1 1 )g(x min =gI a J1_2 I i 1t.2 一设 t = 一一 0,e , g 一一 =h t = - - In t 1 0 < t < e = aae在(0,e2上递减=h(t心h(e2)=0= M的最小值为0.试题解析：(1) f'(x) = a° =ax, F'(x) = ex+a,x0,x x7a <0, f (x)<0在(0,f 让恒成立，即f(x)在(0,f 让单调递减 当1a<0时，F'(x)>

30、;0,即F(x )在(0,y )上单调递增，不合题意;当 a < -1 时，由 F'(x)a0 ,得 x>ln(a ),由 F'(x)<0 ,得 0< x< ln(a . F(x)的单调减区间为(0,ln (a),单调增区间为(ln(a),"'/ f (x )和F (x )在区间(0,ln3 )上具有相同的单调性，ln (a )之 ln3 ,解得 a « -3 ,综上，a的取值范围是(，-3】.(2) g'x )=eax、+axeax>a _工=(ax+1 )feaxiI, x. x上 ax i 1-1 -

31、ln x1 一 In x由 e =0得至U a =,设 p(x)=xxxp'x =In x-22，x从而p(x 好(0,e2 U递减，在(e2,y)上递增. p(x)min21p e =-£.当 xe2 时，p' (x )>0 ；当 0 <x <e2 时，p' (x)<0.1 -J 1 L 在0,-上,I a)-时, eax +1 >0,g' (x)<0,g(x)递减;,1在，上，ax + 1 <0,g (x /0,g(x)递增.g(x)min a121t2设 t=-w(0,e I, g ,=h(t )=-ln

32、 t+1(0 <t We ),aae,1122h (t 尸二一： W0,h(t 次(0,e I上递减.h(t 心h(e )=0；M的最小值为0 .考点：1、函数的单调性；2、函数的最值；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的单调性、函数的最值、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数 形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较 强，属于较难题型.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等 式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究 新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用7.(

33、1)m = 1, f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+受)上单调递增；(2) ma 1na,+*).试题分析：(1)由x =1是函数f (x)的极值点，得f '(1 )=0可得m得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；(2)由题意知f'(x)=exqm1,设h(x) = ex4m，知h'(x)>0得 xxh(x )单调递增，即 x = x°是f'(x)=0在(0,收)上的唯一零点，得m =%1nx0,f (x min = f (x° ),使得f (x0心0即可，结合aln a = 1 ,得参数m范围.试题解析：(1) x =1是函

34、数f(x)的极值点，f'(1) = 0= e1加一1=0.x 1(x4 1 xe -1 m = -1, f '(x) = e =.x x令 g(x) =xex，-1, g '(x) =ex" +xex=(x +1)_ex_l >0 , g(x)在(0,依c)上单调递增，g(x) Ag(0) = 1, g(1) = 0.,当 x e (0,1), g(x) <0;当 xw (1,-Hc), g(x)>0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+oc)上单调递增，此时，当x=1时f(x),取极小值.(2) f'(x)=ex 巾)，设 h

35、(x)=ex4m2, xx1.、 一 、则 h'(x) =e+>0. h(x)在(0, y)上单调递增，xf '(x)在(0, )上单调递增.x =x0是函数f(x)的极值点， x =x° 是 f'(x) =0 在(0, +8)上的唯一零点，ex0 m =x0m =ln =xqx。x0m = In x0 = m = - x。- In x0., 0 <x <xq , f '(x) < f '(xq) =0 , x Ax。，f '(x) > f '(x。)=0 , f(x)在(0,x。)上单调递减，在(

36、%,+8)上单调递增，f(x)有最小值.f (x)min = f (x。)= ex。m - In x。xq m.x。 f(x)之0恒成立，1 c 1, +x。+m >0 , +x。>xq +ln x。,x。x。1 ,，之 In x。. 丁 a In a =1 , ，x。三 a , x。m = -x。-In x0 之一a Tn a ,m -a Tn a,二).考点：(1)利用导数研究函数的极值；(2)利用导数研究函数的单调性；(3)恒成立问题.【方法点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为

37、最值恒成立.考查函 数的单调性，由f'(x)>0,得函数单调递增，f'(xy<0得函数单调递减；考查恒成立问题,正确分离参数是关键，也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为 a > h(x )或a < h(x )恒成立，即a > hmax (x Ma< hmin (x卿可，利用导数知识结合单调性求出hmaxfx )或hm,仅卿得解.8. (1)见解析；(2)当0<m<1时，有两个零点；当 m = 1时；有且仅有一个零点.【解析】3 x试题分析：(1)首先将m = 1代入函数解析式，然后令 g(x)= f (x)-,再通过求导得到g

38、 (x )的单调性，从而使问题得证；(2)首先求得f '(x),然后求得f '(x) = 0时x的值,再对m分类讨论，通过构造函数，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出函数零点的个数.x3,-x3试题斛析：(1)当 m=1 时，令 g(x)=f(x) -一(一1<xW0),贝Ug (x )=,31 x当1<xE0 时，x3 之0 , 1+x A0,二 g'(x)2 0,此时函数 g(x)递增,x3二当1 <x M0 时， g(x)«g(0)=0, 当1<xW0时，f(x)E3 1 Nmx .|x -. m 一一(2) f'

39、(x) =-、，令 f'(x)=0,得小=0, x2 = m-,1 mxm2x -(i )当 m =1时，x1 =x2 =0,由得 f (x )= 1 x，当x>1时，1+xA0, x2至0,二f'(x)之0,此时，函数f(x)为增函数, -1<x<0时，f(x)<f(0) = 0, f(0) = 0, x>0时，f(x)>f(0)=0,故函数y = f(x),在x>T上有且只有一个零点 x = 0 ；111(ii )当 0<m<1 时，m <0,且一一< m -, mmm由知，当 x e , -, m - L

40、1+mx>0, mx < 0 , x- m-1)W0, .m m. m此时，f'(x )20;同理可得，当 x"mI0I f'(x)W0;当 x20 时，f'(x)i0;m'二函数y = f (x )的增区间为Lm 一工和(0, g卜减区间为1 m ,0 Immm1故，当 m-<x<0 时，f (x )> f (0 )= 0 ,当 x>0 时，f(x)>f(0)=0 m二函数y = f (x ), xe | m _ , y i有且只有一个零点x = 0;m0<t<1 ,则又 f，m -1= ln m

41、2 - 1 m2 一2 I,构造函数 m2 . mt2t2，易知，对Vtw(0,1),中'(t)<0,二函数y=")， 0 <t <1 为减函数，,邛(t )>9(1 )=0212121由 0<m<1,知 0<m <1, ， f m - l=ln(m )- m 一一2 > 0m2 . m1 - x构造函数 k(x )=lnxx+1 ( x >0),则 k (x )=，当 0<xE1 时，k(x)至 0,当 xa1x时，k'(x)<0,.函数 y = k(x)的增区间为(0,1,减区间为(1,g),

42、. k(x)Ek(1)=0,12 -1 :二二二2 则 e m < m ,e。11一一 ：x :mJ e-'1 ,时，In (1 + mx) < 一-1-12 mX21x2I们一mx ： x -mx : 72m2x2由知 f x = In 1 mx 一 -mx ：21 1-0 m又函数y = f (x )在1 -,m- 上递增, .m m1m -me m -1>由和函数零点定理知，X0，使得 f Xo ) = 02 X 综上，当0 cm <1时，函数f (x ) = ln (1+mx )十万mx有两个零点,综上所述：当0 cm <1时，函数y = f(x)

43、有两个零点，当m =1时，函数y = f (x)有且仅有一个零点.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点存在性定理；3、函数最值与导数的关系.【技巧点睛】 函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数的定义域区间进行分段，在各个分段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原 则.9. (1)证明见解析；(2) (3,41【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性的关系推证；(2)借助

44、题设条件运用导数的有关知识求解.试题解析：* 11_x 1(1) *a=1 + 2e ,T (x )= F (xf (x 二 T (x ) = 2e + lnx2e x + 2e -2.:x >0,T'(x)=2ex“2e+.；2ex2e关于 x 单调 递增，xx 1111x>0,T '(x ) = 2ex 2e +- >- >0,. T (x )在(0,2 )上单调递增. x x11(2)设 H (x)= F(x) f ( x)，则 H '(x )=2e +1 a .设 h(x )=2e +1 + a , xx则 h'(x )=2ex：

45、.；x 之1j 2ex，>2, -2 >-1,h'(x )>1.a h(x )在1,")内单调递 xx增.二当 x 之1 时，h(x)*h(1 ).即 H '(x)之4a,，当 a44时，H '(x)之4 a20.当a<4时，H (x )在11,8)内单调递增.，当a<4, x，时，H (x户H (1),即1 1F (x )之 f (x ) * x ±1.H'(x ) = 2ex +1+a W2ex +2 - a .当 a>4 时, 由 x2ex、+2 -a =0得'：2ex'+2a关于x单调递增，:当aA4,1Mx<1+ln |旦1 |时，H (x )单调递减.设2x0 =1 In，则 H (xo )<H (1 )=0,即 F(% )< f (x° >二当 a >4时，5x0 =1+ln -1 l>1,F (x0 > f (x0 )不成立. 2综上，若Vx21, F (x )之f (x ),-的取值范围(-«,4.考点：导数在研究函数的单调性和极值等方面的有关知识的综合运用.【易错点晴】