数列知识点总结与题型归纳

1、、数列的概念数列an an=d(n 2 2)或 an - an = d(n >1)例：等差数列an =2n 1 , an an(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二(二卜说明：个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作an ;列。等差数列的通项公式 ：an = ai+(n 1)d ；等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d A 0为递增数列，d = 0为常数列，d < 0为递减数数列的一般形式：a1, a2, a3,，简记作an。例：1.已知等差数列an中，a7 +

2、a9=16, a4=1,贝1J a12等于(2)通项公式的定义：如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示那么这个公式A. 15B.30C. 31 D. 64就叫这个数列的通项公式例如：1 ,2,32.an是首项ai=1,公差d = 3的等差数列如果 an = 2005则序号n等于1111：1 2'3'4'5(A) 667(B)668(C)669(D) 670说明：Ln表示数列，an表示数列中的第n项，an=f(n)表示数列的通项公式3.等差数列an2n-1,bn =-2n+1 ,则an为bn为(填递增数列”或 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如an=

3、 (-1)n =-1,n=2k-1(MZ);1,n=2k递减数列”)(三卜等差中项的概念定义:b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4,1.41 , 1.414 ,a b。其中A =2ua bb成等差数列=A = 2即：2an41 an * an+2(2an = an_m * an+m )(3)数列的函数特征与图象表示 ：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集(06全国I)设an是公差为正数的等差数列a1a2 a3 = 15aa2 a3 = 80 ,则1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1), f (2), f (3),N+ (或它的有限子集

4、)的函数f(n)当自变量n从，f(n),.通常用an来代替f (n),其图象a11a12a13 二是一群孤立点。A. 120B. 105C. 90D.75(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分 关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。:有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小(四)、等差数列的性质：(1)(一)、例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、(1) 1,2,3, 4, 5, 6,(3)1,0, 1,0, 1,0,常数列、摆动数列？(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,a, a, a, a, a, (5)数列an的前n项和Sn与通项an的关系：an等差数列(2)(3)

5、S1(n =1)(4),Sn -Sn(n> 2)等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。用递推公式表示为在等差数列(a1中 在等差数列an中在等差数列(a1中在等差数列(a，中从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项相隔等距离的项组成的数列是等差数列(五卜 等差数列的前n和的求和公式：(Sn = An2 Bn递推公式：n= N+, an = am+ (n m)dp , qw N+且 m+ n= p+ qan - am(m# n);n - m则 am+ an= ap + aq；

6、Sn= na1 +nd =n2 + (为上)2222(A, B为常数)=On是等差数列)Sn =(a1 ' an )n(am an-(m-1) ) n专业 word可编辑例：1.如果等差数列 Qn中，a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+.+a7 =（A） 14（B） 21（C） 28（D） 352. （2009湖南卷文）设Sn是等差数列 g 的前n项和，已知a2=3, a6=11,则S7等于（）（七）.对与一个等差数列，Sn,S2n - Sn, $3n - S2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30 ,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C

7、.210D.2605.06全国II）设&是等差数列an的前n项和，若号=一,则一6 S63s1B. 一3D.A. 13B. 35C. 49D. 633 . （2009全国卷I理）设等差数列 Q的前n项和为Sn,若S9=72Ua2+a4+a9=4 .若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为 390,则这个数列有 （）A.13 项B.12 项C.11 项D.10 项5 .已知等差数列 On 的前n项和为Sn ,若S12=21,则a2+a5+a8+a1 =6 .一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和为7 .已知等差数列an）的前10项和

8、为100,前100项和为10,则前110项和为8 .设Sn为等差数列an的前n项和，S4 = 14, S10 S7 = 30,则S9 =A.旦10（八）.判断或证明一个数列是等差数列的方法6. （2009全国卷n理）设等差数列an的前n项和为Sn,若a5=5a3则 冬=7.已知On 数列是等差数列，a10 = 10其前10项的和S10= 70,则其公差d等于（）8.9.A-i1C. 32D.3定义法：an 1 - an - d （常数）nW N"）=an是等差数列（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为sn,若a6=s3 =12，则 an =中项法：2前书=*十七42亡N冲）二an

9、）是等差数列（00全国）的前n项和（六）.对于一个等差数列（1）若项数为偶数（2）若项数为奇数设an为等差数列，Sn为数列an求又。的前n项和，已知S7 = 7, S15= 75 , Tn 为数列设共有2n项，则S偶S奇= nd；&= -a-;S 偶 an 1_ 一 一 小设共有2n -1项，则S奇一 S偶=an = a中； =-S禺non -11 .一个等差数列共 2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比 2 .一个等差数列前 20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1:2,求公差d3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15,奇数项之和是25,则它的首项与公差分别是 2通项公式

10、法：an=kn+b（k,b为常数）=1an）是等差数列前n项和公式法：Sn = An2 + Bn（A, B为常数）=m是等差数列例：1.已知数列an满足an an-1 =2,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an的通项为an = 2n+5,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断（3）你能,a4的值3 .已知一个数列an的前n项和sn =2n2+4,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断24 .已知一个数列an的前n项和sn =2n ,则数列a

11、n为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5 .已知一个数列an满足an书2an书+an = 0,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6 .数列满足 a1=8 , a4=2,且 an 也-2an+ +an =0 （ n w N冲）求数列an的通项公式；7 . （01天津理，2）设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列（九）.数列最值（1） a1 >0 , d<0时，Sn有最大

12、值；a1<0, d>0时，Sn有最小值；2（2） Sn最值的求法：若已知Sn, Sn的最值可求二次函数 Sn=an + bn的最值；可用二次函数最值的求法（n w N +）；或者求出an中的正、负分界项，即:an 一 0an 工 0右已知an ,则Sn最值时n的值（n w N +）可如下确定4 或4。.an 1 - 0an 1 -0例：1.等差数列（an1中，ai >0, S9 =62,则前 项的和最大。2.设等差数列an）的前n项和为Sn,已知a3 =12, Si2 -。，S13 :二 0求出公差d的范围，指出S1, S2,，S12中哪一个值最大，并说明理由。论错误的是（）

13、 A.dv0B.a7=0C.S9>S5D.S6与 S7均为 Sn 的最大值n - 98 .4 .已知数列Qn的通项n J8 （nW N"）,则数列an的前30项中最大项和最小项分别是 n -、995 .已知an是等差数列，其中a1 = 31,公差d = 8。（1）数列an从哪一项开始小于 0?（2）求数列an前n项和的最大值，并求出对应n的值.S （n = 1）、（十）.利用an = W求通项.5-Sn（n-2）21 .数列an的前n项和Sn = n+1 . （1）试写出数列的前5项；（2）数列an是等差数列吗？写出数列an的通项公式吗？2 .设数列an的前n项和为Sn=2n

14、2,求数列an的通项公式；23 . （2010安徽文）设数列an的前n项和Sn = n ,则a8的值为（）（A） 15（B） 16（C）49（D） 641 _4、2005 北东卷）数列an的刖 n 项和为 Sn,且 a二1 , an+1 = -Sn, n=1 , 2, 3, ,求 a2, z 3及数列an的通项公式.3. （02上海）设an（nCN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5VS6,S6 = S7>S8,则下列结三、等比数列A.等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比 ；公比通

15、常用字母 q表示(q#0),即：而平-an=q(q#0)n2 7n十 44(三卜等比数列的基本性质(一)、递推关系与通项公式递推关系：an 1 =anq通项公式：an =a1 qnJ推广：an =am q21 .在等比数列 Qn中，a1 =4,q = 2,则an =2 .在等比数列 Q中，a? =12,q=J2，则 a19 =.3. (07重庆文)在等比数列an中，a2=8, a1 = 64,则公比q为(B.n2 5n十 33C.n2 3n十241. (1)若m+n= p + q,则 am 品=ap a(其中 m,n,p,qw N*)n _ma n2(2) q =，an = and (n= N

16、 ) a m(3)1an)为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) an)既是等差数列又是等比数列u an是各项不为零的常数列例：1.在等比数列an中，a1和a10是方程2x2+5x+1=0的两个根，则a4,a7=()5 (A)-2,2(C)4(A) 2(B) 3(C) 4(D) 82.在等比数列OnL已知a15 , a9a10 = 100 ,贝U a18 =4.在等比数列七n 中，a2 = -2 ,a5 = 54 ,贝U a§ =3.等比数列an的各项为正数，且 a5a6+ a4a7 = 18，则 log3a+log3a2+III + log3a10 =()A. 12

17、 B. 10 C. 8 D. 2+ log 3 54. (2009广东卷理)已知等比数列2B. (n 1)2C. nD. (n-1)25.在各项都为正数的等比数列 an中，首项a1 =3 ,前三项和为21 ,则a3+a4 +a§ =()A 33 B 72 C 84 D 189(二卜 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b = ±JO,注：b2 = ac 是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.2 + J3和2J3的等比中项为()(A)1(B) -1(C) -1(D)22. (2009重庆卷文)设an是公差不为0的等差数列，ai =2且a1,

18、a3,a6成等比数列，则LJ的前 n项和Sn =() an满足 an > 0, n = 1,2,H 且 比 ' a2n=2 (n- 3)则当n至1时，log2a1 + log2a3+IH+log2a2n=A. n(2n-1)(四卜等比数列的前n项和，na1(q = 1)Sn = a1(1 - qn)= a1 - anq(q = 1)1-q 1- q例：1.已知等比数列an的首相a1 = 5 ,公比q = 2 ,则其前n项和Sn =2. ( 2006 年北京卷)设 f (n)= 2 + 24 + 27 + 21O+HI +23n桎三 N),贝U f (n)等于()A. |(8n-1

19、) B. 1(8n41 -1)C. -2(8n43-1)D,(84-1)3. （ 1996全国文，21）设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6 = 2S9,求数列的公比q；（五）.等比数列的前n项和的性质若数列 A 鬼等比数列，Sn是其前n项的和，kWN*,那么Sk,S2k-Sk ,S3kS2k成等比数列S6_S9例：1. （2009辽宁卷理）设等比数列 an的前n项和为Sn,若S3 =3 ,则S6 =78A. 2B. 3 C. 3D.32 .一个等比数列前 n项的和为48 ,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为（）A. 83 B. 108 C. 75 D. 633 .已知数列0口是

20、等比数列，且Sm=10, S2m =30,则S3m =（六卜等比数列的判定法（1）定义法：a吐=q （常数）=口为等比数列； an（2）中项法：an+2 =an an-2（an *0）= an）为等比数列；（3）通项公式法：an =k qn （k,q为常数）二 右为等比数列；（4）前n项和法：Sn =k（1qn） （k,q为常数）=n ）为等比数列。Sn =kkqn （k,q为常数）=1an 为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an =2,则数列小为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断22 .已知数列an满足an+=an an+（an#0）,则数列an为

21、（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .已知一个数列an的前n项和Sn =22科，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公式方法（1） .公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 = 7,a5 + a7 = 26 ,求an；22 .等比数列an的各项均为正数，且2a1 + 3a2 = 1, a3 = 9a2a6,求数列an的通项公式3 .已知数列an满足a1=2,a2= 4且an+2,an=an由2（ n= N*）,求数列Ln）的通项公式；4 .已知数列4

22、满足a1 = 2,且an+15n+=2（街5n） （n N*）,求数列an的通项公式；5 .数列已知数列4满足a1=；an = 4a1 + 1（n:>1）.则数列an的通项公式=（2）累加法1、累加法 适用于：an+ = an+f（n）a2 - al = f 若 an 书an = f (n) (n 至 2),则a3 'a2 = f (2)III III3.已知 a1 = 3, an413n-1an3n 2(n±1)，求 an。an 1 - an = f n两边分别相加得 an 1.-a1 = < f (n)k=41 1.例：1.已知数列an满足a1 =一，an4=

23、an+2,求数列 an的通项公式。2 4n -12.已知数列an满足an书=an +2n+1, a1 = 1 ,求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an书=an+2父3n +1, a 二3 ,求数列an的通项公式。(3)累乘法适用于：an+=f(n)an(4)待定系数法适用于 an .1 =qan , f (n)例：1.已知数列an中，a1=1,an=2an+ 1(n之2),求数列an的通项公式。2 .( 2006,重庆，文，14 )在数列an中，若a1 = 1,an+= 2an+3(n至1),则该数列的通项an =3 .已知数列an满足a1 = 1,an+1 = 2an + 1(n三N

24、*).求数列an的通项公式；若 an±= f(n),则外=f (1),也=f(2),|,a±= f(n)ana1a2an两边分别相乘得，an±=a1n f(k) a1k 1例：1.已知数列an满足an*=2(n +1)5n Man, a1 = 3 ,求数列an的通项公式。2.已知数列 ln ,满足 a1 = :, an+ = -an，求 an。(5)递推公式中既有SnS,n 1分析：把已知关系通过an=<转化为数列aj或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求nSn0，n-2n解。1,1. (2005 北东卷)数列an的刖 n 项和为Sn,且a1=1 ,an+ = Sn, n=1 , 2, 3, ，求a2,a3,a4 的3值及数列an的通项公式.2. (2005山东卷)已知数列an)的首项 日=5,前门项和为Sn,且Sn+= Sn+n + 5(nW N*),证明数列an +1是等比数列.(6)取倒数