函数基础知识点汇编

1、二、函数的有关概念1 .函数的概念：设A B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f : A-B为从集合A到集合B的一个 函数.记作：y=f(x) , xCA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相 对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域. 注意：如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子 有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集向或区回的娶式.定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数

2、的定义域一求函数的定义域时列不等式组的主要依据是(求定义域的方法)：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域

3、和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函教的判断力法二一表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本18页相关例2)值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2 2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域 的基础。函数值域的求法：(1)基本初等函数的定义域和值域：一次函数 f(x) kx b(k 0)的定义域是R ,值域是R。反比例函数f (x)凶(k 0)的定义域是(，0

4、) U (0,)，值域是 x(,0)J(0,)。b 一次函数f(x) ax2 bx c(a 0)的定义域是 R。当a 0时，值域是 f( )， ，当 2aa 0时，值域是 ，f( b). 注：f( ) 4ac b 2a2a 4a(2)求函数值域的常用方法。观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的 值域，求出函数的值域，如求函数yJ4x2的值域时，由x20及4-x20知,4x20,2,故所求的值域为 0,2配方法：若函数是二次函数形式即可化为 y ax2 bx c(a 0)型的函数，则可通过配方后再结 合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法。如求函数y x

5、2H 3的值域，因为y (Jx 1)2 2 2,故所求的彳1域为 2,分离变量法：ycxd,形式的值域为axy Ryc如：y a2x 1竺，的值域,可以变形为2 -Ax 1y 2.所以函数的值域为y y R> y换元法：t22于是y1t 22,ty x V2x1的值域为J1 2x 移项变形x 1 2x两边同时平方得x2 2 10利用0得y 1。所以函数的值域为,1求函数值域的方法还有3.函数图象知识归纳反函数不等式法 函数单调性法等.(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数P(x , y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(xC上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 为坐标的点(x ,

6、y),均在C上.即记为y=f(x) , (x C A)中的x为横坐标, e A)的图象.函数值 y为纵坐标的点y=f(x),反过来，以满足 y=f(x)的每一组有序实数对C= P(x,y) | y= f(x) , xx、y图象C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描 出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.日图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换作

7、用：1、直观的看出函数的性质;发现解题中的错误。4.快去了解区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间；(3)区2。利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。间的数轴表示.(参见课本p17页)5.什么叫做映射一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合 A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f: A B为从集合A到集合B 的一个映射。记作“ f : A B”给定一个集合 A到B的映射，如果aCA,bCB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素 b叫做元 素a的象，元素a叫做元素b的原

8、象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A B及对应法则f是确定的；对 应法则有“方向性”，即强调从集合 A到集合B的对应，它与从 B到A的对应关系一般是不同的； 对于映射f： A- B来说，则应满足：(I)集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯 一的；(n)集合A中不同的元素，在集合 B中对应的象可以是同一个；(出)不要求集合 B中的每一 个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是 函数图象的依据；。2解析法：必须注明函数的定义域；。3图象法：描点法作图要注意

9、：确定函数的 定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；。4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数(参见课本P21)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程， 而就写函数值几种不同的表达式并用一个 左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果

10、y=f(u),(u£ M),u=g(x),(x£ A),则 y=fg(x)=F(x), (x C A) 称为 f、g 的复合函数。1 x2 x例如：y -y=3 注：同学们可以求这两复合函数的值域和单调区间37.函数单调性(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xi,x2,当xi<x2时，都有f(x i)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间 D称为y=f(x)的单调增区间 (睇 清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值xi, x2,当xi<x2时，都有f(xi)

11、>f(x2),那么就说f(x)在这个区间D上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：d 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量xi, x2；当xi<x2时，总有 f(x i)<f(x 2)(或 f(x i) > f(x 2).(2)图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：任取xi, xzC D,且xi&l

12、t;x2；2 作差f(x i) - f(x 2); (3)变形(通常是因式分解和配方)； 定号(即判断差f(x i) - f(x 2)的正负)； 下结论(指出函数f(x)在给定白区间D上的单调性(增 或减).(B)图象法(从图象上看升降)_(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数 u=g(x) , y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下:函数单调性u g(x)增增减减y f(u)增减增减y f g(x)增减减增注意：i、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、简记为：回增异减.8.函数的奇偶性(i)偶函数般地，对于函数 f(x

13、)的定义域内的任意一个x,都有f( x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2) .奇函数般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个x,都有f( x尸一f(x),那么f(x)就叫做奇函数.注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能 没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：。1首先确定

14、函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；。2确定f( x)与f(x)的关系；C3作出相应结论：若f( x) = f(x) 或f( x) f(x)= 0,则f(x)是偶函数；若f( x) = f(x) 或f( x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)有时判定f(-x户±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x) ±f(x)=。或f(x) / f(-x)= ± 1来判定；利用定理，或借助函数的图象判

15、定.9、函数的解析表达式(1) .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间 的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2) .求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法(也叫方程组法)等，如果已知 函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数fg(x)的表达式时，可用换元法，这时要注意换元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程 组消参的方法求出f(x)10.函数最大(小)值(定义见课本p30页)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值。 2利用图象求函数的最大(小)值。3利 用函数单调性的

16、判断函数的最大(小)值：如果函数 y=f(x)在区间a , b上单调递增，在区间b , c上单调递减则函数 y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a , b上单调递减，在 区间b , c上单调递增则函数 y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；第二章基本初等函数一、指数函数(一)指数与指数塞的运算1 .根式的概念：一般地，如果xn a,那么x叫做a的n次方根(n th root )，其中n>1,且n e N *.当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数.此时， a的n次方根用符 号呜表示.式子+'a叫做根式(radical )

17、,这里n叫做根指数(radical exponent), a叫做被开方 数(radicand ).当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数 a的正的n次方根用符号 nJa表示，负的n次方根用符号一 Va表示.正的n次方根与负的 n次方根可以合并成土 Vaa (a0)a (a0)(a>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0,记作n/0 0。注意：当n是奇数时，Van a ,当n是偶数时， 疗 | a |2 .分数指数哥正数的分数指数哥的意义，规定:mma n vam(a 0,m, n N , n 1), a n -?=(a 0,m,n N* ,n

18、 1)_ n mn -aa0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥没有意义指脑：规定了分数一指数哥的意义后，指区的概念就仄整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数哥 的运算性质也同样可以推广到有理数指数哥.3.实数指数哥的运算性质r r(1) a ar sa (a0,r,s R);(2)(ar)rsa (aQr,s R);r r s(ab) a a (a 0,r,s R).(4)bbbr (a 0,b 0,r R)aa(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 y ax(a 0,且a 1)叫做指数函数(exponential function ),其中x是自变量，函数的定义域为

19、R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1.2、指数函数的图象和性质a>10<a<1JIIIIIIII65R4(3j121 1-0-图象特征函数性质a 10 a 1a 10 a 1自左1可右看，图像 逐渐上升自左向右看，图像逐 渐下降增函数减函数在第L象限内的图像纵坐标都大于1在第一象限内的图 像纵坐标都小于1x 0,ax 1x 0, ax 1在第二象限内的图 像纵坐标都小于1在第二象限内的图 像纵坐标都大于1x 0, ax1x 0, ax 1图像上升趋势是越 来越陡图像上升趋势是越 来越缓函数值开始增长较 慢，到了杲一值后增 长速度极快函数值开始减小极 快

20、，到了杲一值后减 小速度极慢向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值(0, + )函数图象都过定点(0, 1)0 da 1注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(1)在a,b上,f(x) ax(a 。且 a 1)值域是f (a), f (b)或f (b), f (a)；(2)若x 0,则f(x) 1; f(x)取遍所有正数当且仅当 x R;(3)对于指数函数 f(x) ax(a 0且a 1),总有f(1) a；(4)当 a 1 时，若 x1 x2，则 f(x1) f(x2);3 .比较两个指数大小的方法：同底利用指数函数

21、的单调性底和指数都不同找中间变量“1”或“0”作商或作差4 .指数函数的平移：对x轴加左减右，对y轴 加上减下 如y 2x y 2x 1 3是向左平移1个单位，然后向下平移 3个单位.5 .当底数 亘1时，底数 刍越大指数函数的图像越靠近y轴当底数0 a 1时，底数a越小指数函数的图像越靠近 y轴二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果 ax N (a 0,a 1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作： -真数，log a N 对数式)0,且 a 1 ；loga Nlg N ;x log a N (a 底数，N -说明：O注意底数的限制a axN log a N x ； 注意对数的书

22、写格式.两个重要对数：常用对数：以10为底的对数 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数ln N .对数式与指数式的互化log a N x ax N对数式 指数式对数底数一a 一哥底数对数 一x 一 指数真数 -N 一 哥(二)对数的运算性质如果a 0,且a1,M 0, N 0,那么： loga(M - N) log a M + loga N ； log a M loga M - log a N ；N loga M n n log a M (n R).对数恒等式alogabb注意：换底公式：log a b logc b (a 0,且 a 1；c 0,且 c 1；b 0). l

23、ogc a利用换底公式推导下面的结论（1) lOgam bnn一logab； (2) logab mlogb a(3) loga b log b c log c a 1（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y logax（a 0,且a 1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0, +00）.注意：O 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。x如：y 210g 2 x , y 10g 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.5 对数函数对底数的限制：（a 0,且a 1）.2、对数函数的性质：a>10<a<112.5.2I2.-一2 I-IML1 10

24、I0IQi10.1-I-I22工2 I2 I图象特征函数性质a 10 a 1a 10 a 1自左1可右看， 图像逐渐上升自左1可右看，下修图像逐渐1增函数减函数在A象限内 的图像纵坐标 都大于0在第一象限内的图像纵 坐标都大于0x 1, loga x 00 x 1, log a x 0在第二象限内 的图像纵坐标 都小于0在第二象限内的图像纵 坐标都小于00 x 1, loga x 0x 1,log a x 0函数图像都在y轴右侧函数的定义域为（0, + ）图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值R函数图象都过定点（1,0）loga1 03.比较两个对数大小的方法：同底

25、利用对数函数的单调性底和真数都不同找中间变量“1”或“0”同真数利用性质或换底公式作商或作差(同1比较大小)(三)哥函数1、哥函数定义：一般地，形如 y x (a R)的函数称为哥函数，其中为常数.2、哥函数性质归纳.(1)所有的哥函数在(0, +8)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2) 0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间0,)上是增函数.特别地，当 1时，哥函数的图象下凸；当 01时，哥函数的图象上凸；(3) 0时，哥函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内，当X从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近 x轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数 y f(x)(x D), 把使f(x) 0成立的实数x叫做函数y f(x)(x D)的壬J=r令点O2、函数零点的意义：函数 y f(x)的零点就是方程f(x) 0实