函数的基本性质

1、函数的基本性质一、单调性定义1 .单调性定义：设函数 f(x)的定义域为 A,区间M? A,若对于任意的 Xi, X2CM当 XiX2时，都有f(x 1)_ f(x 2),则f(x)为区间M上的增函数.对于任意的 Xi, X2C M当Xi0 ,则:为减T X(增)函数，木一1为增(减)函数.3 .互为反函数的两个函数有相同的单调性.4 .y=Tg(x)是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数Tg(x) 为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数Tg(x)为减函数.5 .奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个 区间上的单调

2、性相反.三、函数单调性的应用有：(I)比较函数值或自变量值的大小.(2)求某些函数的值域或最值.(3)解证不等式.(4)作函数图象.四、函数的最大(小)值：定义：一般地，设函数 y=f(x)定义域为I,如果存在实数M满足：(I)对任意 xC I ,都有 T(x) WM(或 f(x) M);(2)存在 XoC I ,使得 T(x o)= M.称M是函数y = f(x)的最大(或最小)值.五、复合函数的单调性对于复合函数y=fg(x),若t = g(x)在区间(a , b)上是单调增(减)函数，且y=f(t) 在区间(g(a) , g(b)或者(g(b) , g(a)上是单调函数，那么函数 y =

3、 Tg(x)在区间(a , b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域t = g(x)y=f(t)y= fg(x)增增增增减减减增减减减增六、解题技巧1 .函数单调性的证明方法(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是:任取 xi、X2CD,且 xi0 ,则f(x)在区间D内为增函数;作差f(x 1) f(x 2),并适当变形(“分解因式”依据差式的符号确定其增减性.(2)设函数y = f(x)在某区间D内可导.如果f如果f (x)0 ,则f(x)在区间D内为减函数.2.函数最值的求法(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法, 换元法，(5)数形结合法，(6)单调性

4、法，(7)导数法.21.(2010 天津模拟)函数y = logj ( x 2x+3)的单倜递增区间为2.(文)函数 y=ax在0,1上的最大值与最小值的和为3,则a的值为(C. 41D43.(文)(2010 济南市模拟A. y3y2yiB.C. y2y3y1D.4. (2012 保定一中质检A. ( -1,1)C. ( 1,0) U(0,1)5.(文)(2011 大连模拟A. y = log 0.5(1 -x)1 - xC. y = 0.513)设 y1= 0.4y1y2y3y1y3y213 y2= 0.514y3= 0.5)已知f (x)为R上的减函数，则满足 f1-f(1)的实数x的取值

5、 xB. (0,1)D. ( 8, 1) U (1 , +OO)下列函数在(0,1)0.5B. y= x上是减函数的是()D. y=2(1 -x2 1)6. (2011 江苏南通中学月考、北京东城示范校练习)设a=log 1 2 , b= log 1 1, c= A.- 0.3,332则()A. avbvcB. avcvbC. bcaD. ba07 .(文)(2011 北京模拟)设函数f(x)=,若f(a)a,则实数a的取1 一 x0且24)在1,2上的最大值与最小值之和为log a2+6,则a的值为()11A.2B.4 C . 2 D . 49 .(文)如果函数f (x) = ax2+2x3

6、在区间(巴 4)上单调递增，则实数 a的取值范围是10 .(文)(2011 平顶山一模 )定义在 R上的偶函数f(x)满足：对任意xi, x2e0, 十f x2 f Xi)( X1WX2),有0,则()X2一 X1A. f(3) f( 2)f(1)B, f (1) f ( 2)f (3)C. f ( 2)f (1) f (3)D. f (3) f (1)0且f(x)在(1 , +8)内单调递减，求a的取值范围.一、函数的奇偶性1 .奇偶性的定义设函数y=f(x)的定义域为D,若对D内的任意一个x,都有一xCD,且f(x)=(或f( x)=)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数).2 .关于奇偶

7、性的结论与注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的.显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数.(3)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，那么f(0) =0;如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为0，但逆命题不成立.若 f(x)为偶函数，则恒有f(x)=f(| x|).(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积

8、、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为 0的函数).二、函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数 T,使得对定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=,那么函数f(x)叫做周期函数.T叫做这个函数的一个周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做它的最小正周期.(2) 一般我们提到函数的周期是多少，指的是最小正周期；如果T是f(x)的周期，则kT(k* 一 . . . . 一一 一 . .e N)也是该函数的周期;周期函数不一定有最小正周期.1. (2011 北京西城一模)下列给出的函数中，既不是奇函数也不

9、是偶函数的是(A. y = 2|x|B. y=x1 -x3C. y = 2xD . y = x2.(2010 北京西城区抽检)下列各函数中，()是R上的偶函数()A. y = x2- 2xB. y = 2xC. y = cos2xD.2B. 一34.(文)(2011 湖南文,12)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9, g(2)=3,f(2)=、 x3.(又)(2011 辽宁又，6)若函数f(x)=2x + 1x a 为奇函数，则 a=()5.(文)设f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x) = 2x3,则f( 2)的值等于(A. 11141141 x6 .已知f(x),

10、 g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，且 f(x) -g(x) = (2),则f (1),g(0) , g( 1)之间的大小关系是 .7 .(文)(2011 合肥模拟)设(刈是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x) =f(4三) x I *的所有x之和为()A. B. C . 一 8D. 8228 .(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x = 2对称，且当xC (,2,2)时，f(x)= x+1.则 f( 5) =.9 .(文)(2010 安徽卷)若(刈是R上周期为5的奇函数，且满足f(1) =1,f(2) =2,则f(3)f(4)=()A. - 1 B .1 C .2 D . 210 .(文)(2011 济南模拟)函数f (x)( xe R)是周期为3的奇函数，且f ( 1) =a,则f(20ii) 的值为()A. aB. - a C .0D. 2a11 . (2011 青岛模拟)已知定义在 R上的函数f(x)满足f(3) =2 y 且对任意的x都有1f(x+3) = _