湖南省长郡中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理(含解析)

1、湖南省长郡中学2020届高三数学下学期第一次模拟考试试题理（含解析）第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1 .已知集合A二:3B=（x|x24x4- 3 < 0,若A n& =则实数司的取值范围是（）A.卜 >B.C. ; ：.； DDJ. : |【答案】D【解析】分析：先化简集合 B,再根据= 求出实数a的取值范围.详解：由题得因为所以日工儿所以白工1.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力 .（2）本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即

2、U <1,到底取等还是不取等，可以直接把 a=1 代入已知检验，=拉优:> 1,忸=制1二上43,不满足力门?二必，|4门日=（1,3） WB.2 .复数二、的共轲复数是（）A.后 # 4B. i + -C. I一:一D.【答案】C【解析】本题考查共轲复数的概念，先把复数三的分母实数化,共轲复数的概念易得答案Co3 .如图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我国古代数学家赵爽为证明 勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作 周髀算经中有详细的记载.若图中大正方形AUCD 的边长为5,小正方形的边长为 2.现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机 投掷n.个

3、点.有巾个点落在中间的圆内，由此可估计值的近似值为（）A.4n【答案】DB.D.25m，【解析】分析：利用几何概型概率公式可得详解：小正方形边长为2|,所以圆半径为1,圆面积为k, 又.大正方形的棱长为5,所以正方形面积为25,由几何概型概率公式可得京吟"等，故选D.点睛：本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验及几何概型概率公式，列出符合条件的面积与总面积 之间的方程求解4.已知为也w R且色/都不为0 (1 = 1,2),则bl“严一%>0同解”的()A.充分不必要条件C.充要条件充分性：举反例斯=% = 1

4、,可判断不成立；必要，卜解，从而证明必要性成立"7,则解口产得乂 C1,所以关于* 不等式-h > 0与%不同解;若关于乂的不等式1aM -hi>。与讶M - % > 0是“关于XB.必要不D.既不充同解，则方程白/-卜口龄都不为0 (1 = 1,2),所以“二士所以：=号”是“关于1的不等式 呼 % >0与电，*电>0同解”的必要不充分条件故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，判断一个命题为假只需举一个反例即可5 .某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(56+ 12、亏C. ：【解析】【分析】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图

5、的数据求出各棱长，从而求出各面的面积，相 加即可.【详解】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的直角三角形,一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4,底边长为5,如图1广10,=15=1左边侧面为等腰三角形，底边为 诋 高为&闻产-的 =61 Q所以l£i三棱锥的表面积表二，底+ S后+ 3右+ $左=30 +故选B.【点睛】本题考查了三视图与几何体的关系，空间几何体表面积的求法，考查了空间想象能 力与计算能力.6 .阅读如图所示的程序框图，若输入的 A = 10,则该算法的功能是()£=(3/= L_ I/ *2 /5=1+25/ M 卅、/A.计算数列1的

6、前10项和B.计算数列；2舞的前9项和C.计算数列2弗-”的前10项和D.计算数列2“ - 1的前9项和【答案】A【解析】分析】从赋值开始，逐步分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能【详解】解：开始赋值：S=0, i = l|;执行 V =1 + 2x0=1, = 1 + 1=2;判断 f > 10 不成立，执行 S = l+ 2xl = l + 2, , = 2+1=3；判断 f > 10 不成立，执行 5 = l + 2x(l+2) = l + 2 + 2Mf = 3 + l = 4|;判断i 10不成立，执行$ = 1 + 2 + 2之+ 2"，

7、1 = 10 + 1 = 11;判断， 10成立，输出 5 = 1 + 2 +22 + ». + 29.算法结束所以该算法的功能是计算数列2鹏1的前10项和故选：A.【点睛】本题考查了程序框图中的循环结构，循环次数较多时，一般写出前几次循环找出规 律.7 .如图是函数*）=月£相（及+卬）（|切 与 图像的一部分，对不同的 24句，若门），有汽勺+工2）=业 则（）A.B.C.D.JT知围，求得中=Q,所以 f(x) = 2sin(2x + g),结合函数的性质，可知C是正确的，故选C.5斤n（幻在L7V而）上是减函数X JH J. JM（幻在：上是减函数3 u在:一焉）上

8、是增函数Ji1L /（幻在=当上是增函数J U【答案】C【解析】 试题分析：根据题意可知 力二2, 20 +平+ 2力+3二"，从而有口+b=1-研，结合题中条件，可,(工1 + x£) = 2sin2(-<p) + #=Zsinfir-J = sintp = 心，结合炉的范考点：根据图像求函数解析式，正弦函数的性质.8.如图所示，直线f为双曲线C：的一条渐近线，匕是双曲线q的左、D. 3A.|o < c<B.卜，:C.D.：右焦点，七关于直线的对称点为且尸;是以F?为圆心，以半焦距d为半径的圆上的一点, 则双曲线£的离心率为（）C. 2【解析】

9、n b m一七b- =- m =设焦点式一&。1关于渐近线上y = T的对称点为F1ro/）,则屋"=>:,又点a n a 'i Zqd/r(m*在圆+ / = /上，:' j 1 ； r)，+ 卜二 /=c2e2 = 4.二 c = 2 ,故选C.9.已知定义在w上的偶函数（公二,加一皿/ （其中w为自然对数的底数），记q=r（oj2）, b = f（2。，c = /（A + M%2）,则|a, 6, c的大小关系是（）【答案】A【解析】【分析】先由偶函数求出4=0,然后分析出函数在|0加上单调递增，判断出以。<上+必必2<2”,且都属于0

10、再,然后可比较大小.【详解】解：由定义在 冏上的偶函数f:尹国-，可得（-幻二73即97-刈-03（ - X） = *7 - c,解得上二0所以（，）=- C0SX当XE（Vr时，二/单调递增，g总单调递减，所以=j -口在mm上单调递增因为 03* = 0g 1< 2*3<才+- 32 Vl所以O 32人+2晶 < 产，且都属于|0)所以 A0.32) <c = fk + 1。%2) < * 5，即 u < b故选：A.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，考查了学生分析解决问题的能力，属 于中档题.10.已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形

11、数表，第一行为1,第二行为3, 5,第三行为7, 9, 11,第四行为13, 15, 17, 19,如图所示，在宝塔形数表中位于第 i行，第列的数 记为巴山比如。42 = 15, = 23,若旬= 2019,则# +，=()I J S 119 7 昌 15 17 内 X 27 25 23 21A. 72B. 71C. 66D. 65【答案】B 【解析】 【分析】先分析出奇数2020为第1010个奇数，按照蛇形排列，第1行到第，行末共有 j(l + I)2.2020为第1010个奇数，+ t)1行到第i行末共有1 + 2 + i = ' 个奇数1 + 2+ - + i=-个奇数，试值可以

12、分析出第1010个奇数位于第45行，从右到左第 20列，从而得出答案【详解】解：奇数 按照蛇形排列，第则第1行到第44行末共有990个奇数，第1行到第45行末共有1035个奇数，则2020位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2020位于第45行，从右到左第 20列， 则 故选B.【点睛】本题考查了等差数列的前n项和，数与式中的归纳推理，属于中等题11.已知产为抛物线C：= 41的焦点，£为其准线与m轴的交点，过p的直线交抛物线。于乩R两点，M为线段山的中点，且网上三口1,则R网二（）A. 6B.而C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】 设直线ly二岭-

13、1;,联立抛物线方程得韦达定理，求出点 M坐标，由=/TT列方程解出4,然后可求出 .【详解】解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是 设直线上y=Af* - 1 ：,将直线与抛物线方程联立（产"4，3 - k（x- 1>化简得 H- （2k* + 4）x + A? = 0,日, 小+ 4得+ X2 =,kC2.所以又四-L0），根据网目二、门，得八+ 1户5=11,解得如二2,所以M万=洒产| + |月/=方1 +小+ 2 = 2+1+2 =， 故选A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线焦点弦的性质，属于中档题2口, WR）二有解,其中士为自然对数

14、的底数则实数【答案】D12.已知函数 应町二A=1户一m, 乂冷二ln（jr +若存在m,使得关于；的方程”的取值范围是（）B.：一寸：1D.丁 +8【解析】分析：由题得+ 吧j卜41 + %）=，令t = 1+上，g（t）= （2电一L） . 1/U ,利用导数性质能求出实数 ”的取值范围.详解：由2a u（工）、1工）二星, 2u 2e t=Int + 1 = -(1 + Int)得上+ o(2r + 2rnx) 呵r+ 码一如打=0 ,令t = l+, g(t)-(2e-t)* ln；|,则-00 = X1 1显然I二七是函数的唯一零点,易得 矶小时- 0（e） =召Me,即1 E 1-

15、8月)U 丁, + Zu故选D.点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运 用.，属中档题，第n卷二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.13 .已知向量。二（1词鼻，向量1工的夹角是:，u c = 2,则|匚等于. sJ【答案】2【解析】试题分析：由题意，得臼=2,向量a, c的夹角日二三，则由人 £二北得旧。口=2,则国=2; 3d故填2.考点：1.平面向量的数量积；2.平面向量的模.北0.14 .设，U满足约束条件x-Lit，则，=的最小值为 . （r + y £ 3.【答案】【解析】分析】先画出约束条件所代表的平面区

16、域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位置，求出最优解代入目标函数求出最值即可.x>Qf【详解】解：先画出约束条件 所代表的平面区域，如图中阴影lx-y £ LJC + y < 3.然后画出目标函数如图中过原点虚线所示平移目标函数，在点乂处取得最小值由二W，解得w川 i| Jr a所以目标函数|z 二 h-2?最小值为1-2x2 =-3故答案为：【点睛】本题考查了简单线性规划问题，平移目标函数时由目标函数/二片-2y中y前系数小于0,故向上移越移越小.15 .若次+ :广的展开式中各项的系数之和为81,且常数项为a|,则直线y =与曲线y = /所围成的封闭区域面积

17、为.【解析】2, 2试题分析：Ya+ -厂的展开式中各项的系数之和为81;.3,f = 81»n = 4, 5 + -，的展开式的xx通项公式为:Tr + 1 = C； 2r圻,令l-2r = 0,解得r=2,.展开式中常数项为“=C'2* = 24: 4，直线¥ = 4*与曲线3二)围成的封闭区域面积为：5 = 由-3dx=/一；/)|J =_故答案为: 考点：二项式定理，定积分16.已知点均在表面积为日的球面上,其中旧4 1平面/1口心1口“ = 30"4。= 1%1乩则三棱锥P-40c的体积的最大值为81【解析】分析:先求出球的半径，再求出三棱锥P-

18、/1BC的体积的表达式，最后求函数的最大值详解:设球的半径为R,所以g1斤二如R2.:=设AB=x,则.4。二9刘，由余弦定理得BC2 3x十/-2用艾x r x = /* .* HC = x. 2设底面 ABC的外接圆的半径为r,则2二所以PA=181Jr所以三棱锥,P-71双:的体积181681I 816 ( Jx4当且仅当x=；时取等.故答案为:01点睛:(1)本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：加c父当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式

19、，再 求函数的定义域，再求函数的最值三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(1)若17.在占八就中,三边u也.所对应的角分别是 儿氏。已知。也.成等比数列求角日的值;(2)若外接圆的面积为 防，求4阀面积的取值范围【答案】（1） q； （2） 0,3斗【解析】 【分析】（1）化简，L十一_二3四，可得吧必邙 =4月，由也c成等比数列，用正弦定理进行边 lanA tanC 3 sinAsinC 3角转化为Sin：.cosB-当且仅当a = 时取等号，又; F为的内角，0月三,tf = stnAsinC，又跃小+门=,可解出卜门口，从而求出角小；（2）由力双；外接圆的面积可求出外接圆半

20、径，且 = 2R,得b=心，间，5疑（=丁6温月=加帕3日，再由 3£- Ji J-J占余弦定理可求出£-叨周的范围，得月的范围，从而求出p.加d的范围.1 cosA cosC sin（A + C） 2d3一二.一+=-1-,tanC Sirt4 srnC sinAstnC 3又,廿力/成等比数列，得hrr ac,由正弦定理有二shMsf"',.A + C = TT-H, . ¥也（小 + 门= 5MA , 由/二£R知，人不是最大边， H=g.（2） .AHC外接圆的面积为|4r, ©力贺：的外接圆的半径/? = 2,由正弦

21、定理,得.由余弦定理b二/4c22accos,得cosB=、* ,又，户=ac , 2ac11 2N也，口C的面积A = -acsinB = -b sinB = 85M HAASC 22阡I?。 E W$0 sinU ¥ & auc e （。二132【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最 值问题，属于中档题18.如图1,直角梯形ABCD中，川J叫中，= 9吃同F分别为边/W和。上的点，且,MJ = 2/1E = 4F。= 4.将四边形附O沿EF折起成如图2的位置，AD = AE .ii门70 邮（1）求证："平面GW；（2）

22、求平面 值?。与平面所成锐角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）正。5【解析】试题分析：（1）取DE中点G,连接FG,AG: AF u平面月产G,只需证平面 AFG/平面CBD又F6二平面WG二平面且产G,故只需证FG /平面CBD AG /平面CBdPM;（2）要求平面与平面D/1E所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取 HE中点为H,连接DH可证DH 平面AFE ,故以/IE中点H为原点，HE为工轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面八DE的一个法向量，由可得平面的一个法向量为 工,然后由空间两向量夹角公式去求平面与平面所成锐角的余弦值。试题解析：（1）证明：取DE中点G,连接FG

23、,AG CG.因为CFDG,所以FG/ CD.因为C邑 AB,所以AG/ BC.所以平面 AFG/平面 CBD 所以 AF/平面 CBD. 解：取八£中点为H,连接dhFELH£.FE«LOE ,二FE_L平面ADE ,FE_DH -DH 一在，二 DH J.平面.15FE .以八£中点H为原点，九上'为万轴建立如图所示的空间直角坐标系，则, 口（。出内后）,1 再 11i'3-O（-l-2,0）, EQ.n.O；所以DE的中点坐标为弓口因为次=产,所以。弓一工号）易知用川是平面犯£的一个法向量， 位=疝=（020：设平面口。的

24、一个法向量为而=卬.分(应 比=Evm) , go,j)3 a六-x + -z 022& -而=(算沙= x + Zy 4-0才=C 令丈二 2,则工二 Z, |z = -2脚，S = QZ-24)十十 自叫 2 x 0 + 2 x 2-2串x 0 JS1 Z 向 l&| Z乂邓5./E所以面。g。与面DHE所成角的余弦值为：.(2)空间两平面夹角的定考点：(1)空间线面平行、面面平行、线面垂直判定定理的应用;义、平面法向量的定义的应用；(3)空间向量的基本运算。19.为了迎接2020年全国文明城市评比，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一

25、次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示：组别30“j|40,50)60J0)|70teo)| 吵 90)90,100频数2515020025022510050(1)由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分名服从正态分布210tlp近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，请利用正态分布的知识求P(36<Z<79,5 ；(2)在(1)的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：(i)得分不低于口的可以获赠2次随机话费，得分低于”的可以获赠1次随机话费;(ii )每次获赠的随机话

26、费和对应的概率为：获赠的随机话费(单位：元)2040概率4现市民小王要参加此次问卷调查，记，(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求A的分布列及数学期望.附：闻i m 145若/ 必禧用士),则p(一仃 片 +仃)=0,8)26,，。上一2次7+ 2仃j = 0.9544 ,【答案】(I) P (36VZW79. 5) = 0. 8186;(n) X的分布列为X的数学期望为X204060803133|1P初1632【解析】【分析】(1)根据题中所给的统计表，利用公式求得其平均数，即正态分布对应的W，再利用数据之间的关系，36二=u + 仃，利用题中所给的数据，以及正态分布的概率密度曲线的

27、对称性，求得对应的概率；(2)根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各占一半，再结合得20、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而列出分布列，之后应用离散型随机变量的分布列求得其期望.【详解】(I )根据题中所给的统计表 ，结合题中所给的条件，可以求得 声=35 x 0.025 + 45 x 015 + 55 x (12 + 65 x 0.25 + 75 x 0225 + 85 x 0,1 +95x fl.05二。” + 1 . i二二-】、在匚 ；卜不二二，又，忤小芍西+逆竭,所以 P (36VZW 79. 5)1=-X1一二工.YHX；(n )根据题意

28、,可以得出所得话费的可能值有200,60,80元,133得20元的情况为低于平均值,概率口 = -x-=-,2 4 8得40分的情况有一次机会获 40元,2次机会2个20元，概率产二乙又乙+二乂二乂二二巴,2 I 2 4 4 32得60分的情况为两次机会,一次40元一次20元,概率F =除"；足=工24 4 16得80分的其概况为两次机会，都是40元，概率为p = lx-x = ,2 4 4 32所以变量X的分布列为X20406080P313|3|181632所以其期望为夙X) =2。乂：+ 4OX2+ 6OX且+ 8。乂之=年. 83216322【点睛】该题考查的是有关概率的问题，

29、涉及到的知识点有平均数的求法，正态分布的性质， 离散型随机变量的分布列，属于中档题目./ /盘20.已知椭圆E：F+t=13>b>l；的离心率它二三,其左、右顶点分别为点 Afi ,且点乂关于 a2 b22直线y二尸对称的点在直线y - 3x-2±.(1)求椭圆同的方程；(2)若点A1在椭圆上，点N在圆住/ +V二M上，且吼N都在第一象限，MN 1.y轴，若直线 MB与j轴的交点分别为C、D,判断WndNf)是否为定值，若是定值，求出该定值；若不 是定值，说明理由.22【答案】(1) ； + / = 1； (2) 1.【解析】【分析】(1)点八(-口由关于直线y =鹏对称

30、的点-叼在直线> = 31 2上，代入可求出a|,又 e = -= yPu2 -b2 可解出比d,然后得出椭圆方程；(2)设“y/ ,AM：y=代胃+ 2k >弧， 求出点。的坐标，联立直线与椭圆方程，由韦达定理求出M坐标，从而得到的方程，求出点。的坐标，设求出NoMh化简得前=。，所以上为定值.【详解】解：(1)点Ml 口,0：关于直线y二万对称的点！O,-叼在直线y=3v.2上,-a = 0-2,解得 口二工又+ 解得/= z = j.椭圆E的方程为：+/=!.4 2 1(2)设崛凡/oj, RMy=k(* + 2)(k)Dj,令x =。，解得 |y = 2”, O0j2/f卜

31、联立:化简得：2炉+ 1产+ 8- + 8炉- 4 =加、*>0r味工-4在r/曰2 - 4卜”一一 2#口 =一，斛倚大0 =-.2k2 + 12k2 + 1直线已时的斜率=., BM的方程:设虱。必b则加=(-。,2"-凡)，N力=(-#：-凡g n 22-2M 十 1Me 种二，却，+ y j + 2为.27_4 k办 +'o=2% = Q+MC 而=0,即上CN9=则.5m±GV= 1为定值.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，解析几何中 的夹角类问题可尝试用平面向量解决21.已知函数f«) =十.FTLX

32、+ n(1)若闭=0刀=1,求函数(")的最小值；(2)若心。*> 0, 幻在0, + s)上的最小值为1,求:的最大值.【答案】(1) 1； (2)与 乙【解析】试题分析：(1)运用导数知识进行求解；(2)借助题设条件运用导数和分类整合的数学思想求解.试题解析：(1) m = 0抑=1 时，y 则/(吗”+1|,3。贝UrX0,.，但在一 3期单调递减，|01+ g上单调递增，幻时山= /XS = l,即函数f(x)的最小值为1._ TX(2)由题意：/)一 '+ m ，令1=吧>。则代用=白-+-/0)= 1 ,Ctx +1)综上所述,也6+1)/(X)>

33、; Oo/> (tr + 1),令 h(>)二/一。工+I)，则M口)二 0, hx) = ex-2ttx + 1)/(0) = 1-21 .当 l-2t<0时，则 hr(0)= l-2t < 0,因为|xt+ 但时，,力使得K E (0/0)时，;(工)< 0,./口；在(0,%.上单调递减，又因为h(0) = 0,在(。囱上h(x)co,即八WV。，则H口在；。/口,上单调递减，即T E (0/;时，< 寅0)二1|,不合题意. 1-21?0时，即兰' 贝Ub'(O) = l-2£AU,又因为 hx) = ex-2i >=

34、 l-2f >。,/(幻在式40人)上单调递增,又/tf(0)=l-2ti0,.”0,+ 8)时日(吟20,即依口在工W0, + 3；上单调递增，又因为h(0)=0, . . r w 0, + 功时/幻 >0,即N W 0, + 8)时/(M) > C , ./但在”0. + 3上单调递增，又因为 0)=1, 所以汽现加=fW = 1,满足题意，的最大值为考点：导数在研究函数的最值中的运用.【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形(因式分解或配方)，其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的 .本题第二问的求解过程则先预 见函数/W在区间* E 0, + 8：上单调递增,再运用分析转化的思维方式进行推证,最后求出三的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一 个题目计分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系的原点。为极点，归轴的正半