解线性方程组克默法则

1、解线性方程组克默法则作者:日期:第一章 解线性方程组的克拉默 （Gramer）法则解方程是数学中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位，因此这个问题是读者所熟悉的，譬如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ,它的两端 电位差v ,那么通过这段导线的电流强度i ,就可以由 关系式ir v求出来，这就是通常所谓次方程的问题，在中学代数中,我们解过儿,二元，三元以致四元一次方程组，这一10章和下一章主要就是讨论一般的多元一次方程组，即线 性方程组，这一章是引进行列式来解线性方程组， 而下 一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的 内容。对

2、于二元线性方程组a2ixia22x2b2当aia22ai2a2i0时，此方程组有唯一解，即bia22ai2 b2Xi aiia22ai2a2iaiib2a2ibiX2aiia22ai2a2i我们称ana22 a12 a21为二级行列式，用符号表示为和闰22a12a21aiiai2a2ia22于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式aiai2a2ia22时，该方程组有唯一解，即Xibi ai2b2 a22aii a12,X2aiia2ibib2aiiai2a2ia22对于三元线性方程组有相仿的结论,a2ia22设有三元线性方程组aiiXia12X2a13X3a2iXia22X2a23X3a

3、31X1a32X2a33X3bi b2 b3称代数式为三级行列式a11a12a13a21a22a23a31a32a33al 3 a22 a31aiia22a33ai2a23a31ai3a21a32aiia23a32ai2a21a33ai3a22a31alia22a33ai2 a23a31al3a21a32a11a23a32al2 a21a33我们有：当三级行列式aiiai2ai3a2ia22a23a3ia32a33时，上述三元线性方程组有唯一解，解为Xidid,X2d2 d，X3aiiai2d3a2ia22a31a32bib2b3在这一章中我们要把这个结果推广到n元线性方程组aiiXia2iX

4、iai2X2a22X2L LaniXian2X2L ainXnL a2nXnL LL annXnbibn的情形biai2ai3aiibiai3b2a22a23d2a21b2 a23b3a32 a33a3ib3a332克拉墨法则现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题， 在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形，以后会看到这是一个重要的情形, 线性方程组相仿的公式。 本节的主要结果是 定理：如果线性方程组卜面我们将得出与二元和三元aiiXia2iXiai2X2a22X2L LL ainXnaniXian2X2L a2nxL LL annXbb2bn的系数矩阵A的行列式aia12a2ia22M

5、Manian2La1nLa2nMMLannQ)d | A| 0那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为did2.x1, x2L L xndddn d其中di是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项bi,b2L bn所成的矩阵行列式，即djailLa21LManiLa1,j ibla1,j 1Lalna2,j ib2 a2, j 1 La2nM M M Man,j ibnan,j 1 Lann定理中包含着三个结论：1,方程组有解；2,解是唯一的；3, 解由公式（3）给出，这三个结论是有联系的，因此证明 的步骤是：把 电，曳L L生 代入方程组，验证它的确是解 d d d2,假如方

6、程组有解，证明它的解必由公式（3）给出, 在下面的证明中，为了写起来简短些，我们尽量用 连加号证明：1把方程组（1）改写为naijxj b,i 1,2L nj 1首先来证明（3）的确是（1）的解，把 代入第i个方 程，左端为(6)因为a d11 n . dj1aijdjbsAsjd jb1A1jb2 A2jL bn Anj所以adaj jaajnbsAsjs 1a.aijnaij Asjbss 1aijnaij Asjbs j 1naij ( aij Asjbs) j 1根据定理中（6）有dh1 n naij ( aij Asj)bs d s 1 j 1这与第i个方程的右端一致，换句话说，把（

7、3）代入 方程使它们同时变成恒等式，因而（3）确实为方程组 的解2设（C1,C2L Cn）是方程组（1）的一个解，于是有n个naijCjh,i 1,2L nj 1为了证明a 虫，我们取系数矩阵中第k列元素的 d代数余子式Ak,A2kL Ank,用它们分别乘（7）中n个恒等式；有nAikaij Cj bi Aik ,i 1,2L nj 1这还是n个包等式，把它们加起来，即得n nnAikaij cjbi Aki 1 j 1i 1（8）等式右端等于在行列式d按第k列的展开式中把aik分别换成bi ,因此，它等于把行列式d中第k列换成 bbzL bn ,所得的行列式，也就是dk ,再来看(8)的左

8、端，即n nAk aijCji 1 j 1n naij AkCji 1 j 1n naj AkCjj 1 i 1 n n(aij Aik ) cji 1 j 1naijAkd, j k0,j k所以n n(aij Ak )Cj dCkj 1 i 1于是，(8)即为dck dk,k 1,2L n也就是dkCkk，k 1,2L nd这就是说，如果(q,C2L Cn)是方程组的一个解，它 必为d1 d2. . dn,L L d d d因而方程组最多有一组解 定理通常称为克拉默法则例解方程组2x1 x2 5x3 x4 8x1 3x2 6x4 92x2 x3 2x45x1 4x2 7x3 6x4 0方程

9、组的系数行列式271476因之可以用克拉默法则，由于d181593 052104716268128511906d205121076108d32113021481965 20627158d4273 09215470所以方程组的唯一解为X3心4, X31,X4 1应该注意，定理只是讨论系数矩阵的行列式不 为零时的方程组，它只能应用于这种方程组，至于方程 组的系数行列式为零的情形，将在下一章讨论常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，显然，齐次线性方程组总是有解的，因为（0,0 L 0）就是一个解，它称为零解，对于齐次线性方程组，我们关心 的问题常常是，它除去零解以外还有没有其他解，或者 说它有没有非零解，对于方程个数与未知量个数相同的 齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理：如果齐次线性方程组(10)a11x1al2X2a2ixia22X2aniXian2X2L a1n XnL a2nXnL annXn的系数矩阵的行列式|A| 0,那么它只有零解，换 句话说，如果方程组（10）有非零解那么必有|A| 0证明：应用克拉默法则，因为行列式中有一列为零，所以dj 0, j 1,2L n这就是说，它的唯一的解是(0,0L 0)di d2dn,L L d dd例求在什么条件下，方程组X1 x2 0X1 X2 0有非零解根据定理，如果