数理方程期末试题07082B答案

1、百度文库-让每个人平等地提升自我北京交通大学2007-2008学年第二学期数理方程与特殊函数期末考试试卷(B)/(参考答案)学院 专业 班级学号 姓名题号一二三四五六七八总分得分阅卷人一、 计算题(共80分，每题16分)1.求下列定解问题(15分)22T a22 A, 0 x l,t 0, txu|x 0 Mi,u|xi M2,u |t 0 0, |t 0 0. t2. 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：(15分)2Utt a Uxx, 0 x , t 0,u(x,0) 0, Ut(x,0)0,u(0,t)(t), lim u(x,t) 0.x3.设弦的两端固定于x 0及x l

2、,弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移u(x,t)。/解问题的定解条件是u(x,t)(Cncost Dnsinlt)sin*xn 1/由初始条件可得/Dn 0, n 1,2,clCn,h xsin 2r xdx上(x l)sin + xdxn i 0 cic i ci4.证明在变换2hl222 c(l c)nsinn crn 1,2,x at, x at 下,波动方程Utta2Uxx具有形式解u n 0 ,并由此求出波动方程的通解。5.用分离变量法解下列定解问题tU122 U a x0,u|xlsin 2rxsin-2rt,0 x l, t 0U |t

3、00Tt6提示：1)可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2)利用参数变易法。解对应齐次方程的定解问题的固有函数是sin + x ,其解可以表示成U(x,t)Vn(t)sin*xn 1把原问题中非齐次项 f(x,t)sin 2-xsin弓一t按照固有函数展开成级数f(x,t) sin2-xsin 午 t fn(t)sinxn 1因此有sin2a-t,n2;0,n 1,3,4,.fn(t)利用参数变易法，有于是V2(X,t) 4一(UVn(X,t)sin0,nu(x,t) 4a(246. 用Bessel函数法求解下面定解问题tsin02a-r20- sin 空(t )d-1 t cos2a- t

4、)1,3,4,5,sin牛 t tcos牛 t)sin"xt u|a2(r),0 r Ru |t 00,u|r 01 7八解用分离变量法求解。令 u( ,t) R()T(t),则可得以及T" (t)(I)T'(0)2T (t)02 _R”()(II )R()R'(,R( 0)22 _R( ) 0设n n 0为Bessel函数J 0 (x)的正零点,(U)则问题(II)的特征值和特征函数分别为问题(I)的解为于是原问题的解是由初始条件得到Rn( ) J0V ) aTn(t) CnCOs_f tU( ,t) Rn( )Tn(t)CnJ0(U©Saft2

5、u( ,0) 1 Cn00J73 0 (1)d22 0.4J2( n)J2( n) T J2( n)J2( n)8nJ1 ( n)由于n是J0(X)的零点，也即 J°( n)。，而且又有J0(x) J2(x) Ji(x)J2 ( n )2J1 ( n ) nu(于是最后得到原问题的解是,t)Rn( )Tn(t)a)COS = tCn J0(-0) cos -t4J2( n)n2 12 f7 J0( -n J1 ( n )0二、/证明题(共2分，每题10分)7 .证明平面上的 Green公式(v 2u u 2v)d(v u)dsDC其中C是区域D的边界曲线，ds是弧长微分。证明设p(x, y), Q(x, y)在D+C上有一阶连续偏导数，n为C的外法线方向，其方向余弦 为cos , cos ,贝U有(W -P)d(Qcos Pcos )dsDC再设u,v在D内有二阶连续偏导数，在 D+C上有一阶连续偏导数，令Q ugPu-y得到u vd(-u-x -u-v)dDDu(-xcoscos )ds u dsCC交换u,v,得到u v u Vv ud(- -)dDv(Jxcoscos )dsv-n dsC C /上面第二式减去第一式，得到(v u