空间向量的数量积运算练习题汇编

1、学习-好资料课时作业(十五)学业水平层次一、选择题1 .设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下 列命题：(a b)c- (c a)b=0;冏=>/0; a2b = b2a; (3a + 2b) (3a 2b) = 9|a|24|b|2.其中正确的有()A. B. C. D.【解析】由于数量积不满足结合律，故不正确，由数量积的性质知正确，中|a|2 b=|b|2a不一定成立，运算正确.【答案】 D2 .已知 a + b+c=0, |a|=2, |b|=3, |c| = 4,则 a与 b 的夹角a, b> =()A. 30B. 45C. 60D.以上都不对【解析】.a+

2、 b + c=0,a+b= c,(a+b)2=|a|2+|b|2+2a b一2 . 3 ._a_b 1=|c| , . a b= 2， c0sa，b=|a|b|=4，【答案】 D3.已知四边形ABCD为矩形，PA，平面ABCD,连结AC, BD, PB, PC, PD,则下列各组向量中，数量积不为零的是()A.PC 与 BDB.DA 与 PBC.PD 与 ABD.PA 与 CD【解析】 用排除法，因为PA，平面ABCD,所以PAJCD,故PA CD=0,排除D;因为AD必B, PA必D,又PAAAB=A,所以AD，平面PAB,所以 AD1PB,故DAPB=0,排除 B,同理PDAB = 0,排

3、除C.【答案】 A4.如图3-1-21,已知空间四边形每条边和对角线都等于 a,点E, F, G分别是AB, AD, DC的中点，则下列向量的数量积等于 a2的 是（）XkXIX c 图 3-1-21A. 2BA ACB. 2AD DBC. 2FG ACD. 2EF CB f fcf fc【解析】2BAAC= a2,故A错；2ADDB= a2,故B错；1cfffcc2EFCB= 2a2,故 D 错；2FG AC= AC2 = a2,故只有 C 正确.【答案】C二、填空题5 .已知 |a|=2, |b|=3,a, b> =60°,则|2a3b|=【解析】|2a 3b|2 = (2

4、a3b)2=4a212a b+9b2= 4X|a|2+9x |b|2-12X|a| |b| cos 60 = 61, .|2a-3b|=V6i.【答案】.616 .已知|a|=2,|b|=1,a,b>=60°,则使向量a+入电 入l2b的夹角为钝角的实数 入的取值范围是.f(a+ 入心入 L2b)<0, 由题意知I cos a+ 入 U 入 a- 2b丰1.f(a+ 入入 L2b)<0,即?大+2入一2<0.I(a+ 入。(入 a- 2b |a+ 入，入 l2b|二-1 3V k 1 + J3.【答案】(-1-V3, -1+73)7.如图3-1-22,已知正三

5、棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线 AB1和BM所成的角的大小是金I图 3-1-22更多精品文档学习-好资料1【解析】 不妨设棱长为2,则|ABi|=BBi BA, BM = BC + BBi,cos <AB1?BM>1 7(BBi BA)(BC + 2BBi)02+202啦 xJ5= 2y2x50,故更多精品文档填90 .【答案】90三、解答题8 .如图3-1-23在正方体ABCD-AiBiCiDi中,O为AC与BD的 交点，G为CCi的中点.求证：AQ，平面GBD.图 3-i-23【证明】设A1B1 = a, AiDi = b, A1A=

6、c.则 ab=0, a c= 0, b c= 0.rrrrr 而 AiO=AiA+AO = AiA+(AB+ AD)=c+(a+b),BD = AD-AB= b a,77717f 111OG = OC+CG = 5(AB + AD) + 2、= (a + b) 2c.11 ).AO BD= c+2a+b(b-a),、 1=c (b a) + /(a + b) (-ba)=c bc a+ 2(b2 a2)122= 2(|b|2-|a|2) = 0.AiOJBD. AiOlBD.同理可证AiOJOG. AiOJOG.又 OGA BD=O且 AiO?面 BDG,. AiO上面 GBD.9 .已知长方

7、体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB = AAi = 2, AD = 4, E 为 侧面ABi的中心，F为AiDi的中点，试计算：(1)BC EDi； (2)BF ABi； (3)EF FCi.【解】如图所不，设AB=a, AD = b, AAi = c,则|a|= |c|= 2, |b| = 4, ab=bc=ca = 0.(1)BC EDi = AD (EA1 + A1D1)J2.->D-A -f f I一1-AB什AD =b (c-a什b=|b|2 = 42= 16.(2)BF AB1 = (BA1+A1F) (AB+BB1)(AB + AA1)AA1-AB +c-a+ 2b)

8、 (a + c)= |c|2-|a|2= 22-22 = 0.(3)EF FCi = (EAi + AiF) (FD1+D1C1)1 1-=2(AAl AB)+ AD5AD + AB12=_2c a)+ 2b 2b +21 a+ b+c)逆b+1 2 1 2= -2|a|2 + 4|b|2=2.能力提升层次1 . （2014中山高二检测）已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为。1,则AO1 AC的值为（）B. 0A. - 1C. 1D. 21f f fAO1 = AA1 + A1O1 = AA1 + 2( A1B1 + A1D1) = AA1 +fflc

9、c+ AD),而AC= AB+AD,则AOi AC = (AB2 +AD2)= 1,故选 C.【答案】 C2 .已知 a, b 是两异面直线，A, B6a, C, D6b, AC±b, BD ±b且AB=2, CD=1,则直线a, b所成的角为（）A. 30 B. 60 C. 90 D. 45CD=(AC+CD +【解析】由于AB = AC+CD + DB,则ABDB) CD = CD2=1.7 T AB CD 17 TcosAB, CD> = = 2?AB, CD> = 60 . |AB| |CD|【答案】B3 . （2014长沙高二月考）已知正三棱柱 ABC

10、-DEF的侧棱长为2, 底面边长为1, M是BC的中点，若直线CF上有一点N,使MNXAE，则CN =CFCN【解析】设CF=m,由于AE = AB+BE,71 MN=2BC+mAD,又AE MN=0,1'' 17一1 1得/Xixix、 2 |+ 4m=0,解得 m=16，一 1【答案】古4.如图 3-1-24,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=1, AD =2, AA1=3, /BAD = 90 , / BAA= / DAA1 = 60 ,求 AC1 的长.图 3-1-24【解】,.AC1 = AB + AD + AA1,-1AC1|=AB+AD+AA1 2A f c c c f f f f f f=VAB2 + AD2 + AA12 + 2(AB