第11讲.全等三角形中的倍长类中线.学生版

1、板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形 的性质及判 士 7E会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题知识点睛）三角形中线的定义： 三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问

2、题（涉及中点的问题）见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式 ），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.,*骈p * 丁 卷重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后 证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。为了能熟练 的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几 个是条件，决定哪个结论，如何用数学

3、符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化.djr*TmW工* *山* q *4* *夺* *版块一、倍长中线i【例1】 已知： ABC中，AM是中线.求证： AM (AB AC).2【巩固】(2002年通化市中考题)在 ABC中，AB 5,AC 9,则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?【例2】如图， ABC中，ABAC , AD是中线.求证：DAC DAB.【例3】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F, AF EF , 求证：AC BE.例4 如图，在 ABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F

4、,交EF 于点G ,若BG CF ,求证：AD为 ABC的角平分线.例5 已知 ABC, /B=/C, D, E分别是 AB及AC延长线上的一点，且 BD=CE,连接DE交底BC于 G,求证 GD=GE.例6 已知 AM为 ABC的中线，AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交 AC于F .求证:BE CF EF .AM例7 在Rt ABC中， A 90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD .以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角 三角形？【巩固】如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN ,如果

5、BM 2 CN2 DM 2 DN 2,求证2122AD - AB AC .4例8 （2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：如图，梯形 ABCD中，AD II BC ,点E是CD的中点，BE的延长线与 AD的延长线相交于点 F .求证： BCE FDE .A DF【例9 （浙江省2008年初中毕业生学业考试（湖州市 激学t卷）如图，在 ABC中，D是BC边的中点，F , E分别是AD及其延长线上的点，CF II BE.求证： BDE CDF .【例10 （2008年四川省初中数学联赛复赛 初二组）在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足 DFE 90 .若

6、AD 3, BE 4,则线段DE的长度为.【例11如图所示，在 ABC和 ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且AB AB , AC AC , AD AD ,求证 ABC ABC .【例12如图所示， BAC DAE 90, M是BE的中点， AB AC , AD AE ,求证 AM CD .DBF交版块二、中位线的应用【例13】AD是 ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E .求证：AE3ac【巩固】已知在 ABC中，AD是中线，P是AD上的任意一点， CF / AB且交BP的延长线于点F2AC 于 F ,求证 PB PEgPF .【例14如图所示，在 ABC中，AB

7、 AC,延长AB至iJ D ,使BD AB , E为AB的中点，连接 CE、CD , 求证CD 2EC .【巩固】已知 ABC中，AB=AC, BD为AB的延长线，且 BD=AB, CE为 ABC的AB边上的中线.求证CD=2CEEB【例15 已知：ABCD是凸四边形，且 于N, AC和BD交于G点.AC/ GNM .1【例16在 ABC中， ACB 90 , AC BC ,以BC为底作等腰直角BCD, E是CD的中点，求证:2AE EB 且 AE BE .【例17 如图，在五边形 ABCDE中，ABC AED 90 , BAC EAD,F为CD的中点.求证：BF EF .【例18】（祖冲之杯

8、”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是 ABC内的一点，PAC PBC,过P作PM AC于M, PL BC于L, D为AB的中点，求证 DM DL .D【例19（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在 ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F, 使DE DF .过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为 M、 N .求证：（1） DEM 色 FDN ;（2） PAE PBF .CBDANMEEFP【例20 已知：在4ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM ,和CAN, P是边BC的中点.求 证：PM=PN（1991年泉州

9、市初二数学双基赛题 ）N【例21已知，如图四边形 ABCD中，AD BC , E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长 线分别交于 M、N两点. 求证： AME BNE .【巩固】（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：在 ABC中，BC AC ,动点D绕 ABC 的顶点A逆时针旋转，且 AD BC ,连结DC .过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线 AD、BC分别相交于点M、N .M如图1,当点D旋转到BC的延长线上时，点 N恰好与点F重合，取AC的中点H ,连结HE、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE （不需证明）. 当点D旋转

10、到图2或图3中的位置时，AMF与 BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.【例 22如图，AEXAB, BCXCD,且 AE=AB, BC=CD , F 为 DE 的中点，FM AC.证明：FM=- AC2,EH【巩固】（2004全国数学联赛试题）如图，梯形 ABCD中，AD/BC,分别以两腰 AB、CD为边向两边作正方 形ABGE和正方形DCHF .设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M .求证：点M为EF的中八、l服藜一家庭作业）【习题1】如图，在等腰 ABC中，AB AC, D是BC的中点，过 A作AE DE , AF DF ,且AE AF . 求证： EDB FDC .【习题2】如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC,延长BE交AC于 F, AF与EF相等吗？为什么？【习题3】如右下图，在 ABC中，若 B 2 C , AD BC , E为BC边的中点.求证： AB 2DE .D