第21课平面向量的基本概念与线性运算(提分宝典)

1、第21课 平面向量的基本概念与线性运算1.平面向量的基本概念及其理解（1）（2021汇编，5分）给出下列命题：向量是有向线段，因此可以用有向线段表示向量；单位向量都相等；若 |a| = 2, |b| = 1,则 a>b;若 a= b, b=c,贝U a= c;若向量AB=CD,则A, B, C, D四点能构成平行四边形；若 a / b, b / c,则 a / c;向量a = b的充要条件是|a|= |b|且a/b;与非零向量a共线的单位向量为 给；1a|若 后=0（入为实数），则入必为零；若 |a|= |b|,则 a= b 或 a= b;?向量AB与BA相等；?平行向量不一定是共线向量

2、.其中正确的是 .（只填序号）答案：解析：错误：向量可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段.正确说法：向量与有向线段是两个不同的概念，向量可以用有向线段表示错误：长度等于 1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1,但是方向不确定，所以单位向量不一定都相等.错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小.正确说法：若|a|=2, |b|=1,则|a|>|b| .正确：因为a=b,所以a, b的长度相等且方向相同.又b=c,所以b, c的长度相等 且方向相同.所以a, c的长度相等且方向相同，故2=二错误：若向量AB = CD,则|aB|=|cD|且AB/CD,所以直线ab

3、与cd平行或重合， 故A, B, C D四点不一定能构成平行四边形.正确说法：已知A, B, C, D是不共线的四点，若向量AB = CD,则a, B, C, D四点能构成平行四边形.错误：零向量与任一向量平行，故当a/b,b/c时，若b=0,则a,c不一定平行.错误：当|a|=|b|且a/ b时，若a, b方向相反，则a与b是相反向量，即a= b,得 不到a= b；当向量a=b时，a与b的模相等且方向相同，所以可以得到|a|= |b|且a/b.综上， 向量a= b是|a|= |b|且a / b的充分不必要条件.正确：向量点的方向与非零向量a的方向相同，向量号的模为言=七冏= =|a| = |

4、a| |a| |a| |a| |a|1;向量一言的方向与非零向量 a的方向相反，向量一六的模为一六=±|a| = 7-|a| =|a|a|a|a|a|1 11 .综上，向量嗡是与非零向量a共线的单位向量.错误：当a=0时，Za=0,所以若 油=0（入为实数），则入=0或a=0.错误：模相等的两个向量的方向是任意的.?错误：向量aB与向量懿为相反向量.?错误：平行向量与共线向量是同一概念，所以平行向量一定是共线向量2 .平面向量的线性运算a.平面向量的线性运算及其几何意义（2）（经典题，5分）设D为 ABC所在平面内一点，BC=3CD,则（）a.aD = - 1m+派b.aD = 1A

5、B-4yaC3333c.aD = 4AB+；aCd.Ad=4Ab-/aC3333答案：A解析：（法-） bc=3cd, .ad=ac+cd=ac+1bC=ac+1（acab）=凝+4ac. 3333故选A.(法二). BC=3CD,AC-AB= 3(AD-AC),aD = (aB + IaC.故选 A.33BC = AC-AB, CD = AD-AC,.一一.、一 一一一., . 37 37口 一卫(3)(经典题，5分)设M是4ABC所在平面内一点，且 MB + MA + 2MC= 0, D是AC的中点，则回的值为()廊|A.1B.1C.1D.232答案：Al，一告 3 3 3 f 3 f 3

6、 一7 3 7斛析：由 MB+qMA + 2MC=0,得 MB = -MAMC = -(MA+MC),BM = 2(MA +一MC). D 是 AC 的中点，MA+ Mc = 2Md.BM = |(IMA+ MC)=|x 2MD = 3MD. |bM|=3|mD|, |7|=1> a. |B M|b.根据平面向量的线性运算求参数的值或范围(4)(2018 徐州模拟，5 分)在直角梯形 ABCD 中，Z DAB =90°, Z B=30°, AB=2小，BC=2,点e在线段cd上，若A1=AD+ JAb则 科的取值范围是一一 1答案：0, 2AD = 1, CD = 7

7、3,解析：如图，由题意可求得 |Ab| = 2|Dc|，-aB=2idC. . AE=AD + DE,又由已知得 Ae=Ad+ Ab= AD + 2JDc，DE = 2jDc又点E在线段CD上，0<2< 1,11 .0<产即科的取值范围是0,万.c.根据向量的三角不等式解决有关向量的不等式问题(5)(2019浙江模拟，4分)已知a, b是两个非零向量，且|b|w 1, |2a+b|= 2,则|b|+|a + b|的最大值是()55A. 4BqC.3D.5答案：B解析：,a, b 是两个非零向量，且|b|W1, |2a+ b|= 2, 2= |2(a+b)b声 |2(a+ b)

8、|-|b|,当且仅当向量2(a+b)与b同向共线，且|23+丹|刁"时取等号.，忸+切只(2+2|卢|,，|33 55 .十 |a + b|w 1+2=2， . . |b|+|a+b|的取大值.故选 B.3.向量共线定理的应用a.利用向量共线定理求参数的值(6)(2021改编，5分)设向量a,b不平行，若向量ma + 2b与3a+nb平行，则mn =答案：6解析：,一向量a, b不平行，向量 ma+2b与3a+nb都是非零向量.向量ma+2b与3a+nb平行，存在唯一一个实数力 使得 ma+2b= N3a+nb),m= 31即 ma+ 2b=3?a+n2,，mn=6.2= n b.利

9、用向量共线定理证明两直线平行b.利用向量共线定理证明两直线平行(2019河北期末，5分)已知a, b是不共线的非零向量，AB=a+ 2b, EBC=3a-b, CD=2a3b,则四边形 ABCD >()A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形答案：C解析：因为 AD = AB+ Bc+CD = (a+2b) + (3a-b)+(2a-3b)= 2(3a-b) = 2BC,所以 AD、，二 I / BC且|AD|w|BC|,即四边形ABCD是梯形.故选C.c.利用向量共线定理证明三点共线(8)(经典题，12分)如图21 7所示，在 ABC中，D, F分别是BC, AC的中点，AE =2 一

10、7AD,3AB=a, AC=b.一 .一，一 f(I)用a, b表不向量AD, BE, BF;(n)求证：B, E, F三点共线.答案:(I)AD = 1a + 1b, BE= 2a + 1b, BF = a+ b 22332(n )见证明过程解:边形，(I)如图，延长 AD至ij G,使DG = AD,连接BG,CG,则四边形ABGC是平行四提分宝班全港府普臼一轮救秦聂饰用书：内部资料-请勿扑竹AG = >AB + AC=a+b.(2 分)rX 1 rt-x 1,、 11.AD = 2AG= 2(a+ b) = 2a+ 2b.2111- AE = 3AD = 3(a+b), AF=2A

11、C = 2b,入 厘 9121f 总 合11. BE = AE AB = 3(a+ b) a= 3a + 3b, BF = AF AB =-b- a= - a+-b.(6 分)(n )证明：由(I)知BE= ,a+<b= (2ab), BF = a+，b= 3(2ab),BE= |333223 一BF.(10 分)又BE, BF有公共点B,B, E, F三点共线.(12分)(9)(经典题，12分)已知O, A, B是不共线的三点，且 Op=mOA+n6B(m, nCR).(I)若m+n= 1,求证：A, P, B三点共线；(n )若A, P, B三点共线，求证：m+ n= 1.答案：(I

12、)见证明过程(n)见证明过程证明：(I)m+n=1, .OP=m(6A+(1 -m)OB= OB +m(OA-OB), . Op - Ob= m(DA-OB),即 Bp = mBA, . BP与BA共线.(4 分)又丁品与BA有公共点B, .-.A, P, B三点共线.(6分)(n)若a, p, b三点共线，则Bp / Ba,存在唯一一个实数、使得品=入1a.O P-O B= XO A-O B).一 又 OP=mOA+nOB,OP OB = mOA+ (n- 1)OB, mOA + (n 1)OB =入 OA 入 OB. .(m-OA+(n+ 入-1)OB = 0.(10 分). O, A,

13、B是不共线的三点，. OA, OB不共线，m入=0, m+n= 1.(12 分)n+ 卜 1 = 0,4.与零向量有关的常见易错点(10)(2021汇编，5分)下列命题正确的是(填序号)在 ABC 中，>AB+Bc+cA=0;向量a, b共线的充要条件是有且仅有一个实数N使得b=而,若非零向量a与b的方向相同或相反，则 a+b与a, b其中之一的方向相同；若向量a, b不共线，则向量a+b与向量a b必不共线；不等式|a|- |b|< |a+ b|< |a|+ |b|中两个等号不可能同时成立；若a 扣a ,c贝U b= c.答案：解析：错误：忽视了 0与0的区别.正确说法：在

14、 ABC中，>AB+E3C+CA=0.错误：在向量共线的充要条件中要注意“aW0” .若a, b共线，当a=0, b=0时，有无数个 力使得b=后；当a=0, bw0时，不存在 力使得b=后；若aw0,有且仅有一个 实数 N使得b=后，则向量a, b共线.正确说法：向量a（aw0）与b共线，当且仅当有唯一 一个实数入，使得b=治.错误：当a+b=0时，其方向任意，此时 a+b与a, b的方向都不相同.正确：;向量 a与b不共线，：向量a, b, a+ b与a b都是非零向量.若a + b与ab平行，则存在唯一一个实数入，使得a+b= Xa b）,即（入一1）a=（1+帅，故入 1一0,1

15、+ 七 0,此时入无解，故假设不成立， a+b与a b不共线.错误：当 b=0 时，|a|一|b|= |a|, |a+b|= |a|, |a|+|b|= |a|,此时 |a|b| = |a+b| = |a| 十|b|.错误：当a=0时，满足a b= a c, b, c可以是任意向量，不一定相等；当 a±（b- c） 时，a b c）=0,满足a 寻ac,此时bw c也满足.随堂普查练211.（经典题，5分）设a。为单位向量，若 a为平面内的某个向量，则a=|a|a。；若a与a。平行，则a= |a|a。；若a与a。平行，且|a|= 1,则a= a。.上述命题中，假命题的个数是（）A.0

16、B.1C.2D.3答案：D解析：错误：向量是既有大小又有方向的量，向量a与|a|a0的模相同，都为|a|,但方向不一定相同.错误：若a与a0平行，当a=0时，|a|a）=0,此时a= |a|a0；当aw0时，则a与a0的 方向有两种情况：一是同向，此时a=|a|a°,二是反向，此时 a=- |a|a0.错误：若a与a0平行，且|a|=1,则a与a0的方向有两种情况：一是同向，此时a =a0,二是反向，此时a= a0.故选D.2.（2021改编，5分）给出下列命题：两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；若|a|w|b|,则a与b不是共线向量；% 为实数，若 后=由，则向量a与b共线

17、；已知点 O, A, B不在同一条直线上，点 P为该平面上一点，且 25P = 2OA+BA,则 点P在线段AB的反向延长线上.其中正确的是 .（只填序号）解析：错误：因为长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，且向量可以平移，平移 后的向量与原向量是相等向量，所以相等向量与它们的起点和终点的位置无关；命 提分宝典华港点普咨一轮救秦颖怎用书> 内部资料-请切外情错误：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量与它们的模的大小没有关系;A,错误：当 入=。时，后=由=0,但此时向量a与b不一定共线；正确：由 2cOP = 20）A+BA,得 2济一2cOA=BA,即 2Ap= ba,又a

18、p, BA有公共点.A, B, P三点共线，且点 P在线段AB的反向延长线上.3.（2018全国I, 5分）在 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=（）a.4AB 4ACB.4AB 4AC3 71 7c.4AB+4ac1 . 3 7D.4AB+4AC答案：A解析：因为AD为BC边上的中线,所以 AD=2（AB+AC）.又因为E为AD的中点，所以 Al=2AD = 1（AB + AC）.所以 EB=AB Al=AB ；(Ab+AC)=4ab1AC.故选 a. 一一一 f一 一一f 。-4.(经典题，5 分)在 4ABC 中，点 M, N 满足 A M = 2M C, B N=

19、N C.若 M N = xA B+yA C,则,1答案：2解析：如图，连接AN. BN=INC,即点N是BC的中点,.力. 三 7.1 7MN = AN-AM = 2(AB+AC)-AM. J_ _2->_11 一 7->2>_ 1 - 1又 AM = 2MC,，AM=3AC, MN =2(AB + AC) AM=(AB+AC)-AC = 2AB 6AC,11x=2 y=65.（2018四川模拟，5分）设M为平行四边形 ABCD对角线的交点，O为平行四边形 ABCD命 提分宝典-华府点普咨一轮救秦 教师用书内部资料-请勿外情K提分宝建华港点普普一轮救秦转册用书内部溃料-请勿外

20、情所在平面内异于 M的任意一点，则OA+(DB+(5c +(5b=() 尸_ 尸A.O MB.2O MC.3O Mb.4O M答案：D解析：(法一).“是平行四边形 ABCD对角线AC, BD的交点，(OA+OC = 2(5m , OB + Ob = 2oMi.1. OA+Ob + Oc+ Od=4(5m,故选 d.一 一 > - (法)OA+ OB+OC + OD= OM+ MA+OM + MB + OM + MC + OM + MD =4OM + (MA + MC) + (MB + MD). M 是平行四边形 ABCD 对角线 AC, BD 的交点，z. PMA+ MC=0, MB

21、+ Mb = 0,GA|(5b-Oc| =+ OB + 0C+ (5b = 4OM,故选 D.6.(2018杭州模拟，4分)若点O是4ABC所在平面内的一点，且满足|(5b + Oc-2(5a|,则 ABC 的形状为|Ob-Oc|答案：直角三角形解析：. OB + OC 2OA=(OB OA) + (OCOA)=aB+AC, OB OC=CB,又=|Ob+(5c-2(5a|, |Ab+AC|= |cb|.设 bc 的中点为 d,则AB+AC=2Ab, 2|ad|=|cb|,即 ABC的 边BC上的中线等于 BC的一半， ABC是以/ BAC为直角的直角三角形.7.(2018宿州模拟，5分)若向

22、量a, b满足|a| = 4, |b| = 6,则|a+b|的最小值是 , |ab|的最大值是.答案：2 10解析：(法一)当向量a, b不共线时，设0A=a, (5B=b,以OA, OB为邻边作平行四边形 OADB,则 OD=a+b.在 OAD 中，|亦|_|启|<|0b|<|0A|十|aD|,即 |a|b|<|a+b| <|a|十|b|,，2<|a+b|<10.当向量a, b方向相同时，|a+b|= 10;当向量a, b方向相反时，|a+b| =2.综上可知，|a+b|的最小值是 2.当向量a, b不共线时，则BA = ab.二在 OAB中，|oA|而|

23、bA|<|oA|+惋|，即 |a|一1b|<|ab|<|a|+1b|, ：2<|a b|<10;当向量 a, b 方向相同时，|ab| = 2；当向量a, b方向相反时，|ab|= 10.综上可知，|ab|的最大值是10.（法二）根据向量的三角不等式，可得|a|b|<|a±|a|十|b|, .2<|a±|&10,当且仅当向量a, b方向相反时，|a+b|取得最小值2, |a 一b|取得最大值10.8.（2019浙江杭州校级模拟，4分）已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，AC=e1ke2,CB = 2ei e2（5D =

24、3ei-2e2,若A, B, D三点共线，则k的值为（）A.2答案：AB. -3C.-2D.3斛析：AC=e1 ke2, CB = 2e1一 e2, CD= 3e1 一 2e2, . AB= AC+CB = (e1一 ke2)+(2e17 ，一 e2)= 3e1一(k+1)e2, BD= CD CB= (3e1 2e2) (2e1 e2)= e1 一e2.A, B, D 二点共线,AB与BD共线，存在唯一的实数' 使得3ei-（k+1）e2= ?（ei-e2）,解得 43, k=2.故选A.13 9.(2018 绵阳诊断，5 分)在 ABC 中，AN = AC, P 是 BN 上一点，

25、若 AP=mAB + gAC,则实数m的值为,1答案：4解析：（法一）:B, P, N三点共线，BP/尿，存在实数 N 使得韬=入节附Q0）,AP->->>-A B= ?(A N-A P),AP = 7-AB + 7；aN . ., aN = 1AC , AP= mAB+ |;AC , . AP = mAB + 3京,1十人 1十人284入 31+4'解得入=3,m=7.4（法二）扁=；品，AP=mAB+3AC, 283l 3.AP = mAB+4AN31.B P' N 二点共线，. m+4=1，.m=4.10.（2019四川成都模拟，5分）已知G为 ABC的

26、重心，过点G的直线与边AB, AC分别相交于点P, Q.若AP=|AB,则 ABC与4APQ的面积之比为答案:20"9"解析:设AQ=xAC, pg,q三点共线，.可设 尾=人左中（1 ?）AQ, .危=争百十(1 刀xAC.G为 ABC的重心，.二一 1 一 。AG = -(AB + AC), 31 -1 ->3-3AB+3AC=-|AB+(1-»xAC,1_321（1入）3I解得3 x= “1 a -|AB|AC|sinZ BAC _Sb ABC 21 I 20S APQ 19 .习AP|RQ|sin/ BAC11.（2018保定模拟，12分）如图21

27、9所示，在 OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近点 B的三等分点，设AB=a, AO=b.（1）用向量a与b表示向量OC图 21 -9CD;->3 ->， (2)若OE=£OA,判断 C, D,|E三点是否共线，并说明理由答案：(1)OC = a b, CD =%+ 3b （2）C, D, E三点不共线.理由见解答过程解：二点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点，.-.AC =1一 AB, CB = 2AB, BD = _bO.(2 分)AB= a, AO= b ) . . OC = OA+ AC = 一 AO - AB= 一 a

28、 b,3提分宅施全港点普杳一轮救秦基址用书 内部强料-请勿外情>>->->1 ->->1 ->->5 ->1 ->51 八CD = CB+ BD = 2AB+ -B0=2AB+ 式BA+AO) = wAB+wAO = a + wb.(6 分) OOO o o o(2)C, D, E三点不共线.(7分) 61 = 16a,5CE= CO + 0E= CO + |oA = OC 1a0 = a+ b b= a + 1b.(9 分)OOvjJ>61由(1)知 CD=ga + (b, o J 不存在实数卜使得5i=入石D .C, D,

29、E三点不共线.（12分）提分宝典-全港点普杳一轮教案-教忧用书内部帝料-请勿外传课后提分练1. （2018泰州模拟，5分）如图的等边三角形，设 ABC的边长为a,图中列出了长度均为 的若干个向量，则3图 21121平面向量的基本概念与线性运算A组（巩固提升）121-1, ABC和 ABC是在各边的3处相父的两个全等提分宝典华考点普奇一轮救秦教师用书内部资料-请勿外情（1）与向量GH相等的向量有（2）与向量EA共线，且模相等的向量有答案：(1)lB', HC (2)Ef, fb, ha； HK, KB'解析：根据已知条件，易得 BC/BC', AB/A'B'

30、;, AC/ AC .（1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.与向量品相等的向量有百；HC; （2）与向量eA共线，且模相等的向量有Ef , FB, HA ；hk, kb'2. （2018北京西城区二模, 向量g+b与c共线，则实数5分）已知a, b入=（c在正方形网格中的位置如图 212所示.若C. 1A . -2答案：D解析：根据图形可看出B.D. 23.（经典题,5分）设a,2a+b=c,即2a+b与c共线，所以b都是非零向量，下列四个条件中，使42.故选D.缶=已成立的充分条件是 间|b|()C. a=2b D. a/ b 且 |a|=|b|A . a= b 答案：C同 |

31、b|：a=%b,使；a；=；b成立的充要条件是向量a与b共线且同向，即|b|a| |b|存在唯个实数 人 使得a=不且40.故选C.4.（经典题，5分）设a, b是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A .若 |a+b|= |a|b|,则 a±bB.若 a±b,则 |a+b|=|a| |b|C.若|a+ b|=|a|b|,则存在实数 力使得a=.D.若存在实数 入,使得a=必则|a+b|= |a| |b|答案：C解析：当非零向量a, b不共线时，可得|a+b|>|a|b|；当非零向量a, b共线时，若同 向，则|a+b|>|a|b|,若反向，则|a+b|= |a

32、|一|b|,所以|a+b|= |a|b|成立的充要条件是 非零向量a与b方向相反且|a|>|b|.所以若|a+b| = |a|b|,则存在实数 头E1）,使得a= b 故选C.5. （2021改编，5分）若非零向量a, b满足|ab|=|b|,则（）A. 12b|>|a-2b|B.|2b|<|a- 2b|C.|2a|>|a-2b|D.12a|<|a 2b|答案：A解析：当a b与b共线且反向时，二. |a b|= |b|, : ab= b, ： a= 0.又: a是非零 向量，ab与 b 不可能共线且反向.，|a 2b|=| （a b） b|<|ab|十|b

33、| = 2|b|= |2b|.故选 A.6. （2018吉林长春模拟，5分）在 ABC中，D为三角形所在平面内一点，且 aD=：AB +3则”=（Sa ABDa.6b.3答案:解析：设直线AD与BC交于点E, AE=xAD., AD = 1AB+1yAC, . . AE=xAB + xAC. 3232 E, B, C 三点共线，3+2=1,解得 x=6， . AE=6AD. 55,. AS + DE = AI,Ad + 5I = 6ad,Ad = 55E.5U 2AE = "AB +53 fBE = 2EC.2 之 3 7t-5（ae-ab）= 5（ac-ae）,55设 Sa dec

34、 = 2k,则 Sa dbe = 3k.Ad = 5De,SaABD=5X3k= 15k,$ BCD SaDBE + SaDEC 3k+ 2k 1Sa ABDSa ABD15k3故选B.7. （2018淮南二模，5分）在4ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD,点O在线段CD上（与点C, D不重合），若AO=xAB+（1 x）AC,则x的取值范围是（）A. 0, 1B. 0, 1C. -1, 0 D. -1, 02323答案：D解析：二.点O在线段CD上（与点C, D不重合），可设 CO= yCD（0<y<i）.又. BC=3CD,二 y 一一 ，金 工 y 一 一 y

35、 一 f y 一 . y 一 CO = 3BC(0<y<1), . . AO= AC+ CO = AC+BC = AC+ 3(AC AB) = ，AB+ (1 +3)AC.x=-yx 3,又. AO=xAB +(1x)AC, .解得 x= y.1 -x= 1+3,1Vx<0 ,即x的取值范围是 一1,0 .故选D.338. (2019黑龙江哈尔滨哈师大附中月考， 5分)在4ABC中，D为BC的中点，。为AD 的中点，过。作一直线分别交 AB, AC于点M, N,若AM=xAB, AN = yAC(xyw0),则f+1 =()1A. 3B. 2C. 4D-4答案：C解析：因为在

36、 ABC中，D为BC的中点，。为AD的中点，AM = xAB, AN = yAC,所以 MO=AOAM=2ADxAB =2X2(>AB+AC)-xAB = 4-x AB + 1AC,一 f 三 1 一 工 1 一 1 一ON = AN AO=yAC4(AB + AC) = AB+ y-4 AC.因为 MO/ON,所以 1-x y-1 + 1= 0, 47 416即 1(x+y) xy=0,整理得 1+y=4.故选 C.9. （2018河南郑州一模，5分）如图21 3所示，在 ABC中，N为线段AC上靠近点A 的三等分点，点 P在线段BN上，且AP= m + A aB+bC,则实数m的值为

37、（）195A . 1B.3C.玉D王答案：D.l rii2 -2 y2-2 。72 y解析：AP= m+莉 AB + RBC= m+6 AB+r(AC AB)=mAB +行AC.、一-L. 一. 。.设 BP =入 BNN0W 内 1),贝(J AP = AB + BP = AB+ 入 BN= AB+ ?(AN AB) = (1 2)AB +入 AN因为 An=3ac,所以 AP=(1 ?)AB+3 入 AC6m=1一 %上而则21 解得故选D.13"m=21110. （2019北京大兴区期末，5分）已知A, B, C是不共线的三个定点，由满足 AM = X AB+ AC（1W其2）

38、的所有点M组成的图形是（）A.三角形B.线段C.圆D.平行四边形答案：B解析：由 AM= XAB- AC（1W 内 2）,得 aM AC= XAB 所以 CM=入AB 即 CM / AB 且 |CM|=加的.如图，可知点 M在线段DE上运动（其中CD = AB, CE=2AB）.故选B.尸«4«口DME提分宝施华考点普沓一轮救秦串教师用书,内部资料-请勿外情11. （2018郴州模拟，5分）已知点O为4ABC外接圆的圆心，且 亦+的+ &） = 0,则 ABC的内角A等于（A . 30答案：A)B. 45C. 60D. 90解析：由。A + 0b +反）=0,得=

39、如图，设ab的中点为d,则6X+丽=2。£）,.OC=2OD, DC = OD, .-.DC=OD,：四边形 AOBC 为平行四边形. : O 为 ABC 外接圆的圆心，|6X|= |6i| = |6&|，二四边形aobc为菱形|亦| = |公| = |/卜丁. / cao =60 , CAB= 30° 故选 A.12. （2018贵港模拟，12分）设e1，及是两个不共线的向量.（1）如果m = 2e + 3e2, BC=6ei + 23e2, CD=4ei-8e2,求证：A, B, D 三点共线；（2）已知m = 2e+ke2, CB = ei+3e2, CD =

40、 2ei-e2,若 A, B, D 三点共线，求 k 的值.答案：（1）见证明过程（2）k=- 8解：（1）证明： ei, 但是两个不共线的向量，AB, BC,沅）都是非零向量.（2分） Ai = 2ei+ 3e2, BC=6ei+23e2, CD = 4ei-8e2,BD = BC+ CD= 10ei + 15e2 = 5（2ei+ 3e2）,BD = 5AB.-. b!）与苑共线.（5 分）又迸）与危有公共点B,A, B, D三点共线.（6分）（2） ei, &是两个不共线的向量,AB, CB, 5b都是非零向量.（8分）. A, B, D三点共线，能与靛）共线，存在唯个实数 %

41、使得丽=入"&D.,届= 2e+ ke2, CB=ei+3e2,CD = 2ei-e2, /. BD提分宝典+全港点普普一轮教案-我腼用书内部资料-请加外传=CDCB=ei 4e2,，2ei + ke2= ?(ei 4e2),即(24ei+(k+ 4?)e2=0, (10 分)2-甘 0,解得 k=8.(12 分)k+4 上 0,B组（冲刺满分）13.（2018河北一模，5分）在RtABC中，/A=90°,点D是边BC上的动点，且|加| =3, |aC|=4, aD=入AB- wKcQ0,2。），则当入取得最大值时， 府|的值为（）75A.2B. 3eq答案：C解析

42、：.AD= XAB-科工C且D, B, C共线,12正尸1.: 40,90, 入庭2 =4,当且仅当入=尸2时取等号，此时aD=2aB + 2aC,即D是边BC的中点. |品|=3, |aC|=4, / bac=90 ,|aD| = 2|bC|=1aJ|aB2T|aC|2=5.故选 e.14. （2018河北武邑中学周考，5分）在 ABC中,a, b, c分别为角 A, B, C对应的三角形的边长，若 4aBC+2bCA+3cAB = 0,贝U cos B=()1124c 11B.24C.36D.2936答案：A解析:4aBC+2bCA+3cAB=0, 4aBC + 2bCA+ 3c(CB-CA)=0,即(4a- 3c) BC+ (2b-3c)CA=0.BC, CA不共线,4a-3c= 0,2b-3c= 0,解得3 a=4c，b=|c._ a2 + c2b2cosB =2acA+c2 3 22c 2c 32* c11 , 一彳.故选a.15. （2019湖北模拟改编，5分）如图214所示，点D为 ABC的边BC上一点，BD =寿褥公宝典全考点普沓一轮救秦颖彩用书,内部新料*请枷与厝2DC, En(nC N*)为 AC 上一列点，且满足 Bt