正方形—培优拔高(奥数)专题讲义

1、正方形一培优拔高（奥数）专题讲义阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的 平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题.正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形, 熟悉以下基本图形.例题与求解例1如图，在正方形纸片 ABCD中，对角线 AC , BD交于点O ,折叠 正方形纸片 ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开 后，折痕DE分别交AB , AC于点E , G .下列结论： ZAGD =112

2、,50 ；AD=2;S幽GD =S#GD ;四边形AEFG是麦形；BE=2OG.AE其中，正确结论的序号是 .解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法.（重庆市中考试题）【例2】如图1,操作：把正方形 CGEF的对角线CE放在正方形 ABCD的边BC的延长线上（CG >BC）,取线段AE的中点M .连MD , MF .（1）探究线段MD , MF的关系，并加以证明.（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角后（如图 2）,其他条件不变.探究线段MD , MF的关系，并加以证明.（大连市中考题改编）解题思路：由M为AE中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等.【例3】如图，正

3、方形 ABCD中，E, F是AB, BC边上两点，且EF = AE + FC , DG _L EFDG = DA.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造AE +FC的线段是解本例的关键.例4GH的交点, 结论.如图, 若矩形正方形 ABCD被两条与边平行的线段 EF、GH分割成四个小矩形， P是EF与PFCH的面积恰是矩形 AGPE面积的2倍，试确定ZHAF的大小，并证明你的（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测ZHAF的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的 关系.【例5如图，在正方形 ABCD中，E , F分别是边BC ,AE,AF分别与对角线 BD交于点M,N .求证：（1）

4、/EAF =450 ；(2)222MN = BM DN（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1）,可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2）,很容易联想到直角三角形三边关系.（黑龙江省中考试题）DN -BM是解题的关键.图1【例6】已知：正方形ABCD中，NMAN =450, /MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB , DC （或它们的延长线）于点 M , N .当/MAN绕点A旋转到BM =DN时（如图1）,易证BM +DN = MN .（1）当/MAN绕点A旋转到BM D DN时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的数量 关系？写出猜想，并加以证明；（2）当/

5、MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM ,DN和MN之间又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想.解题思路：对于（2）,构造能力训练A级1 .如图，若四边形ABCD是正方形，&CDE是等边三角形，则/EAB的度数为.（北京市竞赛试题）2 .四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出以下题设条件： AB=BC =CD =DA; AO = BO =CO = DO,AC .L BD ； AO =CO,BO = DO, AC _L BD ； AB =BC,CD =DA .第5题图第6题图其中，能判定它是正方形的题设条件是（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3.如图，边

6、长为1的两个正方形互相重合,按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转300 ,则这两个正方形重叠部分的面积是（青岛市中考试题）第3题图第4题图4.如图,P是正方形ABCD内一点，将 . . 一ABP绕点B顺时针方向旋转至能与 ACBP重合，若PB =3,则PP =（河南省中考试题）n个正12A . -cmc n 2B. cmC.n -12cm1、n 2D. () cm45.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A,A2,An分别是正方形的中心，则方形重叠形成的重叠部分的面积和为（晋江市中考试题）6.如图，以RtABCA的斜边BC为一边在ABCA的同侧作正方形 BCEF ,设正方形的中心

7、为 O,连接AO ,如果AB =4,AO =6j2 ,则AC的长为（）A.12B. 8C4. 3（浙江省竞赛试题）7.如图，正方形ABCD 中，CE=MN,/MCE =350,那么 ZANM 是(A .450B. 550C. 650D. 7508.如图，正方形ABCD的面积为256,占八、F在AD上，点E在AB的延长线上,RtACEF的面积为200,则BE的值是（A. 15)B. 12C. 11D. 10第7题图第8题图9.如图，在正方形ABCD 中,E是AD边的中点,BD 与 CE 交于AF .L BE .F点，求证:10.如图，在正方形ABCD 中,E是AB边的中点,1F是AD上的一点，且

8、 AF= AD4求证：CE平分/BCF.BC11 .如图，已知P是正方形 ABCD对角线BD上一点，PE _L DC,PF _L BC, E, F分别是垂足.求证：AP = EF.(扬州市中考试题)12 .(1)如图1,已知正方形 ABCD和正方形CGEF (CG >BC) , B,C,G在同一条直线上， M为线段AE的中点.探究：线段 MD,MF的关系.(2)如图2,若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转450,使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上， M为AE的中点.试问: 明；若不成立，请说明理由.(1)中探究的结论是否成立？若成立，请证(大连市中考试题)1.

9、如图，在四边形 ABCD中，AD =DC/ADC =ABC =90°, DE _L AB于E ,若四边形ABCD的面积为8,则DE的长为2.如图，M是边长为1的正方形2_ 210ABCD 内一点，若 MA2 MB2 = ,NCMD =90°,则/MCD 2第1题图第2题图（北京市竞赛试题）第3题图3 .如图,在RtAABC中,= 900,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF ,正方形的中心为O ,且OC =4工2 ,则BC的长为（“希望杯”邀请赛试题）4 .如图：边长一定的正方形ABCD, Q是CD上一动点,AQ交BD于M，过M作MN _L AQ交BC于N点，作

10、NP .L BD于点P ,连接NQ ,下列结论： 1 ”AM = MN ; MP= BD ；2_-AB BN BN +DQ =NQ ；AB BN为定值,其中一定成立的是A .BMB.C.D.5.如图,A . 3ABCD是正方形，BF/AC , AEFC是菱形，则/ ACF与/ F度数的比值是（B. 4C. 5D.不是整数第4题图第5题图第6题图第7题图6 .一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是（A .58C. 8D. 65E.5 3（美国高中考试题）7 .如图，正方形 ABCD中，AB=8, Q是CD的中点，设/DAQ =a

11、,在CD上取一点P,使ZBAP = 2一，则CP的长度等于（）A .1B. 2C. 3D. V3（“希望杯”邀请赛试题）8 .已知正方形ABCD中，M是AB中点，E是AB延长线上一点，MN _L DM且交/ CBE平分 线于N （如图19 1）求证：MD =MN ;10 ）若将上述条件中的“ M是AB中点”改为“ M是AB上任意一点”其余条件不变（如图2）,（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2,点M是AB的延长线上（除 B点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）9 .已知 0 <a <1,0 <b <1,求证:Ja2 +b2 + J(1-a)2 +b2 + ,a2 +(1-b)2 +,(1 a)2(1 b)2 >2行.10 .如果，点M ,N分别在正方形 ABCD的边BC,CD上，已知AMCN的周长等于正方形 ABCD周（“祖冲之杯”邀请赛试题）长的一半，求 /MAN的度数.AB11 .如图，两张