比较法在数学教学中的应用

1、比较法在数学教学中的应用驻马店高中梁秀红一数学教学中比较的作用比较是在思维中确定所研究对象的相同点和不同点.“有比较才有鉴 别”.比较是数学教学的必要手段，是学生理解和掌握知识的重要方法， 教学实践表明，要使学生经过抽象概括得到理性的认识，首先要通过比较. 不与已有知识比较的新知识的学习是很困难的，有时甚至是不可能的.教 学中在给学生提供感性材料的同时.借助学生已有的经验，适当的运用比 较，有利于引导他们逐步分辨事物的本质特征和非本质特征.正如前苏联 著名教育家乌申斯基所说的那样：“比较是一切理解和思维的基础.我们正 是通过比较来了解世界上的一切的.如果我们面前出现某种新东西，而我 们既不能拿

2、他去与其他什么东西比较，又不能把他同什么东西区别开 来，那么，我们就不能对它形成一种思想，也不能对他说出一句话 来”数学教学中恰当的应用比较，不但能突出事物的本质，明确概念的内 涵和外延，而且可以简化某些问题的教学.例如，在学习有理指数哥的运 算性质时，和整数指数哥的运算性质进行比较，学生就能很快的掌握有理 指数哥的运算性质.思维的基本形式是：概念、判断和推理，其中判断和推理都以概念为 基本要素.判断是在比较两个或两个以上概念的特征之后，对思维对象有 所肯定或否定的思维形式；推理以演绎推理和归纳推理为主要形式，其中 归纳推理以比较某些事物特征为前提，演绎推理则需要在比较一般原理与具体事物的性质

3、的基础上进行. 因此，可以说，数学教学中教给学生比较的方法， 不仅有利于学生理解和掌握数学概念，而且是学生进行判断和推理的重要的思想方法，它有助于学生提高认识事物和解决问题的能力.二 数学教学中的比较形式数学教学中经常采用的比较，按应用的目的来分，大致有四种形式：1 相对概念的比较在数学概念的体系中，存在一些带“可逆性”的概念，如加与减，乘与除， 正与负， 等于不等，对数与指数，函数与反函数等等，我们把这样的概念成为相对概念. 相对概念的比较就是将相对的概念成对的出现在学生面前，使学生用统一的观点来认识他们的相同点和不同点.在实际教学中，让学生先学习相对概念之一，再以此为基础学习后一概念， 这

4、时先前概念的学习为后一概念的学习准备了认知条件，具有同化新知识（后一概念）的认知结构，因此，相对概念的比较学习有利于学生较快地掌握新知识，形成良好的认知结构.相对概念的比较学习还有利于学生逆向思维能力的发展. 可逆思维能力是儿童智力发展中起重要作用的一种思维能力，皮亚杰在 发生认识论中明确提出可逆性是儿童认识由前运算阶段向具体运算阶段过渡的主要指标之一 . 我们知道，加法的进行是单向的，与加法相应的减法运算本身也是单项的，将加法与减发联系起来，比较着进行，就揭示了它们之间的互逆关系，给学生认识可逆性提供了机会，有助于他们可逆性思维能力的发展 .2 . 同类事物的比较所谓同类事物，是指这类对象具

5、有相同的数学结构或某种数学关系. 数学教学中的这类比较主要用于形成概念或认识某类事物的规律.同类事 物的比较能使学生从感性材料出发认识事物的数学特征，从而能够较容易 地理解抽象的数学理论，达到教学寻根探源的目的，培养学生从实际问题 中抽象出数学关系的能力.例如，在引入等差数列的概念时，可以让学生观察比较几个给定的数 列，并从中找出具有相同性质的那些数列，然后发现这些数列的共同特点 和构造方法：1) 2, 4, 6, 8, 10,2) -3, -5, -7, -9, -11 , -13, -15,3) 1, -2, 5, -8, 11,4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,5) 2, 5

6、, 8, 11, 14, 17,比较的结果发现，1), 2), 4), 5)具有相同的性质：an+1-an=a-an-1, 或an+1-a n=d (其中d是与n无关的常数，对于不同的数列d的值可能不 同).通过这样的比较学生就可以从具体的例子中发现并理解等差数列的an 1 an -1概念、通项公式an=a-1+d=a+(n-1)d及an =2,这自然得于比较的过程中.3 .易混淆概念的比较在数学概念体系中，由于某些概念具有某种相似性或者有些概念有几 种不同的表示方法，以使学生在学习中容易发生错误，产生概念之间的混 淆，或把不同的概念认为是一致的，或看不出不同形式下概念实质上的一 致性.如有理

7、数四则运算中，“加减的运算符号与数的性质符号”，它们形 式相同，但性质不同.学习中学生有时把负号看成减号，或把减号看成负 号，又如，“等腰三角形底边上的高线与中线”，是两个概念，但它们的实 质是一致的.像这种容易混淆的概念我们称之为易混概念.易混概念的比 较就是将易混概念同时展现在学生面前，异中求同，同中求异，以使学生 认清它们的区别与联系.易混概念之间比较的目的在于帮助学生分清概念的有关特征和无关 特征，加深对概念的理解；在各种场合下针对概念的各种变式，抓住本质 特征，有区别有联系的认识具有某种相似性的概念.例如函数的极大值和最大值就是两个易混概念.最大值是函数在整个 定义域内取得的最大函数

8、值，而极大值则是函数在局部区间上的性质.如 图1, A点是最大值但不是极大值，B点是极大值但不是最大值.但有时函 数的某个极大值就是函数的最大值，如图2, A点既是函数的极大值又是 函数的最大值.这时，借助于直观图形的比较，突出最大值的“整体性” 以及极大值的“局部性”，就能使学生明确极大值和最大值的概念.数学中的易混概念是很多的，教学中应抓住时机，进行适当的比较, 加以区分.4 . 新旧知识的比较新旧知识是就教学中知识出现的先后顺序而言的，旧知识是指学生已 经学过的知识，新知识是指学生即将学习或正在学习的知识.数学教学中 常常将新旧知识联系在一起，结合着旧知识学习新知识，并确定新旧知识这就是

9、新旧知识的比较，它可以是易混概念的比较，也可以是数学思想方法及数学规律的比较. 例如，学习列方程解应用题. 这时小学学习的算术解法对目前的学习来说是旧知识，教学中发现，有的学生虽然学习了代数解法，但仍然习惯于用小学学习的算术解法求解，即使设了未知数x,也往往把列方程写作“x=，等式右边是一个算术运算式，原因在于学生的思维方式还停留在过去的算术水平，不会运用代数方法进行思考，原来的算术方法抑制了代数方法的接受. 如果将代数方法与算术方法放到一起进行比较，使学生在比较中认识到代数解法中的未知数x与已知数的同等地位，以及代数方程所反映问题的直接性. 这样，便突出了代数解法的特点，消除了算数式子概念对

10、理解代数方程概念的障碍. 教学实践证明，这种做法收效良好，可以帮助学生顺利实现由算术向代数的过渡 .实践证明，新旧知识的比较对于学生消除旧知识的负迁移，顺利完成新知识的学习，对于学生巩固旧知识，突出新知识的特点，使新旧知识在头脑中清晰地联系起来起着积极的作用. 不仅如此，新旧知识的比较还可以促进知识和方法的正迁移. 例如，结合着分数的特性学习分式的性质，就能把分数的学习迁移到分式的学习中去，使分式的学习变得容易.三数学教学中比较的应用前面说过，比较就是在思维中确定所研究对象的相同点和不同点. 那么是先确定事物的相同点，再确定事物的不同点呢？还是先确定事物的不同点，再确定事物的相同点？关于这个问

11、题曾有不同的观点. 前苏联心理学家沙尔达科夫指出，低年级学生在比较中确定对象的差异较容易，而确定对象的相似点、相同点较难，所以他认为在低年级教学中，比较最好从寻找差异开始，然后过渡到确定相似之处，使比较完善起来. 可是，后来有人进一步研究发现，低年级学生在比较客体时，认识客体异同特征的难易，是随着许多比较的条件而变化的. 在一些比较条件下，学生寻找客体间的差别较容易；在另一些比较条件下，找出客体间的相似之处较容易.我们认为，如果教学是要找出客体间的共同的本质特征，如同类事物间的比较， 则需从比较相同点入手，循序渐进的进行比较，最终达到认识共同特征的目的. 如果教学是要寻找事物的区别，如易混概念

12、的比较，一般从比较差异入手. 至于相对概念的比较和新旧知识的比较，应“因地制宜”，从学生容易发现的特点开始，比较差异与联系交错的进行，形成全面而完整的比较 .数学教学中应用比较时，还应注意以下几点：（ 1） 比较要有确定的标准与参照点事物的性质是多样的，采用不同的标准，比较的结果是不一样的. 无论是比较相同点还是不同点，都应根据有关概念与法则所提供的本质标志，确定相应的标准与参照点. 如果不提供比较的标准与参照点，学生就难以取得与前人相一致的认识，更谈不上达到教学中运用比较的目的. 其次， 学生所具有的感性知识经验是有限的，事物的本质特征又常常是隐蔽的， 因而在比较的过程中学生往往容易忽略事物

13、所具有的一些特征，所以需要同有关的定义相对照，使比较过程顺利地进行.（ 2） 比较要有明确的目的数学教学中运用比较法是为了帮助学生认识事物的有关本质特征与非本质特征，是为一定的教学目的服务的. 因此，要有计划有目的地采取措施， 引导学生去进行比较. 也就是说比较要紧紧地围绕着教学目的进行，而不是为比较而比较. 例如 , 为形成等差数列的概念所采用的比较，目的很明确， 就是要通过具体数列的比较发现一般的共同特点，教学中应紧紧围绕着这个目的而展开比较. 又如代数解法与算术解法的比较，目的在于发现它们之间的区别和联系，突出代数解法的优越性.总之，比较法在数学教学中有其特有的地位和作用，教学中应充分利用这一有力工具去完成教学任务.梁秀红 2004-2-25仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschzugkommerziellen Zwecken verwendet werden.Pou