平面解析几何专题(三)

1、年 级：辅导科目：数学课时数:课 题平面解析几何教学目的教学内容(一)高考目标考纲解读1 .掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2 . 了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用.3 .理解数形结合的思想.考向预测1 .椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点.2 .各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题.(二)课前自主预习知识梳理1 .椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫 这两定点叫做椭圆的,两焦点间的距离叫 -集合 P= M| MF| +| MI2| =2

2、a, | F1F2| =2c,其中 a>0, c>0,且 a, c 为常数：(1)若,则集合P为椭圆；(2)若,则集合P为线段；(3)若,则集合P为空集.2 .椭圆的标准方程和几何性质范围性质对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点轴长轴AA2的长为;短轴BR的长为焦距| FE| =离心率e =a, b, c的关系c2 =（三）基础自测1. （2010 广东文）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是4A.53B.5C.1 D.5答案B解析本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a, b, c的方程式,消去b得到关于e的方程，由题意得：4

3、b =2(a+c)? 4b2=(a+c)2? 3a22ac5c2= 0? 5e2+2e 3 =0(两边都除以a2) ? e=3或 e=- 51（舍），故选B.2. （2009 江西理）过椭圆22/+ b2= 1( a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点，若/ F1PF2=-13 -60° ,则椭圆的离心率为（A 2 八.2B. 33C.1 D.3答案B解析考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算.c代入椭圆方程可得yc=±f,b2 |PF1|=- a即 3b2 = 2a2.严户2,故 |PF| +|PF|=3b-= 2a, aa又. a2

4、=b2+c2,，3(a2c2)=2a2,c 2(a)3.设0< “<2兀，若方程 x2sin a y2cos表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是（）A. 0,B.7t2D.兀C. 2答案C解析化为sin a2yVcos a1,>->0,故选 C. cos a sin ax224.椭圆4-+y = 1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则|PF| =()B. .；3C.D. 4答案C解析设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,由椭圆的方程可得F1(8 0)即垂线的方程为x = -A/3,x22出 了 + yj由4x=一木得 y=

5、77;2，由椭圆的定义知| PF| + | PE| =4,所以| PE| =2,故选C.2 x 5.过椭圆-5的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于 A, B两点，O为坐标原点，则 OAB的面积为答案解析如图，过点B作BdAQ右焦点为Fi(1,0).AB的方程为y=2(x1)=2x 2,必过短轴的一个端点.y= 2 x- 122-+-=15 4,? 4x2+5 - 4( x1)2=20,解得 x=0 或 x = S>AOAK；32 |OA | BC| =2X2X3=-. 23 3U6.(教材改编题)若椭圆1 2'则实数m=C252解析e2=1= 1 aa1-m=1 或 12,2

6、4 m 4'7.求以坐标轴为对称轴，一焦点为(0,5 2)1，且截直线y=3x 2所成弦的中点的横坐标为 的椭圆方程.解析根据题意设所求椭圆的方程为£+，= 1( a>b>0) ., c=5庐a2= b2+ 50.y= 3x 2由x2y2,消去y得尹 b2+ 50= 110(b2+ 5) x2 12b2x b2( b2+ 46) = 0.设直线与椭圆相交于 Mxi, yi), Nx2, y»两点，则 必，x2是上述方程的根，且有 a>o. 即 =40b6+2184b4 + 9200b2>0 恒成立.6 b2-xi + x2=5 b2+5 ,

7、2 xi + x2 16b1-2 2 5 b+5 -2' .b2=25, .1. a2=75.所求椭圆方程为 白+3=1.25 75（四）典型例题1 .命题方向：椭圆的定义例1 求过点A（2,0）且与圆x2 + 4x+y232=0内切的圆的圆心的轨迹方程.分析两圆内切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.作图知:解析 将圆的方程化为标准形式 （x+2）2+y2=62,这时，已知圆的圆心坐标为2,0）,半径为6,设动圆圆心 M的坐标为（x, y）,由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.，已知圆（大圆）半径与动圆（小圆）半径之差等于两圆心的距离，即 |BQ|MC

8、=|BM,而 | BC = 6, . . | BM + | CM = 6,又 |CM=| AM, . . |BM+| AM=6,根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B（ 2,0）和点A（2,0）为焦点、线段 AB的中点（0,0）为中心的椭圆.a=3, c=2, b2 = a2 c2=5.所求圆心的轨迹方程为 x+y=1.95点评（1）本题利用平面几何知识，挖掘动点运动的几何意义，这类求轨迹方程的方法叫定义法.2a=| F1F2|（2）平面内一动点与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a,当2a>| F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是线段 F1F2;当2a<|F1F2|

9、时，轨迹不存在.跟踪练习1:椭圆、+上=1的焦点为Fi、F2, AB是椭圆过焦点F1的弦，则 ABF的周长是()9 25A 20B 12 C . 10D 6答案A解析 椭圆焦点在 y 轴上，a=5, 4ABE 的周长 l = | AB + I AF2| + I BF2| = | AF1| 十 | AF2| 十 | BF1| 十 | BF2| = 4a= 20.2.命题方向：求椭圆的标准方程例2已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为4护和2/5,过p作长轴的垂线恰 好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由

10、椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.2222解析方法一：设椭圆的标准方程是1(22>0)或02 +3=1(22>0),两个焦点分别为 F1、F2,则由题意知 2a=|PF1|+|P因=24，a=d5.一、工口 x2 y2人 工 /日b2在方程孑+ 2= 1中，令 x= ± c,得| y| =公依题意知=x2 3y23x2 y2即椭圆的方程为 5 十 石=1或彳6+5=1.方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则4 52 5|PF| = , |PB|=-.由椭圆的定义，知2a= | PF| + | PF2| = 24,即 a=75

11、.由|PF1|>| PE|知，PB垂直于长轴.故在 RtPEF1 中，4c2=| PF| 2一| P团'60 2°, 93.c2=|,是 b2=a2_c2=13°.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为当+条=1或芸+ ¥=1.510105,关键在于焦点的位置是否确定.若不能确定点评根据条件求椭圆的标准方程的思想是“选标准、定参数”2222应设方程为 3+ 3= 1,或4+ x?= 1.当方程有两种形式时，应分别求解. a b a b跟踪练习2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的 2倍，且经过点 A(2

12、 , 6);八、，一 4、e , x y、丫 x解析(1)设椭圆的标准方程为孑+=1，或孑+ b2= 1.由已知a=2b,且椭圆过点(2, 6),22-6 2 6 2 22人从而有孑+ 歹一=1或一a一十=1由得 a2=148, b2=37 或 a2=52, b2 = 13.故所求的方程为 3+亚=1或卷+ 3=1.148 3 752 13(2)经过点 R-24 1), 0(/3, 2)两点.2222解析(1)设椭圆的标准方程为 孑+点=1,或£+ b= 1.由已知a=2b,且椭圆过点(2, 6),小 22-6 2 6 2 22,从而有a2Hb= 1或a1，由得 a2= 148, b

13、2=37 或 a2=52, b2 = 13.2222故所求的方程为焉+ 3v=1或52+ 1x3=1.(2)设椭圆的标准方程为mX+ny2= 1( m>0, n>0),点 P( 2/, 1), Q/, - 2)在椭圆上，12m+ n= 1代入上述方程得3.4n=1,解得1 n=522x y所求椭圆的方程为 6+:=1.3.命题方向：椭圆的几何性质22例3如右图，从椭圆5+2=1(2盘0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1,a b点A及短轴端点B的连线AB/ OM(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任一点，E是右焦点，F1是左焦点，求/ F1QF的取值范围；(3)设

14、Q是椭圆上一点，当 QFLAB时，延长QF与椭圆交于另一点 P,若 F1PQ的面积为20八, 方程.且它的长轴端求此时椭圆的分析 从OM/ AB入手，寻求a、c间的关系，可以求得离心率解析(i) ,±x轴，XM= c,代入椭圆方程得e. b2VM=-J ab2. koM=.acb_又kAA且 OM AB ab2b 花，：2r=-a，故 b=c,从而 e= 2.(2)设 |QF| =ri, | QF| =r2, / FiQF= 0 .- ri + r2=2a, |FiF2|=2c, ri2+r224c2ri+r2 2- 2rir2-4c2a2cos 0 =2r i22r i2r i22

15、ari r22-i = 0.2当且仅当ri =2时，上式等号成立,，ow cos e wi,故 e e 0 , -2-.2(3) b=c, a=42c,，设椭圆方程为 9+2c2cc2= i.直线PQ的方程y=，2(x c).1PQ =8c (2 4X2c26 2c又点Fi到PQ的距离d=236c.3ii 2 ,66 24- 3 2S>A FiPQ= 2d| PQ = 5x -3cx 5c = -c ,由U3c2=203得 c2=25,故 2c2=50. 522，所求椭圆方程为专十1.点评解焦点三角形问题时，使用三角形边角关系定理，通过变形使之出现| PFi| + | PF2| ,便于运

16、用椭圆定义，得a、c的关系.跟踪练习3 22(20i0 新课标理)设曰，F2分别是椭圆E： U + F=i(a>b>0)的左、右焦点，过 Fi斜率为i的直线l与E相交于 a bA, B两点,且|AF2| , |AB , |BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0 , 1)满足| PA = | pb ,求E的方程.解析联立椭圆方程与直线方程,化简得(a2解析(1)设椭圆的方程为 今+1(a>b>0), a b由已知得：a+c=3, ac=1, a= 2, c= 1, - b = a c = 3.椭圆的标准方程为,+E=1. 3y= kx+ m(2)设 A(

17、X1, y1) , B(X2, y2),由y_得,4+ 3 = 1(3 + 4k2) x2+ 8mkxH- 4(n2 3) =0, A= 64m2k2 16(3 +4k2)( m2 3)>0即 3+4k2 m>0 + b2)x2+ 2a2cx + a2(c2 b2) =0,则 X1+ X2 =2a2cOTF，a2 c2- b2X1X2=a2 + b2因为直线AB斜率为1,所以 I ab =42| X2 xi| =421X1+X2 4X1X2,4ab2a2+ b2'故 a2= 2b2,所以E的离心率e=-=恒三g =乎a a 2X1 + X2 a2c(2)设AB的中点为 N(

18、X0, y0),由(1)知X0 = %-= 0Tb'= 3c, y°=X0+c=3.由I PA = | PB 得 kpN= 1.即纭= 1， 得 c=3,从而 a=3<2, b= 3.22x y 故椭圆E的方程为+-=1.4.命题方向：直线与椭圆的位置关系例4已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l : y=kx+m与椭圆C相交于 A B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点.求 证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.8mk4m2- 3xTx2 = 3Z

19、，x1x2=3+4k2,又 yiy2= ( kxi+ m)( kx2+ m) = k2xiX2 + mkxi + X2)+ m2=3m2-4k23+4k2，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),y1y2kADkBK - 1 ,即- -= - 1.'x-2 x22，yiy2 + xiX22(xi + X2)+ 4= 0.2. 23 m- 4k3 4k,24 m-316mk+3+ 4k2+3Z2+4 = 0.22.7m+ 16m® 4k = 0.解得m= 2k,当m= 2k时,t 2k当m= 7时，2km2= - 7-,且均满足 3 + 4k - m>0.l的方程

20、为y=k(x2),直线过定点l的方程为2y=k x 7 ,直线过定点(2,0),与已知矛盾；27, 0 .所以，直线l过定点，定点坐标为27，0 .跟踪练习4(2010 辽宁理)设椭圆C:22A=1 (a>b>0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60° , AF= 2FB(1)求椭圆C的离心率;15(2)如果| AB = 7，求椭圆C的方程.分析本小题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的性质、弦长公式、向量运算，也考查运算能力与推理能力.解题思路是(1)利用代数法求直线与椭圆的交点坐标，结合向量条件求出离心率. 的关系，再利用(1)的结果，

21、确定a、b的值，写出椭圆方程.解析 设 A(x1, y1), B(x2, y2),由题意知 y1<0, y2>0.(1)直线l的方程为y=3(x-c),其中c = da2 b2.(2)利用弦长公式，确定参数a、by= /3 x- c联立x2 y2_a2+ b2 一得(3 a2+ b2) y2 + 2/3b2cy 3b4 = 0.解得yi =3bc 2a3a2+ b2yJ3 bc _ 2ay2=- 3a2+ b2因为 AF= 2FB,所以一 y1 = 2y2.即退# = 2百十.得离心率e=>|(2)因为 |AB='/1 + 3| y2yd,所以24 ；3ab2 151

22、5由：=中！ b=、-a.所以 7a= 7-,得 a = 3, b=J5. a 3344椭圆c的方程为x+ yr= 1. 95(五)思想方法点拨：I .椭圆的标准方程(1)椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax2+By2= 1,其中A B是不等的正常数.A>B>0时，焦点y轴上；B>A>0时,焦点在x轴上.(2)椭圆的标准方程的求法定义法：根据定义，直接求出a2, b2,写出椭圆方程.待定系数法.步骤：i .定型：是指确定类型，确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式.II .计算：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a2、b2,从而写出椭圆的

23、标准方程.2.直线与椭圆的位置关系X3A 2B.2 C.-2-答案B解析由椭圆定义知 2a=3+1 = 4,故2= 2.，m=a2=4, b2= m2- 1 = 3. c?= a?b?= 1,即 c=1.，e=2.2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=mm>0),则此椭圆的离心率为() y22把椭圆方程孑+ g=1(a>b>0)与直线方程y=kx+b联立取消去y,整理成形如 Ax2+Bx+C= 0的形式，对此一兀 二次方程有：(1) A>0,直线与椭圆有两个公共点 P、Q此时弦长求法：求 P、Q两点的坐标，利用两点间距离公式；由根与系数关系得到弦长公式|PQ=.： 1 +

24、 k2 Xp+ Xq_2 - 4xpXq.(2) A =0,直线与椭圆有一个公共点.(3) A <0,直线与椭圆无公共点.(六)课后强化作业一、选择题 223,到右焦点的距离为1,则该椭圆的离心率为(2D.y1.设椭圆、+*二=1( m>1)上一点P到其左焦点的距离为 m m 11 A.31D.2答案解析由选项知e与m无关，令m= 6,a2=3, b2=2, c2 = 1,ce= 一 a23I3般解法:22x2 + 3y2 = n( n>0)化为 m2 c2-mL3.（2008 江西）已知Fi、F2是椭圆的两个焦点,满足 MF MF= 0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值

25、范围是（(0,1)B.(012(0,D.答案解析依题意得，c<b,c2<b2，c2<a2一c2,2c2<a2,故离心率 e= c<2,又 0<e<1,，0<e<坐. a 224.如图Fi、F2分别是椭圆2x-24 a2>1（a>b>0）的两个焦点,A和B是以。为圆心，以|。用为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,EAB是等边三角形，则椭圆的离心率为n3A. 21B.2C.D. ,3-1答案解析连接AF,由圆的性质知，/FAF>=90 ,又F2AB是等边三角形，/ AF>F1=30 ,c 2c2c，一 AF= c,

26、AE=a/3c,e= _ = =43-1.故选 D.a 2a c+ 3c5.已知椭圆白焦点是 F1、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长迹是（）A圆B.椭圆 C .双曲线的一支F1P至ij Q使得| PQ=| PE| ,那么动点 Q的轨D.抛物线答案 A解析 .| PF|+| P同=2a, |PQ = |PE|,.| PF1| 十 | PF2| =| PF| +|PQ=2a.即 | FiQ = 2a.动点Q到定点Fi的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.6.已知椭圆x2+2y2 = 4,则以（1,1）为中点的弦的长度为（）A 3 ,'2B. 2 -3 C. 母i2 -答案C解析依题

27、设弦端点 A（xi, yi）、B（X2y2),贝U xj+2yi2=4, X22+2y2?=4,.xi2 X22= 2( yi2 y22),此弦斜率k=M=xi + x22 yi+y22'，此弦所在直线方程y-i = -2（x-i）,即 y = - 2x+ J代入 x2+ 2y2= 4,整理得 3x2-6x+i = 0,i xi , x2=, xi + x2=2.|AE|=<xi + x2_2 4xix2 )i + k2=i 44X §i+41;0x2 y2227. (20i0 四川理改编)椭圆+ $= i(a>b>0, c2=a2b2）的右焦点为F,直线2

28、x=2 与 xc轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（A. 0,i8. 0, 2 C啦 T，i)iD. 2答案解析由题意得2|PF = |AF=：c,c, acw | pf w a+ ca- c< cwa+c, 2< e<i.8.（文）已知P是以Fi、F2为焦点的椭圆2 x a2+2y£= i(a>b>0)上的一点，若PF PF2=0, tan / PFF2=；,则此椭圆的离心率为()A. 2B.2 C. 3D*2333答案D解析PF PF2=0,PFXPE,又 tan / PFF2= 1,令 PE=&g

29、t;F= x3x= 2a则 5x2=4c2'3x a= a 2c =c.=克故选D.（理）设22M为椭圆a2+ b2=1上一点,F1、F2为椭圆的焦点，如果/MFE=75。，/ MFF1=15。，则椭圆的离心率为（）A.23B.-36C.答案解析,、一2c由正弦定理得Sin90-| MF| MF2| MF| 十| MF|sin15sin75sin15+ sin75sin152a+ sin75 °，c e=a sin15+ cos15°色sin60二、填空题9.若直线y=kx+1（kC R）与焦点在x轴上的椭圆=1恒有公共点，则t的取值范围是答案1,5）解析用数形结合

30、法，:y= kx+ 1恒过定点（0,1）,只要使（0,1）恒在椭圆内或椭圆上，就能满足题设条件.1产1,1<t<5.0<t <510.已知正方形 ABCD则以 A B为焦点，且过 C答案,'2-1D两点的椭圆的离心率为解析令AB= 2,则AO 2m，椭圆中 c=1,2a=2+2>/2? a=1+ 啦一,r c 1可信e=&=/I，=啦T11. （2010 全国卷I ）已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点， 线段BF的延长线交C于点D,且BF=29 -2FD,则C的离心率为2答案33解析解法1：设椭圆C的焦点在x轴上，如图,R0 , b),

31、F(c, 0), D(xd, y>,贝U BF= (c, b), FD= (xd一c, y。， BF= 2FD>c= 2 XD-C3Xd= 2c一 b= 2yDbyD= 23 2 2c=1,解法 2： | BF =dbFc2 =a,作DDL y轴于点D,则由BF= 2FD导,需=|黑=1，所以1 DD| =|OF = 2c3c 一 一一即xd=子 由椭圆的第二定义得|FD=e3c3c2c-T=a -t2a又由 |BF = 2|FD,得 c=2a-3c-,整理得 3c2-2a2+ac=0.a两边都除以a2,得3e2+e2=0,解得e=-1(舍去)，或e=2. 3三、解答题12. (2

32、010 福建理)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在平行于直线l的方程；若不存在,OA勺直线l ,使得直线l与椭圆C有公共点，且直线说明理由.解析解法1：(1)依题意，可设椭圆1(a>b>0),且可知左焦点为f 'OA与l的距离等于4?若存在，求出(-2,0) .c= 2, 解得a=4.c= 2从而有 2a=|AF+|Af ' | =3+5=8,又 a2=b2+c2,所以 b2= 12,22故椭圆c的方程为x+=1.(2)假设存在符合题意的直线l ,其方程为3y = 2x + t.3得 3x

33、2+3tx +t212 = 0.y=2x+t, 由22x yw+17=1因为直线l与椭圆C有公共点，所以 =(3t)24X3(t212) >0,解得一 4，3wt w 4y3.另一方面，由直线 OA与l的距离d=4可得|t IV=4,从而 t =即± 2 13.由于土 2网? -4/3, 4y3,所以符合题意的直线 l不存在. 解法2:(1)依题意，可设椭圆 C的方程为a2+ b2=1(a>b>0),且有:49牙+可=1，a2-b2=4.解得b2= 12或b2= 3(舍去).从而a2= 16.22所以椭圆C的方程为套+*1.(2)同解法1 :点评求圆锥曲线的标准方程

34、可以用定义法，也可以用待定系数法，两种方法比较.定义法计算简单，但又 不易想到，待定系数法计算较多.但方法易于掌握，是常规方法.对于探究性问题，我们的方法都是假设存在.若 真的存在，则一定能确定参数的值.若不存在，则一定能推出矛盾，所以可以大胆假设.13. (2010 北京文)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是 (-® 0),(夷，0),离心率是当，直线y=t与椭 圆C交于不同的两点 M N,以线段MNK/直径作圆P,圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标.解析本题考查了圆和椭圆的标准方程.，*且 c= V2，a=yJ3, b= 1.x22.椭圆C的方程

35、为-+ y2=1.3(2)由题意知点 P(0 , t)( -1<t<1),y=t由Ay = 131-t2圆P的半径为73 1 t又圆P与x轴相切，.t = 43 1 t2 ,解得 t = ±：32，故P点坐标为0, 士喙._X2 12由 A = (4k) -4(k +40 X 3=4k -3>0,得k>乎,或k<乎.又 0 </AOB90 ? cos Z AOB0? OA OB>0.214.设Fi、F2分别是椭圆 + y =1的左、右焦点.4（1）若P是该椭圆上的一个动点，求 PF PF2的最大值和最小值；求直线l的斜（2）设过定点 M0,2

36、）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且/ AO斯锐角（其中O为坐标原点）率k的取值范围.解析（1）方法 1 易知 a=2, b=1, c=y3,所以 F1（ ，3，0），F2（W，0） 设 Rx, y）,则PF PF2=（一十x, -y） -（V3-x, -y）= x2+y23=x2+ 1 » 3= 3x28）.因为xC2,2,故当x= 0,即点P为椭圆短轴端点时,PF 床有最小值2;当x=± 2,P为椭圆长轴端点时，PF PF2有最大值1.方法 2 易知 a=2, b=1, c=y3,I PF|2+|PF12| FF2|22| PF1| - |PF2|所以 F1（水，0

37、） , F2（，3, 0）,设 Rx, y）,则PF , PR= | PF| , | PR|cos / PPF = | PF| , | PF>|1=/ x+<3)2 + y2+(x 43)2 + y212 =x2+y23.(以下同万法一)（2）显然直线x = 0不满足题设条件，可设直线l y=kx+2.A（x1, y”, B（x2, y2）.y= kx + 2,联立x22消去y,整理得4 + y =1，(k2+4)x2+ 4kx + 3 = 0.4k3. x1 + x2= , x1x2=k2+!k2+!44.OA- OB=xx2+ 丫以2>0.又 yy = ( kxi+ 2)

38、( kx2+ 2) = k X1X2 + 2k(xi + X2)+ 43k28k2-k2+14 =.k2+ - k2+-k2+-3-k2+ 1k，4>0.444即 k2<4. 2<k<2.故由得2<k< 乎或3<k<2.15.如图所示，已知圆 C (x+1)2+y2=8,定点A(1,0) , q 1,0) , M为圆上一动点，点P在AM上，点N在cm匕 且满足AM/k2AP, NP-XMzo, Np-XM; n的轨迹为曲线 e.经过点(o,小)且斜率为k的直线与曲线 e有两个 不同的交点P和Q(1)求曲线E的方程；(2)求k的取值范围；(3)设曲

39、线E与x轴、y轴正半轴的交点分别为 D B,是否存在常数 k,使得向量OkOQtD共线？如果存在， 求k的值；如果不存在，请说明理由.解析(1) 2Ah . P为 AM勺中点. - -> >-> >又. NP- AMh 0,NPLAMNP为AM勺垂直平分线.|NA = |NM, . |NC+|NM = 2也.|Nq + | NA=2 ,;2>2，动点N的轨迹是以点 q1,0)A(1,0)为焦点的椭圆，且 2a=272, 2c=2 2a=啦,c= 1, b2=1, 1- E的方程为 2 + y2=12(2)由已知条件设直线l的方程为y=kx + 42,代入椭圆方程得

40、22+(kx+V2)2=1,整理得(1+ k2) x2+ 242kx + 1 = 0直线l与椭圆有两个不同的交点 P和Q等价于_ 2.12_2_A = 8k -4(2+ k) =4k 2>02. 2解得 k<- -2_或 k>_2_,22 .k 的范围为(一8,一予 U (丁, +OO )(3)设 Rx1, y。、Qx2, y2)则OpOq= (X1 + X2, yi + y2)由 方程得 X1 + X2 = zj-gr 1十2K又 yi + y2= K( xi + X2) + 212而 D(宓,0)、B(0,1)Db= (-pi)O丹 OQIDB曲线等价于 X1 + X2=

41、2(yi+y2)将代入上式得K=g由(2)知K<-乎或盛故没有符合题意的常数K.第六节双曲线（一）高考目标考纲解读1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.3. 理解数形结合的思想.考向预测1 .双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但 不作为重点.2 .主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目.（二）课前自主预习知识梳理1 .双曲线的概念我们把平面内到两定点 F1, F2的距离之差的 等于常数（大于零且小于 ）的点集合叫做双曲线，这两个定点 叫双曲线的,两

42、焦点间的距离叫 -集合 P= M| FM1| -| MI2| =2a, |F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0, c>0：（1）当 时，P点的轨迹是;（2）当 时，P点的轨迹是;（3）当时，P点2 .双曲线的标准方程和几何性质 （如下表所示）标准方程x y孑2= 1( a>0, b>0)y x孑b2= 1( a>0, b>0)性质住日Fi, F2F1, F2焦距| F1F2I =2c =范围|x| >a, yC R|y| >a, xC R对称性关于和对称顶点(a,0) , (a,0)(0 , - a), (0 , a)轴实轴长_,虚轴

43、长_离心率c e= " (e>1)3 .基础三角形如图， AO升,|OA=a, | AB =_, |OB = c, tan/AOB=, Of2D 中，| F2D| =（三）基础自测1. （2010 新课标文）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4, 2）,则它的离心率为（）A.岷B. C *D.学答案D解析本题考查了双曲线的渐近线方程，离心率的计算，在解题时应首先考虑根据题意求得参数a, b的关系，然后利用c2=a2+b2求得离心率，题目定位于简单题.22U设双曲线的标准方程为 a2-b2=l（a>0, b>0）,所以其渐近线方程为 y=±

44、ax,因为点（4, -2）在渐近线上，所以一=不，根据 c2= a2+ b,可得 2=解得 e = rr, e=3,故选 D.a 2a 442222.设P是双曲线'9. = 1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0, Fi, F2分别是双曲线的左、右焦点，若| PF| =3,贝U | PE| 等于（）A 1 或 5B. 6 C .7D. 9答案C3解析由渐近线方程y=2x,且b=3,得a=2,由双曲线的定义，得| PE| -| PF| = 4,又|PFi| =3,|PF|=7.223. （2009 江西文）设Fi和F2为双曲线" b2=1（a>0, b>0

45、）的两个焦点，若 Fi, F2, P（0,2 b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）D. 3A.3B. 2C.522答案B解析考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法. 由题意可得c=23b,即c2=$2,又 b2=c2a2,c2=4(c2-a2),解得ce= _= 2.a24.设F1, F2分别是双曲线 x2-y= 1的左、A.9 .1010B +道CB士 10C9 , 1010D 士噂右焦点，若点P在该双曲线上，且PFPF2=0,则P点的纵坐标为（）答案B解析数学高考命题重视知识的相互渗透，往往在知识点的交汇处设计试题.平面向量作为代数和几何的纽带, 素有“与解析几何交汇，与立

46、体几何联姻，与代数牵手”之美称，它与解析几何一脉相承，都涉及到数和形，对于解析几何中图形的重要位置关系（如平行、相交、三点共线、三线共点等）和数量关系（如距离、面积、角等），都可以通过向量的运算而得到解决.设 P（x。，y。），由题意可知F（诟，0）,F2（诉，0）,则 PF = （五一x。，一y。），PF2=（西一x。，一 y。），PF PUGy。210=喑9”2 81 y0=w5yc= ±9 :1010225. （2010 天津卷）已知双曲线，=1（a>0, b>0）的一条渐近线方程是y=V3x,它的一个焦点与抛物线y2= 16x的焦点相同，则双曲线的方程为 炉心x

47、y答案 412- 1解析本题考查了双曲线的标准方程与几何性质.由抛物线y2=16x的焦点坐标为(4,0),得c=4.一 b 又由双曲线的渐近线方程为y= 土 承 得a=、J3? b=#a，又 c2=a2+b2,解得 a=2, b=2淄.36.双曲线的渐近线方程为y=± 4X,则双曲线的离心率为 .5 5答案4或3 4 33 b 3 a 3 b 3c2a2 9解析:双曲线的渐近线方程为y=± 4X,，3=4或b=4.当a=4时，a2=彳6,一-2-c 5 r a 3 , a 9 c 5 e= a=不当 6= 4'时,。=而， - e = a=3.7.如图，已知圆 A的

48、方程为(x + 3)2+y2=4,定点Q3,0),求过定点 C且和圆A外切的动圆的圆心 P的轨迹方程.解析依题意得| PA | PC = 2.又| PA>| PC,且|AC =6>2.由双曲线的定义，知点 P的轨迹是以 A C为焦点的双曲线的右支，故点P的轨迹方程为x2-y- = 1(x>1).8(四)典型例题1 .命题方向：双曲线的定义及标准方程例1 已知动圆 M与圆C1: (x+4)2 + y2=2外切，与圆C2： (x4)2 + y2 = 2内切，求动圆圆心 M的轨迹方程.分析 设动圆M的半径为r,则| MC| =r + r1, | MC| =r r2,则| MC| |

49、 MC| =r1 + r2 =定值，故可用双曲线定 义求解轨迹方程.解析如图，设动圆 M的半径为r,则由已知得| MC =r+ 42,|MC = r -转.| MC| | MC =2也又 C(4,0) , G(4,0),| CiC2| =8,2声| GC2|.根据双曲线定义知，点 M的轨迹是以Ci(4,0) , G(4,0)为焦点的双曲线的右支.a=木,c=4,b2= c2 a2= 14,2 2.点M的轨迹方程是X2- *1(x>?).跟踪练习1:22,一 > ,x v由双曲线§ : = 1上的一点P与左、右两焦点 Fi、F2构成 PFF2,求 PFF2的内切圆与边 F1

50、F2的切点坐标 N分析要求切点N的坐标，关键在于求 N到两焦点距离之差.根据圆的切线长定理，转化为P到两焦点距离之差.解析由双曲线方程知 a=3, b=2, c=>/l3.如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF| | PF>| =2a.由于 | NF| | NE| = | PF| | PF =2a|NF| 十| NF =2c.2a+ 2 c由得| NF| = = a+c,| ON = | NF| | OF| = a+ c c= a= 3.故切点N的坐标为(3,0).根据对称性，当 P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(一3,0).2.命题方向：双曲线的几何性质例2已知双曲线的中心在原点，焦点 F, F2在坐标轴上，离心率为 亚，且过点(4, -V10) .(1)求双曲线方程；(2)若点 M3 , m在双曲线上，求证： MF - MF = 0;(3)求 F1MF的面积.分析由离心率为42可看出它是等轴双曲线；从此隐含条件入手，可使运算变得简单.解析(1) e=42, .可设双曲线方程为x2y2=入(入W0).过(4 ,一皿)点，. 1610=入，即入=6,，双曲线方程为x2-y2=6.(2)证