相似三角形常见模型(总结材料)

1、第一部分相似三角形模型分析、相似三角形判定的基本模型认识（五）一线三直角型:（六）双垂型:、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到一线三等角的变形一线三直角的变形BE CD交CAM长线于E.例2：已知：如图， ABC43,点E在中线AD上,DEB ABC .求证:(1) DB2DE DA;(2)DCE例3:已知：如图，等腰ABC43, AB= AC ADL BC于 D,CG/ AR BG另1J交 AD AC于 E、F.求证：BE2 EF EG .相关练习:1、如图，已知 AD为ABC勺角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证： FD 2 FB FC .第二部分相似三角形典型例题讲解母子

2、型相似三角形例1:如图，梯形 ABCD3, AD/ BC对角线 AC BD交于点O,求证：OC2 OA OE .2、已知：AD是RtABC中/A的平分线，/ 0=90° , EF是AD的垂直平分线交 AD于M EF、BC的延长线交于一点此求证：（1） AAMEENMD; （2）ND 2 =NC- NB3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CD!AB于 D, E是AC上一点，CF± BE于F。求证：EB- DF=AE- DB4 .在 ABC 中，AB=AC 高 A® BEX于 H, EF BC ,垂足为 F,延长 ADiGG,使 DG=EFAH勺中点。

3、5分）求证： GBM 905 .（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各已知：如图，在 RtAABO, / C=90° , BC=2, AC=4, P是斜边AB上 的一个动点，PCL AR交边AC于点D （点D与点A C都不重合），E是射线DC上一点，且/ EPH/A设A P两点的距离为x, 4BEP的面积为V,（1）求证：AE=2PE;（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;（3）当 BEP与ABCt目似时，求 BEP勺面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60° , BD CE分别是AG AB上的高求证：(1) ABD ACE (

4、2) AD ABQ (3)BC=2ED2、如图，已知锐角 ABC AR CE分别是求：点B到直线AC的距离。C共享型相似三角形1、 ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上，/DAE=120 ,已知bd=1, CE=3,，求等边三角形的边长.一线三等角型相似三角形2、已知：如图，在 Rt ABC, AB=AC / DAE=45 .求证：(1) ABIE ACD(2) BC2 2BE CD .例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDf=60(1)求证： BD&ACFD(2)当 BD=1, FC=3 时，求 BE例2：（1）在 ABC中，AB AC 5, BC

5、 8,点P、Q分别在射线 CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持 APQ ABC.若点P在线段CB上（如图），且BP 6,求线段CQ的长；若BP x, CQ y ,求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形ABCD的边长为5 （如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持 APQ 90 .当CQ 1时，求出线段 BP的长.例 3：已知在梯形 ABC理，AD/ BC A氏 BQ 且 AD= 5, AB= DG= 2.（1）如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC= / A求证； AB% DPC求AP的长.（2）如果点P在AD边上移动（点P与

6、点A D不重合），且满足/ BPB / A PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域;当CEE= 1时，写出AP的长.BC 6, AD 3.点M为边BC的中点，以例4：如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB CDM为顶点作 EMF B ,射线ME交腰AB于点E ,射线MF交腰CD于点F ,联结EF .(1)求证： MEF BEM ；(2)若 BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD ,求BE的长.相关练习:1、如图，在 ABC中，ABAC 8, BC 1

7、0, D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且(2)求证： AB及 DCE如果BD x, AE y ,求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明 AD比什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在 ABC中,AB=AC=6, BC=5, D 是 AB 上一点，BD=2E是BC上一动点，联结 DE并作DEF B ,射线EF交线段AC于F.(1)求证： DB以 ECF(2)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长;(3)联结DF,如果 DEF DBEf似，求FC的长.3、已知在梯形 ABCD43, AD/ BC A氏 BC 且 BC=6 , AB=DG4，点 E 是AB的中点.(1

8、)如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证： BEPo CPD(2)如果点P在BC边上移动(点 P与点B C不重合) 时交直线AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x, DF=y 域；9当Sdmf 9Sbep时，求BP的长4BPC(第25题4、如图，已知边长为3的等边ABC ,点F在边BC上，(,且满足/ EPF=/C, PF交直线CD于点F,同,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义EADBC(备用图)CF 1 ,点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边 efg，直线EG, fg交直线AC于点M , N ,(1)写出图中与 BEF相似的三角形；(2)证明其中一

9、对三角形相似；(3)设BE x，MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量(4)若AE 1 ,试求GMN的面积.心。/X的取值范围;备用图一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD43, CD=2 AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP , 交边AB于点E,设PD x, AE y ,求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。cAO 2例2、在 ABC中， C 90o,AC 4, BC 3,0是AB上的一点，且 上 2,点P是AC上的一个动AB 5点，PQ 0P交线段BC于点Q,(不与点B,C重合)，设AP x,CQ y,试求y关于x的函数关系，并写

10、出定义域。【练习1】3在直角 ABC中， C 90o, AB 5,tanB ,点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， DF DE 4交射线AC于点F(1)、求AC和BC的长(2)、当EFBC时，求BE的长。(3)、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求 BE的长。【练习2】在直角三角形ABC中， C 90o, AB BC, D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，(与A,C不重合），DF DE, DF与射线BC相交于点F.（1）、当点D是边AB的中点时，求证:DEDF（2）、当空DB(3)、当 ACDE钻/古 m ,求的值DFADBC 6,- DB12，设AEx,BF【练习4如图，在 ABC中，Cy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域903-,D是BC边的中点，E为AB边上 4的一个动点，作 DEF 90 , EF交射线BC于点BED的面积.【练（2015年黄浦一模25）（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围;（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与 BED相似