简单的线性规划(一)

1、高中数学教案第七章直线和圆的方程（第11课时）课 题：7.4简单的线性规划（一）教学目的：1 .使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2 . 了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等 基本概念；3 . 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题4 .培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思 想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力5 .结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新-教学重点：二元一次不等式表示平面区域 .教学难点：把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.授课类型：新授课- 课时安排：

2、1课时1 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的 一个简单应用，这是新大纲对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算 巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理 等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学 思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法一数学建模法.通过

3、这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养 学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力 -依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有 关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学 生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习 消化的过程，故本节知识内容定为了解层次 本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好 教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材 -本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数 学”的意识以及解决实际问题的能力 -本小节的重点

4、是二元一次不等式表示平面区域，难点是把实际问题转化为 线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找 出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几 何化-教材处理：用直线方程的一个简单应用，教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元 一次不等式表示平面区域.再通过一个具体的实例，介绍了线性规划问题及有关 的几个基本概念及其一种基本解法一一图解法，并利用几道例题说明线性规划 在实际中的应用.根据新大纲和新教材，本小结分为三个课时进行教学：第一课 时讲解二元一次不等式表示平面区域；第二

5、课时讲解线性规划的有关概念和图 解法；第三课时讲解线性规划在实际问题的应用.考虑到本节内容概念较多且广泛深入实际问题，建议动用一个机动课时，再讲解并巩固线性规划在实际问题 中的应用，这样对学生提高解决实际问题的能力将是十分有益的 教法分析：（一）教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步培养 .根据本节课的内容特点，依据“情意”、“序进”、“活动”、“反馈”等四条让学生绝大多数学生都有效学习的教学途径.本节课的采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的 能力以及良好的学习品质的形成 （二）教学手段新大纲明确指出：要

6、积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学 容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课宜采用计算 机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式（组）所表示平面区域以及 图形的动态变化情况 教学过程：一、复习引入：通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程x + y 1 =0的解为坐标的点的集合（ x,y） | x + y 1 =0是经过点（0, 1）和（1, 0）的一条直线1,那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合（ x, y）

7、I x + y-1>0是什么图形呢？ 二、讲解新课：在平面直角坐标系中，所有的点被直线x + y-1 = 0分成三类：（1）在直线x+y -1 = 0上；（2）在直线x+y 1 = 0的左下方的平面区域内;（3）在直线x+y 1 = 0的右上方的平面区域内.即：对于任意一个点（x, y）,把它的坐标代入 x + y 1 ,可得到一个实数, 或等于0,或大于0,或小于0.若x+y-1=0,则点（x, y）在直线l上.我们猜想：对直线l右上方的点（x,y）, x + y-1>0成立；对直线l左下方的点（x, y） , x + y 1 <0成立.我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论

8、一下不妨，在直线x + y -1=0上任取一点P （ x0, y。），过点P作平彳f于x轴 的直线y=y。,在此直线上点P右侧的任意一点（x, y）,都有x > x0, y = y0,所以，x+y>x0 + y0, x + y-1 > x° +y0-1=0,即 x + y -1 > 0.再过点P作平行于y轴的直线x=x%在此直线上点P上侧的任意一点（x,y）, 都有 X =x0, y> y0.所以，x+y> x0+ y0, x + y -1 > x° + y0-1=0,即 x + y 1 >0.因为点 P （ x°

9、, y°）是直线x + y -1 =0上的任意点，所以对于直线x + y1=0右上方的任意点（x,y）, x + y1>0都成立.同理，对于直线x + y -1 =0左下方的任意点（x, y）, x + y -1 v 0 都成立.如图所示：所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x + y-1 > 0的解为坐 标的点的集合 （ x, y） |x + y-1>0是在直线x+y-1=0右上方的平面区域-如图所示:那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x + y 1 v 0的解为坐标的点的集合（ x, y） I x + y _1 v 0是在直线 x 十 y 1=0

10、左 下方的平面区域.总之，二元一次不等式 Ax+By+C>0在平面直 角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组 成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） .x+y-1=0由于对在直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点（x, y）,把它的坐标（x, y）代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x。, y。），从Ax0+Bw+C的正负即可判断 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域（特殊地，当Cw。时，常把 原点作为此特殊点） 三、讲解范例：例1画出不等式2x+y-6。表示的平面区域.解：先画直线 2x+y-6=0 （画成虚线

11、）.取原点（0, 0）,代入 2x+y-6, .2X0+0-6=-6 < 0,原点在2x+y-6<0表示的平面区域内，不等式2x+y-6<0表示的区域如图：x - y 5-0例2画出不等式组 彳x + y之0表示的平面区域x M3分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平 面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分-解：不等式x-y+5>0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的 集合，x +y>0表示直线 x+y=0上及右上方的点的集合，x< 3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为 图示的三角形区域：四、课堂练习

12、：1 .画出不等式 x+2y4V 0表示的平面区域.解：先画直线 x+2y4=0（画成虚线），取原点（0, 0）,代入x + 2y 4,因为 0+2X0 4<0,所以，原点在 x +2y 4 V 0表布的平面区域内，不等式一x + 2y4 V 0表布的区域如图所示x + y - 6 之 0 x-y >02 .回出不等式组«表木的平面区域-y三3x :二 5选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法-解：不等式x+y 6>0表示在直线 x+y6=0上及 右上方的点的集合，xy>0表示在直线xy=0上及右下方的点的集合，yw 3表示在直线y=3上及其下方的 点的集

13、合，x < 5表示直线x =5左方的点的集合，所以x + y - 6 之 0. x y 至0不等式组x y表示的平面区域如图所示y三3x : 5说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实-3 .已知直线l的方程为Ax+By+C =0, Mi （x1, y1）、M2（x2,y2）为直线l异侧的任意 两点，Mi、M3（x3,y3）为直线l同侧的任意两点，求证：（1）Axi+Byi+C 与 Ax2+By2+C 异号；（2）Axi+Byi+C 与 Ax3+By3+C 同号.证明：（1）因Mi、M2在l异侧，故l必交线段M1M2于点M0.设M0分M1M2所成的比为入，则分点M0的坐标为x0=*x2'加=哈”代入1的方程得A( x1 + LX?b( y1 +-y2)+C = 0,11从而得 Ax1+By1 + C+ 入(Ax2+By2+C) = 0.解出入，得Ax By C入=_Ax2 By2 C.M0为M1M2的内分点，故 入>0.Ax1+By1+C 与 Axz+Byz+C 异号.（2） ; M3、M1在l同侧，而 Mr M2在l异侧，故 M3、M2在l异侧，利用（1）得 AX3 + By3+ C 与 AX2