等比数列及其前n项和

1、课 题 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和 高考考纲解读1 .在考试内容上常以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定 重点考查通项公式、前n项和公式，同时考查等差、等比数列的综合应用.2 .在考试形式上主要以选择、填空为主，考查等比数列的性质及其应用.学习目标1 .理解等比数列的概念.2 .掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4 .了解等比数列与指数函数的关系.一、【基础知识梳理】1 .等比数列的定义(1)条件：一个数列从第2项起等于同一个常数.(2)公比：是指,通常用字母q表示(qw0).(3)定义

2、表达式:.2 .等比数列的通项公式若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为.3 .等比中项如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中项 a, G, b成等比数列？.4 .等比数列的前n项和公式(1)当公比q=1时,Sn=(2)当公比 q w田寸,Sn=二、局考展小1、(2016年全国I高考)设等比数列an满足aI + a3=10, a2+a4=5,则a1a2鬃bn的最大值为2. (2016年山东高考)已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n, b 是等差数列，且bnbn 1.(I )求数列bn的通项公式;(an4-.求数列 cn的前n项和T(bn 2)n3.

3、 (2016年北京高考)已知an是等差数列，bn是等差数列，且b2=3, b3=9, a 二 b，a4=b4.(I )求an的通项公式；(II)设Cn=an + bn,求数列Cn的前n项和.三、考点突破考点一等比数列的基本运算【例1】设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已知a2a4=1, S3=7,则S5等于()A.B.C. D.(2015全国II卷)已知等比数列an满足ai=3, ai + a3 + a5=21,则a3 + a5+a7 =()A.21B.42C.63D.84(3)(2015关B州质量预测)设等比数列an的前n项和为8,若27a3a6=0,则= .规律方法等比数列基

4、本量的运算是等比数列中的一类基本问题， 数列中有五个量a1，n, q, an, 8, 一般可以 知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.【训练11 (1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2 = 2,则该数列的前5项的和为()A.B.31C.D.以上都不正确(2)(2015湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,且3S1，2s2, S3成等差数列，则an=.【例2】(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10an+a9a12= 2e5,则lna+lna2+ + lna20=()A.20B.50C.70D.80(2)设等比数列an的前n项和为Sn,若

5、=3,则=()A.2B.C.D.3规律方法： (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质若m+n =p+q,则aman = apaq"，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用 .【训练2】(1)(2016南昌一模)已知各项均为正数的等比数列an中，aa2a3=5,a7a8a9 =10,则 a4a5a6 等于()A.5B.7C.6D.4(2)在等比数列an中，各项均为正值，且 a6a1o+ a3a5 = 41, a4a8=5,则a4+a8 =.考点三等比

6、数列的判定与证明【例3】(2016莱芜模拟)已知数列an的前n项和为Sn,在数歹bn中，bi=ai bn=an an i(n>2) 且 an+&=n.(1)设On=an 1,求证：Cn是等比数列；(2)求数列 bn的通项公式.规律方法 证明数列an是等比数列常用的方法：一是定义法，证明= q(n>2, q 为常数)；二是等比中项法，证明a = ani an+i.若判断一个数列不是等比数列，则 只需举出反例即可.【训练3】(20I6青岛模拟)设数列an的前n项和为8,已知ai=i, Sn+i = 4an + 2.(i)设bn=an+i 2an,证明：数列bn是等比数列；求数列

7、an的通项公式.2i.已知数列an满足：an四、当堂检测an i an i(n 2)，右 a2 3, a2 a4a6 2i ，则 ada6 a8A. 84B. 63C. 42D. 2i2.已知在正项等比数列an中，存在两项am,an满足 Jaman4ai,且a6a52a4,则i 4一 一的最小值是()256m nA . 3 B. 2C.7D.233.已知等比数列an中，各项都是正数，且a, la3, 2a2成等差数列，则包 ()2a7 a8A. 1 J2B. 1 T2C. 3 272 D, 3 2夜4已知数列 an为等比数列，Sn是它的前n项和，若a? a3 2a1，且a,与2a7的等差中项

8、5为5,则S5等于.45 .数列an是等比数列，a2gaio 4 ,且a2 a1o 0 ,则a6 ()A. 1B. 2C.1D.26 .等比数列an中，aa2a32,ada§a 4,则a1oaia12.7 .在我国明代数学家吴敬所着的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫宝塔装灯”,内容为 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为 2的等比数列递增).根据此诗，可以得出塔的顶 层和底层共有盏灯.8 .中国古代数学着作算法统宗中有这样一个问题：八百七十八里关，初行健步不为难，.其大意为：宥次日脚痛减一半，六朝才得到其关

9、，要见次日行里数，请公仔细算相还个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.'问此人第4天和第5天共走了（）A . 60 里 B . 48 里 C.36 里 D . 24 里9 .九章算术中有一个 两鼠穿墙”问题：今有垣（墙，读音）厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍），小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”在两鼠 相逢”时，大鼠与小鼠 穿墙”的 进度”之比是：.五、自我总结参考答案：二.局考展不：1、【答案】642_2【解析】（I）因为数列an的前n项和Sn

10、 3n 8n ,所以ai 11 ,当n 2时，22an Sn Sn 1 3n 8n 3(n 1)8( n 1) 6n 5,又an 6n 5对n 1也成立，所以an 6n 5.又因为bn是等差数列，设公差为 d ,则anbn bn 1 2bn d .当 n 1 时，2b 11 d ;当 n 2 时，2b2 17 d ,a d解得d 3,所以数列bn的通项公式为bn一3n 1.2(n)由 Cn(an1)n1(bn 2)n(6n 6)n 1(3n 3)n(3n 3) 2n 1于是 Tn 6 22 9 2 3 1 2 24( 3n 3) 2n 1 ,两边同乘以2 ,得 _3_4_ n 1_ n 2 2

11、Tn 6 23 9 24(3n) 2n 1 (3n 3) 2n 2两式相减，得Tn12 3 22(1 2n) (3n 3) 2n 2 3n 2n 23.解：（I）等比数列,b39cbn的公比q 一 3, b23所以 b 区 1 , b4 b3q 27 . q设等差数列 an的公差为d .因为 a1 b1 1 , a14 b4 27,所以 113d 27,即 d 2.所以 an 2n 1( n 1, 2, 3,).(II)由(I)知，an 2n 1, bn 3n 1 .因此 g an bn 2n 13nl.从而数列cn的前n项和n 1 2n 11 3n2 3n 1n .21 32三、考点突破例1

12、.解析(1)显然公比qw1由题意得解得或(舍去)， .S5=.2)设等比数列an的公比为 q,则由 a1 = 3, a +a3+a5 = 21 得 3(1 + q2+q4)= 21, 解得 q2= 3(舍去)或 q2 = 2,于是 a3+a5+a7=q2(a+ a3+a5)= 2>21 = 42,故选 B.设等比数列的公比为q,首项为a1,则=43=27.=1 + = 1 + = 1 + q3 = 28.答案 (1)B (2)B (3)28训练1。解析(1)设an的公比为q, q>0.由已知得 a4+3a3=2>5a2,即 a2q2+3a2q= 10a2, q2+3q10=

13、0,解得q = 2或q= 5(舍去)，又 a2=2,则 a1 = 1,所以 &= = = 31.答案(1)B (2)3n 1(2)设等比数列an的公比为q(qw0)依题意得a2 = a1q = q, a3=a1q2 = q2, S=a1 = 1.S2=1 + q,邱=1 + 4+42又39, 2s2, S3成等差数列，所以 4s2=3S1+S3, 即 4(1+ q) = 3+1+ q + q2,所以 q= 3(q= 0 舍去).所以 an=aiqn 1 = 3n 1.例2.解析(1)由等比数列的性质可知，awan + a9ai2=2e5,所以aw an = e5, 于是 lnai+ I

14、na2+ + Ina2o= 1Oln(aio a11)= 10lne5 = 50.(2)由等比数列的性质及题意，得 S3,秘一金, S9多仍成等比数列，由已知得 与= 3Ss, ,即 Ss傍= 4$, S9=7Ss,训练2.解析(1)把aia2a3, a2a3a4,，a7a8a9各看成一个整体，由题意知它们分别是一个等比数列的第1项、第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列an的各项均为正数，用P 以 a4a5a65.(2)由 a6a1o+a3a5 = 41 及 a6aio=a, a3a5= a,得 a+a=41.因为 a4a8 = 5,所以(a4+ a8)2 =

15、a +2a4a8+a = 41 + 2>5 = 51.又 an>0,所以 a4+ as=.答案(1)A (2)例3.证明an + Sn= n, - an+1 + Sn+1 = n + 1.一得 an+1 an+ an+1 = 1 ,. . 2an+1 = an + 1 , - 2(an + 1 1) an1, - an一 1是等比数列.又 ai + ai = 1,ai =, 又 cn= an 1, 首项 ci = ai 1, ci =,公比q=.；Cn是以一为首项，以为公比的等比数列.解由(1)可知Cn=一,，an=Cn+1 = 1 .,.当 n>2时，bn an an 11

16、.又bi = =代入上式也符合，bn=.训练 3.证明由 ai= 1 及 Sn+i = 4an + 2,有 ai+a2 = & = 4ai+2.；a2=5,b1= a2 2a1 = 3.又，Sh= 4an-1 + 2,)一，得 an+i = 4an 4an 1 (n > 2) . an + 1 2an = 2(an 2an 1). bn = an+1 2an,bn = 2bn 1,故bn是首项 bi = 3,公比为2的等比数列.(2)解 由(1)知 bn=an+1 2an = 3 2nT,=,故是首项为, 公差为的等差数列. = +(1)得 an=(3n1) 2n 2课堂检测：1.【答案】C【解析】由数列an满足:2anan 1an 1(n2),所以数列an为等比数列，设等比数列a4a6a8a22a?q4 a?q21 ,又 a23,即q2 6 0,解得q2 2,则2a2q2a4q2%q42,故选C.由 a6a52 a4 得 q5_3-一2q解得q2,16 246,所以4m3.【答案】C【解析】三项成等差数列,所以a3ai2a2 ，一 2即aq二2a1 2a1q,q1 2q ,解得1,所以a_包a7a8q2 331【解析】根据等比数列的性质2a6a