群论课后答案

1、群论课后答案【篇一：群论习题】概念*1.1 下列定义了乘法运算的集合，哪些构成了群，哪些不构成群，并说明理由。（ 1 ）在复数加法下全体复数的集合（ 2）在矩阵乘法下所有幺正矩阵的集合（ 3）在数的减法下所有整数的集合（ 4）在数的乘法下所有正实数的集合提示：任二群元a 和 b： a?b?a?e?b?a?a?b?2?b?b?a。1.3 验证矩阵集合：?10?0?2?,?2?01?0?0?0?01?0?2?0?,?,?2?,?10?0? 其中 ?， 0?ei2?3 在矩阵乘法下构成群，并且与d3 群同构。提示：先写出该集合的乘法表，便可证得其自封闭性，并能找每个元素的逆元和单位元。再和d3 群的

2、乘法表对比就可发现同构关系。1.4 验证集合?1?1?21?i?,?c?c,c为光速在乘法l?l?l?,?12332?112?2?2?c1?c?c2 之下构成abel 群（注：改群成为lorentz 群）提示：只需证明?c?3?c 条件成立，则l?3? 也必属于该集合，得到?0 时 l（0） 对应单位元，的集合的封闭性。?3 中的 ?2 和 ?1 的地位对称，所以 l?1?l?2?l?2?l?1?。*1.5 证明群的任何两个左陪集或者完全相等，或者没有任何公共元素。1.6证明有限群g的非空子集h为子群的充要条件是：若 a,bGh, 则ab G h。提示：易证必要条件成立，证充分条件时，要用到：

3、 c=a,c=b贝U cc G h,进而 cm h （m 为正整数）。*1.7 证明指数为2 的子群必是正规子群。提示：先要理解子群指数这一概念*1.8 证明群阶为质数的有限群必为abel 群，并且必为循环群。提示：证明中须用到子群的阶是该群的阶的因子，每一类中元素的数目也必为该群阶的因子，以及单位元自成一类等定理和推论。1.9 如果 h 是群 g 的正规子群，而n 又是 h 的正规子群，那么是否n 也一定是g 的正规子群？提示：不一定是，例如，考虑c4v ， c2v 和 e mx 三群的关系。*1.10 设 h 是 g 的子群，证明a 和 b 同属于 h 的同一个左陪集的充要条件是a?1b?

4、h 。1.11 证明 h 是 g 的正规子群的充要条件是：h 整类地包含g 的元素。提示：见课堂笔记或见徐、喀书p26 之证明。1.12 若群g和g'同态，则阶较大的群g中与阶较小的群g'的单位元 e'对应的那些元素，称为这一同态关系的同态核，记作 p。证明：p 是 g 的正规子群。提示：见徐、喀书p29 证明。*1.13 设 h 是 g 的子群，对于任一元素g?g ，证明集合ghg-1=ghg-1, h?h 也是 g 的子群。（该群称为h 的共轭子群）1.14 证明四阶群只有两种，一种是循环群，另一种是非循环的abel群。提示：写出四阶群所有可能的乘法表，见笔记。1.

5、15 证明直积群的两个直积因子群必为直积群的正规子群。1.16 证明直积群g?ga?gb 的类的数目等于直因子群ga 和 gb 的类的个数的乘积。提示：见徐、喀书p31 或课堂笔记。1.17 证明：（1 ）群的单位元核逆元都是唯一的。（ 2）设 f 和 g 是群的任二元素，则?f?g?1?g?1?f?11.18 证明：二阶循环群与四阶循环群同态。1.19 设直积群g=h?n 证明：（a） g 共轭类数等于h 和 n 的共轭类数的乘积。（ b） n?g hg s h g s n第二章 群的表示理论2.1 为什么对于任一群都有单位表示做为其一种不可约表示。提示：一维的单位表示对应平庸群1 。该群和

6、任一群有同态表示。*2.2 证明有限群任何一维表示的表示矩阵的模必为1 。*2.3 证明除恒等表示外，有限群的任一不可约表示的特征标对群元素求和为零。提示：利用不可约表示特征标的正交性关系，并令其中一个表示为单位表示。2.4 对有限群的某一表示的所有表示矩阵都乘以同一常数后组成的矩阵集合是否还能构成该群的一个表示。2.5 dj 是有限群g 的一个不可约表示，证明：g 中同一类元素在dj上的表示矩阵之和必为单位矩阵的常数倍。提示：直接利用舒尔引理可证。*2.6 求 d 3 群在三维实空间上的矩阵表示，三维实空间的基矢为(e1,e2,e3) 并判断该表示是否是不可约表示。提示：利用gei?ejdj

7、i ， g 是 d 3 群的群元，它可以变换3 个基矢。j?22u(r)u(r2.7 某线性空间的基函数为1=x?y,2)=2xy ，该空间是否构成 c3v 群的封闭性空间？提示：见教材群及其表示p49 之相关论述。?u(r)u(r*2.8 某线性空间的两基函数为1=sinx,2)=siny 。该空间是否构成 c2v 的封闭性空间，如果是，给出c2v 的相应表示矩阵，并判断该表示是否可约。(设c2v 的主轴沿z 方向)。*2.9 求 c4v 群在线性空间u1=x2, u2=y2, u3=2xy 上的表示，并判断该表示是否可约，如果可约，写出其约化形式。(c4v 的主轴沿z轴方向)。提示：利用可

8、约表示的约化式aj=不可约表示。2.10群g的两个表示为da和db ,对于g中任一元素a,取它在da 和 db 表示中的表示矩阵的直积，即d(a)=da(a)?db(a) 。则对于每一群元d 组成一个新的矩阵集合，证明：d 也是 g 的一个表示。(提示：见徐、喀书p107 之证明)2*2.11 c3h 群是 c3 群 e， 和 c1h=e ，即 c3h=c3?c1hc3 ， ?n 的直积群，c31?(r)?j(r)? 求出该表示含有哪些?gr求 c3h 的所有不可约表示的特征标系。(提示：见笔记)?*2.12 求 c3h 群在三维空间（基矢为e 上的表示，判断该表示1e2 e3 ）是否可约，如

9、果可约，写出该表示的约化形式，利用投影算符法找出该表示对应的对称化基矢。（设c3h 的主轴方向沿z 轴方向）提示：见笔记。2.13 证明直积群的所有不等价不可约表示都可表示为两直因子群的不等价不可约表示的直乘。提示：见笔记关于直积群的表示部分，分三步证明：直因子群表示的直积构成直积群的表示直因子群的两个不可约表示的直积必为直积群的一个不可约表示由直因子群不可约表示的直积得到的不可约表示是直积群的全部不可约表示。2.14 求出 c3v 群的所有不可约表示的特征标系及所有不可约表示的【篇二：群论.期末考试及参考答案】>s?c? ?h n?2 s2?c2?h?hc2?i222s2?c2?hc2

10、?h?c2?h?hc2?c2?hc2?c2ec2?c2?en?344 s34?c3?h?c3 5525s3?c3?h?c3?h 66s36?c3?h?en?43333s4?c4?h?c4?h444 s4?c4?h?e一、指出下列分子的对称元素及基于这些对称元素的所有对称操作oncl, h2o, nh3, cfclbri4. 具有畸变的四面体结构e二、任何一个集合，如果按照某一个乘法的定义，满足如下的四个性质，就是一个群。1 。封闭性2 。结合律3 。单位元素4 。逆元素三、用对称元素和他们的某种组合的符号，熊里夫符号1 、只有一个n 次对称轴的分子为cn, 如 c1, c2, c3, 如果是直

11、线型异核分子，有n 为无穷大，而且有任意多的通过主轴的对称面，所以叫做2 、有一个最高n 次轴，而且有n 个经过主轴的对称面，这样的cnv, 如果是没有2 次以上的转动轴，只有一个对称面的，如oncl ，则是c1v, c1h 或 cs3 、一个分子除了有cn 以外，还有n 个垂直于主轴的c2 轴，是 dn5 、同核双原子分子或具有对称中心的直线形多原子分子，为8 、构型 ab6 的分子 oh,四、判断下列分子有没有偶极距h2o, co2, so3 和 ph3有 没有 没有 有五、从分子的角度看，有旋光活性的充分必要条件是看分子不能与他的镜像重合如果这个条满足，那么分子以两种形式存在，并且具有相

12、等而方向相反的旋光活性这两种分子叫做对映异构体。具有 sn 轴的分子就是能与其镜像相叠合的。所以都是没有旋光活性的。具有对称面或者对称中心的分子也是没有旋光活性的。如果分子缺乏sn 轴，那么这个分子就不能与其镜像相叠合，所以具有旋光活性。六、判断下列分子是否具有旋光性oncl, cfclbri, h2o2 pcl5没有 有 有 没有乙烷： d3,e,c3, c32, c2, c2 , c2 ,重叠式甲烷：构型 ab6 的分子 oh ：八、c3h4f2:在构型 1 中，形成1 组假等同原子组和2 组等同原子组，出一个峰。在构型 2 中，形成3 个假等同原子组，出3 个核磁共振峰在构型 3 中，形成2 个等同原子组，出2 个核磁共振峰九、分别确定甲苯、对二甲苯、1 ， 3， 5 三甲基苯的对称数甲苯骨架属于c2v 所以对称数为2=6对二甲苯的骨架也是属于d2h, 所以对称数为4x3x3=36三甲基苯的骨架属于d3h ，所以对称数为6x3x3x3=126【篇三：群论习题精解马中骐著,-北京：科学出版社 ,2002 年】内容简介：本书是物理学中的群论配套的习题集，主要包括群的基本概念、群的线性表示理论、三维转动群、晶体的对称性、置换群、su(n) 群、so(n) 群和洛伦兹群、李群和李代数，后者是中国科学院研究生数学丛书之一，