基于马尔科夫的医疗转诊策略研究

1、第 卷 第 期年 月工业工程与管理 文章编号：（）基于马尔科夫的医疗转诊策略研究莫钒，李娜，于欣（上海交通大学 工业工程系 ，上海 ）摘要：基于马尔科夫理论对医院之间转诊合作问题进行建模 ，将其转化 为排队问题进行研究。 首先采用分解思想结合矩阵几何的方法求解系统中病人平均等待时间 、资源利用率等主 要系统评 价指标，然后使用 仿真验证近 似解的准确性 ，最后从经济收益的角 度探究了不同规模医院 合作时的最优转诊策略 ，为医院之间进行转诊合作提供了决策参考和理论依据 。关键词：医疗转诊；排队论；矩阵几何；仿真中图分类号：文献标识码： ， （，）： ， ， ， ， ，：；引言年国务院关于发展 城

2、市社区卫生服务的 指导意见明确指出，建立社区卫生服务机构与大医 院分 工 协 作、双 向转 诊 的 城 市医疗服务体系 ； 年新医改 意 见 中 提 到 要 引 导 一 般 诊 疗 下 沉 到 基 层，逐步实现社区首诊 、分级诊疗和双向转诊 ；目前， 北京、上海、深圳等城市正积极探索医联体的服务模 式，通过双向转诊对区域内医疗资源进行整合 ，取得 了一定的成效。 然而，转诊制度在实际推行中仍面 临诸多困难，特别 是出于利益考虑大医院不愿让病 人转诊，呈现出“转上容易转下难”的现象。目前对于转诊问题的研究多为针对制度政策的 理论分析，指 出 制 度 设 计 的 不 足 并 提 出 改 进 建 议

3、， 如，赖 伟、陈 敏生指 出，目 前双向转诊在制度设计 与现有政策之间存在矛盾 ：公立医院公益性与医院 市场化间的矛盾、医疗机构区域规划与病人就医惯 性的冲突等。张晓玲、李 红玉提 出可以借 鉴 澳 大 利亚社区卫生服务机构的模式 ，推广全科医生首诊 制。赵茜倩、潘 习龙指 出由于医院和社区 卫 生 服 务机构存在利益冲突 ，故而在建立转诊体系时 ，需要 考虑居民、各级医院之间的利益博弈 。 少数研究采 用数学建模的方法对转诊问题进行了量化分析 ，如基于 考 虑 的 模 型 研 究 了收稿日期 ：； 修回日期 ：基金项目 ：国家自然科学基金重点项目（，）作者简介 ：莫 钒（），广 西桂林人

4、，硕 士研究生 ，主要研究方向为服务系统排队问题 。 工业工程与管 理第 期给予社区首诊后向大型医院转诊的病人优先权的转 （） （）诊策略，研究表明这种策略能够激励病人社区首诊 ， 提高整体医院的资源利用率。而本文着重研究大型 医院将部分术后复健病人向社区医院进行转诊的问 题，以医院收益 为优化目标 ，以 转诊率为决策变量， 基于马尔科夫链的排队理论进行建模和分析 ，从 而 提出在不同条件下医院愿意接受的转诊策略。问题描述与数学建模部分疾病（如冠心病）的治疗过程具有明显的两 个阶段： 诊 疗 阶 段 和 康 复 阶 段。诊 疗 阶 段 主 图 转诊模型示意图 同样，对 而言，其净利润 可由式（

5、）求 得，其中： 为 的服务收益人， 为其资源利要包括手术、门 急 诊 等，对医 院的医疗水平要求较 用率， （）（）高，多 数 只 能 在 大 型 医 院 （ ，）完成；康复阶段主 要包括护理、疗 养等，对 医、分 别 为 各 队 列 平 均 等 待 时 间，、分别为两个队列的等待惩罚系数 ， 为 的资源耗损系数。院医疗水平要 求 较 低，既 可 在 进 行，又 能 在 社 （） （） （）区卫生 服 务 中 心 （ ，）进 行。为了缓解 排 队 长、看 病 难 的 问 题，可 将 部 分 在 完成阶段治疗的病人转诊到 进行阶段 康复，以腾出 的资源来服务更多重病患者。 一 方面，由于不明晰

6、转诊策略是否能增加医院收益 ，通 常 不愿将病人转诊出去，使 得转诊政策难于落 实。另一方面，虽 然 接受转诊病人能够增加其 收益，但同时也会使原有的普通病人排队时间增大 ，这使得 只能接受一定比例的转诊病人以免过度 降低了服务质量。如图所示，本文将针 对 向 转诊阶 段病人的问题进行建模分析。 假设病人分两类 ， 类需接受、两个阶段治疗，类病人只需接受 阶段治疗，且类病人只在 就医，即不考虑病人 不规范就医的问题，假设两类病人 的到达率分别为 、，且均服 从 泊 松 分 布； 阶 段 和 阶 段 整 合 起 来为一个二阶 分 布，参 数为 、； 和 的 资 源 数 量 （可 理 解 为 病

7、床 数 ）分 别 为 、；令 转 诊 概 率 为 。 其 中， 、 分 别 表 示 图中相应队列的等待队列 ，并假设 等待队列无容量 限制。在 ，采 用 转 诊 病 人 享 有 优 先 权 的 服 务 规 则，即转诊 病 人 可 优 先 于 到 达的普通病人接受 服务。那么对 而言，其净利润 可由式（）求（）模型求解与仿真检验对于 ，其过程具有独立性，可以简单进 行系 统分解，将其理解为图 所示的队列。 对于 ，其 到 达 过 程 为 一 个 具 有 优 先 权 的 马 尔 可 夫 到 达（，从 转出的病人）和一个泊松到 达 （，普 通康复保健病人）。 到达与 具有相依性， 且甚为复杂。根据流

8、平衡理论，本文对其进行一阶 近似，假设为参数 泊松到达，并在后续进行 仿真验证。其排队模型如图 所示。图 拆分后的转诊模型示意图 本章将对 和 模型分别求解计算，采 用 马尔科夫链的理论知识，使 用矩阵几何方法对 求出其数值解，使 用 享 有 优 先 权 的 排 队 模 型 对 求出其解析解。模型求解出，其 中，、 为相应治疗阶段的服务收 益人， （） 计算状态转移概率 、 分别为 各 阶 段 的 资 源 利 用 率，为 队 列平均等待 时 间， 为 病 人 等 待 惩 罚 系 数 ， 为 的资源耗损系数。 定义：（，） （系 统中排 队 人 数， 阶 段 就 诊 人数，阶段就诊人数 ）， ，

9、并 且）所 （） 满足 的 约 束。 系统状态转移 如 图 （ 第 卷莫 钒 ，等 ：基于马尔科夫的医疗转诊策略研究 示，其中表示无排队等待时的状态转移概率 ，表示排队人数 不为零时的状态转移概率。（，）（，）：系 统中有 位病人 到达，阶段就诊的人数加；（，）（， ，）： 位 病 人 完 成 阶 段 的 诊 疗，转 诊 去 接受阶段的治疗；（，）（，）： 位 病 人 接 受 完 阶 段 诊 疗，离 开 系 统；（，）（，）（）： 位病人接 受完阶段诊疗，在 继续 阶段治疗；（，）（， ）：系 统中有 位病 人到达，排队等待的病人 数加 ；（， ） （，）： 位病人结束 阶段诊疗 后转诊离开，

10、同时 位在 排队的病人开 始 阶 段 诊 疗；（， ）（， ）（ ）： 位病人接受完 阶段诊疗后离开 ，同 时位排队病人开始 阶 段 诊 疗；（， ）（，）（）： 位病人接受 完阶段诊疗，在 继续阶段治疗。 求解状态转移矩阵 图 模型状态转移图 烄 烌根据图 将系统按等待人数进行分层 ，即 系统中有 位病人等候时为第 层。根据状态转移图的 结构，状 态 转 移 矩 阵 将 具有典型的三对角线 （）（）（）性质：烆烎 矩阵 中，位于对角线下方的元 素表示层数烄烌 烆烎其中，是维 数为 （ ）的 方阵。 矩阵 如 式 （）所 示，对 角 线 上 的 元 素 表 示 层 数 时，阶段有 个病人正在接

11、受诊疗 ，其中有 位病 人完成诊疗并转诊的概率是，此 时 另 一 位 正 在排队的病人得以进入系统 ，即 从状态（，）转 移 至状态（，）；超对角线上的元素表示层数 时，阶段有 位病人正在接受诊疗 ，其中有一位时， 阶段有 个病人正在接受诊疗，其 中有 位病人完成诊 疗 并 继 续 接 受 阶 段 诊 疗 的 概 率 是 （），此时另位正在排队的 病人进入系统， 即从状态（，）转移至状 态 （，）；对 角线上的元素 等 于 矩 阵 中 其 他 非 对 角 线 元 素 之 和的负数，其他元素均为零。矩阵 如式 （）所 示，表 示任何 时，病 人 以 的概率到 达，即 从 状 态 （，）转 移 至

12、 状 态 （，）， 是 维 数 为 （ ）× （ ）的 单 位 矩阵。 （）矩阵 、为 矩阵的边界值。 是维病人完成诊疗后离开系统的概率是，此 时另 （）（）数为（）的 矩阵，表 示系统位正在排队的病人进入系统 ，即 从状态（，）转 移至状态（，）。× 从没有人排队到系统中恰好有一个人排队的状态转（）（） 移概率 。 是维数为（ ）× 工业工程与管 理第 期的矩阵，表示系统 从只有一个人排队到系统中排队 烄（，）， 人数 为 零 的 状 态 转 移 概 率。 是 维 数 为 （ ）（ ） 的方阵，表示没有人排 队时系统状态转 烅 （）移概率。由于 的 结 构 复

13、杂，所 以 需 再 应 用 矩 阵 几何的方法对其进行分解 ，如式（）所示。（， ）， 烆根据矩阵几何理 论 有 （），其 中 被称为 比率矩阵。对于具有三对角线特征的烄 烌矩阵，可 以 用 迭 代 法 求 解，令 初 值 ， （）（ ） ，。 其 中 ， 。烆， 烎 再由齐次线性方程组和可联立求解其中，（ ）是 维 数 为 （ ）× （稳态概率。则系统主要系统指标可由下式求出 ：）的矩 阵，其 对角 线 上 的 元 素 表 示 阶 段 有 （， ）个病人正在接受诊疗 ，其中有一位病人完成诊疗并 转诊的概率是，表 示 系 统 状 态 从 （，）转 至 （，）；其超对角线上的元素表示阶

14、段有 个病人正在接受诊疗，其中有一位病 人完成诊疗并继 （，）续接受阶段诊 疗的概率是（），表 示 状 态 （， ，）从（，）转 至 （，），其 他 元 素 均 为 。 ，（）是维数为 （ ）的 方阵，对 角线上的元素等于 矩阵 中其他 非 对角线元素之和的 （）（，）负数，位于其对角线下方的元素表示阶段有 位病人正在接受诊疗，其中有一位病 人完成诊疗后离 开系统的概率是，表示系统状态 从 （，）转 至 （ ） 模型求解定义 中转诊病人和普通病人的资源占用率（，），其他元素均 为 。， （ ）分别为 、 ，由 于 病 人 接 受 服 务 的是维数为（）× （ ）的 矩 阵，表 示 病

15、人到达后可立即接受阶段诊疗，即 系统状态从 （， ，）转至（，），矩 阵所有 非 零元素均在对角 线上且等于。 求解系统稳态概率与性能指标当 转 诊 率 为 时，系 统 服 务 率 先后顺 序 并 不 影 响 服 务 台 忙 闲 时 间 的 分 布 ，所 以 总的资源利用率 和典 型 的 排 队 模 型相同，可得 。要使系统有稳态解 的前 提条件是 ，由 此可求得转诊率 对于 系 统能够达到稳态的约束条件为 。（ 由于 模 型 是 典 型 的 享 有 优 先 级 的 排 队 模），当且仅当 总的资源利用率型，所以其主要系统评价指标可由下式求得 ，具体推 （） 时才有稳态解，得 到 对于 导过程

16、参见。系 统 能 够 达 到 稳态的约束条件为 （） （！（）！ ）。令稳态时系统处于状态（，）的概率为 （， （），系统处于第 层的概率为，令概率向量，。那么 与 （，）的 关系见式（），（）（） ！（）（）！ （）（）值得 注 意 的 是， 为 × 的 行 向 基于 软件进行仿真检验量，而（）为×（）的行向量。本文以冠心病为案例研究，依 据北京阜外心血 第 卷莫 钒 ，等 ：基于马尔科夫的医疗转诊策略研究 管病医院 年 年 报 获 取 模型的相关参数， 主要参数为， ， ， 。 假 设与此 合作的 的主要参 数 为 ， ，。根据图 （）模 型 构 建 仿 真 模 型，以

17、 “天 ”为基本的时间单位，设置仿真预热 时间和运行时间 、，改变、； 固 定、，改 变；固定、，改 变 、。 相 对 误 差 由 式 （）计算，其中 仿 真 值 为 软 件 重 复 十 次 运 算 的 均 值。绝大多数 结 果 的 相 对 误 差 小 于 ，故 可 认 为 以上算法结果较精确。部分对比结果见表。仿 真 算 法分别为，和，天，以确保系统达到稳态 。 设计了三 组 实 验 检 验 以 上 算 法 的 精 确 性 ： 固 定误差 仿真×（）表 部分计算结果误差分析表（ ， ， ， ，改 变 ） 主要性能指标 （天） 主要性能指标 （天） （天） （）算法 仿真 误差 算法

18、 算法 误差算法 仿真 误差 算法 仿真 误差 算法 仿真 误差 医疗转诊优化决策研究 模型优化决策基于 冠 心 病 各 阶 段 的 治 疗 费 用，令 ，元， ， 元， 元，则 节考虑到去 就诊的多数是重病患者，如 果不 能及时治疗将会加重病情甚至危及生命，所 以 的管理者应充分重视病人等待惩罚的因素 ，在 后续 的研究中令 。另外，通 过 大 量 实 验，我 们 发 现 可 由 式 （）、式所述的 的 净 收 益 由 式 （）可 求，假 设 转 诊 率 为（）可以近似获得 和 。 时其净 收 益 达 到 最 大。 研 究 发 现，随 着 病 人 等 （）（）待惩罚系数 增 大，值 不 断

19、右 移。 当 （）（） （）（） 为零或者很小时，医 院净收益随着转诊率 的增大因为 不随 变化，所以当固定时，改变 对而减少，即 ；当 时， ；当 几乎没有影响；而 随的增大而减小，所以当 时， ，如 图 （）所 示。 由 此 可固定 改变时，随着 的减小而增大，由知，对某个病种来说，如果它对医院造成的病人等待惩罚系数越大，则 适当增大转诊率将有利于提高医 院净收益。图 不同等待成本下 对 的影响图（）和图（）可见。另外还可发现， 随着增大而明显增大，所 以当 增大或者 考虑潜在病人 流时，可以转诊更多的术后病人以提高其净收益。图 固定 ，改 变 工业工程与管 理第 期另外， 受和 的影响很

20、显著，由 图（）和图（）可见，当 越小或者 越大时， 越大。 而 和 是 反 映 转 诊 前 资 源 利 用 率 的 主 要 参数，也就是说当 转诊前 资源利用率越低时 ， 需要接收越多的转诊病人来提高其净收益。图 固定 ，改 变 模型优化决策本节 延 用 节 中 的 参 数： ， ，令 ， 元， 元， 。，令 净利润最大时 的资源利用率 、各 队列平均等待时间及净收 益与转诊率 的关系见表 。 当转诊率 为零时， 只有 ，该 科 室 每 日 收 益 不 足 元，这 和当前很多社区医院无人问津 、收益堪忧的状况相符 ； 当 从 增至 时， 增大 到 ，其 净 收 益 从 元增至 元，而 转诊病

21、人和普通病人的平均等待时间只分别增加了 天和 天，等 待时间增加速度相对较小 ；而当 从继续增大时， 越来越接 近 于 ，因此普 通 病人的平均等待 时间迅速增大，当 时普通病人的平均等待 的影响图 对 图 时间增大到天，造成其等待惩罚成本增大速度 大于收益增大速度，反 而会减少其净收益。 由此可 见， 接收的转诊病人并不是越多越好 ，其 净收益 对 的影响 与 联合优化决策由于 转诊的意愿度 和接受转诊的呈现随着 增加而先增后减的趋势。 表 各项性能指标与 的 关 系 意愿度 可能并不一致，本节将探讨以下三种情 况中 和 合作时 应 该 如何设置转诊率 的 （）（）问题 使其能够更好地进行转

22、诊合作。，（） 与 非常接近，如 图（），其 中 ， ， 。 当取转 诊率 为时，能够大幅度增加 和 的净 收益。 同时， 的病人平均等待时间从 天减小到天，此时 中转诊病人和普通病人的平均 等待时间也只有 天和 天。 这样规格的医 院非常适合匹配进行转诊合作 ，我们可以通过调研 各医院的基础数据，将 适合匹配的 和 的信 息反馈给医院，促进更多能够双赢的医院进行合作 。 第 卷莫 钒 ，等 ：基于马尔科夫的医疗转诊策略研究 多的转诊补偿 费 用，以 增 强 合 作 的 意 愿，建 议 转诊率 取左右，此时 中病人平均等待时 间为天， 中转诊病人和普通病人的平均等待时间分别为天和天。图 与 非常接近（） 与 相 差 不 大，如 图（），其 中 ，