大一下学期高等数学期末考试试题及答案

1、大一下学期高等数学期末考试试题及答案高数高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 院（系）别班级 学号 姓名成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）rrrrrrrrr1、已知向量a、b满足a+b=0，a=2，b=2，则ab=3z2、设z=xln(xy)，则= 2xy3、曲面x2+y2+z=9在点(1,2,4)处的切平面方程为4、设f(x)是周期为2p的周期函数，它在-p,p)上的表达式为f(x)=x，则f(x)的傅里叶级数 在x=3处收敛于 ，在x=p处收敛于 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则(x+y)ds=L以下各题在答题纸上作答

2、，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）2222x+3y+z=91、求曲线2在点M0(1,-1,2)处的切线及法平面方程 22z=3x+y2、求由曲面z=2x+2y及z=6-x-y所围成的立体体积 3、判定级数2222(-1)nlnn=1n+1是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ nxz2z4、设z=f(xy,)+siny，其中f具有二阶连续偏导数，求 ,yxxy5、计算曲面积分dS2222,其中是球面被平面z=h(0h0)五、（本题满分10分）xn求幂级数n的收敛域及和函数n=13n六、（本题满

3、分10分）计算曲面积分I=3322xdydz+2ydzdx+3(z-1)dxdy， S其中S为曲面z=1-x2-y2(z0)的上侧七、（本题满分6分）设f(x)为连续函数，f(0)=a，F(t)=z+f(xWtt02+y2+z2)dv，其中W t是由曲面z= 与z=所围成的闭区域，求 lim+F(t) t3 -备注：考试时间为2小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准一、填空题【每小题4分，共20分】 1、-4； 2、-二、试解下列各题【每小题7分，共35分】1；3、2x+4y+z=14； 4、

4、3，0； 5 y2dzdy3y+z=-2xdy5xdz7xdxdx1、解：方程两边对x求导，得， 从而，.【4】 =-dx4ydx4zydy-zdz=-3xdxdxur571该曲线在(1,-1,2)处的切向量为T=(1,)=(8,10,7).【5】488故所求的切线方程为x-1y+1z-2.【6】 =8107法平面方程为8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0 即 8x+10y+7z=12.【7】z=2x2+2y2x2+y2=2，该立体W在xOy面上的投影区域为Dxy:x2+y22.【2】、解： 22z=6-x-y故所求的体积为V= dv=dqW 2p0dr6-r22r2dz=2p0(6

5、-3r2)dr=6p.【7】11n、解：由limnun=limnln(1+)=limln(1+)=10，知级数un发散【3】nnnnnn=1又|un111【7】 |=ln(1+)ln(1+)=|un+1|,lim|un|=limln(1+)=0.故所给级数收敛且条件收敛nnnn+1n、解：z11=(f1y+f2)+0=yf1+f2， 【3】xyy1x2zx11x-2f2-3f22.【7】x+f12(-2)-2f2+f21x+f22(-2)=f1+xyf11 =f1+yf11yyxyyyyy、解：S 的方程为z=，S在xOy面上的投影区域为Dxy=(x,y)|x2+y2a2-h2 .【】2pdS

6、adxdy=2=a dq故2200za-x-ySDxyrdr122=2pa-ln(a-r)a2-r220a=2paln.【7】h 三、【9分】解：设M(x,y,z)为该椭圆上的任一点，则点M 到原点的距离为d=令L(x,y,z)=x2【1】+y2+z2+l(z-x2-y2)+m(x+y+z-1)，Lx=2x-2lx+m=0L=2y-2ly+m=0y-1Lz=2z+l+m=0，解得x=y= 则由z=2m 222z=x+yx+y+z=1 M1(-1+-1-1-1,2M2(【7】 2222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 故dmax=|OM2|=d

7、min=|OM1|= 【9】四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得I2=而I1xx2【5】 (esiny-m)dx+(ecosy-mx)dy=-mds=-ma8DL+p=(esiny-m)dx+(ecosy-mx)dy=-mdx=-ma【8】 xxxxa(esiny-m)dx+(ecosy-mx)dy=I2-I1=ma-Lp8ma2. 【10】 an+1n3n1=lim=R=3，收敛区间为 (-3,3)【2】 五、【10分】解：r=limnann+13n+13n-1)(1又当x=3时，级数成为，发散；当x=-3时，级数成为，收敛【4】nn=1n=1nn故该幂级

8、数的收敛域为-3,3)【5】xn令s(x)=n（-3x3），则n=1n3 xn-11xn-1111, (|x|3) 【8】 s(x)=n=()=3n=1331-x/33-xn=13于是s(x)=x0s(x)dx=xdx（-3x3）.【10】 =-ln(3-x)0=ln3-ln(3-x)，03-xx 22六、【10分】解：取S1为z=0(x+y1)的下侧，记S与S1所围成的空间闭区域为W，则由高斯公式，有I2=S+S12x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy=6(x2+y2+z)dv. 【5】W 而I1=6dqdr 2p1-1r20(r2+z)rdz=2p.【7】=2x3dydz+2y3dzdx+3(z2-1)dxdy=3(z2-1)dxdy=3S1S1x2+y21dxdy=3p. 【9】I=I2-I1=2p-3p=-p. 【10】 p七、【6分】解：F(t)=2p02r2dr. 【2】 dq4sinjdjrcosj+fr()00tpt