例题讲解_米勒问题之教学设计说明

1、例题讲解：米勒问题教学设计数学科学学院 118 班蔡洁慧20110008008教材分析1 1 .本例题是在学习了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圆的相关知识例如圆周角等等进行讲解的，因此知识基础比较扎实。2 2 .本例题是著名的经典题目,用于解决最大角问题,涉及到最大值问题,在今后的最值问题解决中有着重要的地位，为解决最大角问题提供有力的工具，省去很多繁琐的步骤。3 3 . .本例题运用了数形结合的思想，引导学生善于把问题几何和代数之间相互代换得以解决。4 4 .本课对学生的动手能力,观察能力都有一定的要求,对培养学生灵活的思维,提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。5 5 .本课内容

2、安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。学情分析1 1 . .授课班级学生基础较好，教学中应给予充分思考的时间，并且以引导学生思考为主。2 2 .该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。3 3 . .本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。教学目标知识与能力目标1 1.了解米勒问题，并且理解米勒定理。2 2.学会解决米勒问题，并能够运用一定的空间想象能力3 3. .培养学生在解决实际问题与生活实际联系的能力。过程与方

3、法目标1 1.经历探索解决米勒问题的过程，进一步探索米勒定理的证明过程。2 2. .经历应用米勒定理解决问题的过程。情感与态度目标1 1.学生在探索的过程中，感受动点移动时带来的角度变化的动态美，体会数学的奇妙性；2 2. .在交流的过程中，体会与别人交流的重要性。教学中的重点、难点重点1 1.利用直角三角形和基本不等式知识解决米勒问题2.2.利用米勒问题得出的结论解决一般米勒问题并给出证明难点M.M.用代数方法解决后转换为几何的结论2.2.一般米勒问题结论的证明主要教学手段及相关准备：教学手段1.1.使用导学法、讨论法2.2.运用多媒体辅助教学3 3.调动学生积极性，帮助理解准备工作多媒体课

4、件片断，辅助难点突破教学设计策略依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中主要体现设计思想策略1.1.回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。2.2.原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。3.3.教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。教学步骤及说明,生活动教师活动教学目标教学说明1 1、学生跟着教师的1 1、介绍问题：，路进行想象14711471 年德国数学家米培养学生根据题目给出让学

5、生了解题目，并让勒向诺德尔教授提出如的信息动手作图，培养学同学想象，培养学生自下一个十分有趣问题：生学会运用数形结合的主探索的学习能力，以在地球表向的什么部位，思想方法。及学生们交流能力。一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？用多媒体软件进行教学， 给学生直观的形象， 引导学生学会运用已知条件去探索未知2 2、根据几何画板的 2 2、几何画板演示：演示并跟着教师的把文字的问题转化为几思路思考问题何图形表示出来培养学生的空间想象能力，并引导学生解决问题量。3 3、观察并思考，跟3 3、把几何问题转化为代培养学生学会几何与代运用直角二角形和基着教师解决问题数问题，引导学生进行回答数进行转换本不等

6、式的知识解决问题，本节课的重点之4 4、思考并积极回答4 4、根据代数方法得到答培养学生运用已知知识这是本节课的难点，学问题案，并把结论转换为几何解决一般简单问题能力，生难以突破结论，复习切割弦定理同时对于知识的回顾，加深巩固。5 5、随着教师思路进5 5、得到关于米勒问题的培养学生善于思考探索抛出问题引导学生思行思考几何结论，并提出为什么的精神考要总结几何结论6 6、学生按照教师的6 6、给出一般米勒问题：学生体验从特殊到一般由特殊问题过渡到一提示进行思考问题在已知直线 l l 的向侧有的过程。加深对一般情况般问题，循序渐进，关P P、Q Q 两点，试在直线l l 和特殊情况的理解，提高键在

7、于引导和启发，给上求一点 M,M,使得 M M 对学生对问题的敏感度。予学生充分的时间，必P P、Q Q 两点的张角，即最要时候使用事先准备大？的多媒体辅助教学，从实际结果看，学生在多媒体的启发作用下，应该会有一个思维上的7 7、通过教师演示，7 7、用儿何圆板演不，把培养学生通过比较两者突破。得到特殊米勒问题特殊米勒问题与一得到两者的区别的能力与一般米勒问题的勒问题进行对比，说明两区别者的不问，并说明用类似的代数方法无法解决8 8、 跟随教师的思路并积极回答问题，学习新的知识8 8、 引导学生善于应用几培养学生善于巧妙地运何结论去解决问题， 并进用新的结论来解决新的行证明， 注意新知识的补问

8、题， 培养学生严谨的数充并说明学态度， 对得到的答案给予严谨的证明9 9、 做好笔记并进行知识巩固9 9、总结，说明米勒问题头质上 TETE 求最大角问题， 因此得出的结论就是为了解决一般的米勒问题，即一般的求最大角问题。培养学生学会总结的能力，并养成举一反三的能力，达到学以致用的目的在课堂最后进行总结，并得到结论，告知学生该结论用于解决最大角问题，让学生能够学以致用。课后小结：由于运用了一定的教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。教学分析1 1 . .米勒问题是求最大角问题的特例,通过解决米勒问题得到几何结论,根据这

9、个结论可以事半功倍得解决一般最大角问题，因此讲解这道题对于学生解决问题十分有必要。2 2 . .米勒问题应该安排在高二第二个学期,因为米勒问题应用的知识比较综合,并且要有一定的空间想象力，而且要对几何与代数之间的转换有一定的了解，因此放在高二第二个学期讲解比较合适。3 3 . .米勒问题是一道经典的数学题,对于培养学生对于研究数学和拓展课外知识很有必要,U U学生领略到数学的美妙神奇之处。4 4 . .在证明一般米勒问题的时候,需要补充圆外角的相关知识,在解决问题的同时,可以让学生初步了解圆外角知识并学会应用。教学设计脚本教师：同学们好，今天我们要解决一道世界著名的经典题目一一米勒问题。（点开

10、 PPTPPT）既然是是米勒问题，那么我们就先了解一下米勒问题是什么？14711471 年德国数学家米勒向诺德尔教授提出如下一个十分有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大）？这是一个非常著名的 100100 道经典数学问题其中的一道题，大家先自己理解一下题目的意思。请同学们在草稿本上面画一下草图好，现在老师用几何画板演示一下（点开超链接，出现几何画板）教师：大家看一下，我们把垂直悬杆简化成这个 ABAB 这段线段。大家在初中的时候已经学习地理，知道地球是一个球面，但是为了研究问题的需要，我们就把地球表面看成是一个平面，所以问题就转化为，在地球上面找到一个点 D,D

11、,使得人在这个位置时，悬杆呈现最长，也就是可见角 ADADB B是最大的。教师：老师延长线段 ABAB 到平面并交于点 C,C,再连接 CDCD, ,以点 C C 为圆心，CDCD 为半径作圆（几何画板演示）大家想象一下，点 D D 在圆上移动白时候，ADBADB 有没有变化？学生 1:1:老师，是没有变化的。教师：很好，也就是说，在这个圆上的点都不会影响可见角 ADBADB, ,在圆心不变的情况下,只有半径不同的其他圆才会影响 ADBADB 的大小对不对？学生：对。教师：也就是说，我们可以把这个空间的问题转化为平面问题。（几何画板演示）那么是不是说，就一定会存在这个点 D D 使得 ADBA

12、DB 达到最大呢?学生 1:1:应该是存在的教师：如果存在的话，应该在什么位置呢？学生 1 1：老师，肯定越近可见角越大学生 2 2：不，我觉得是越远可见角越大教师：那好，有争议的话，我们再用几何画板演示一下现在我让点 D D 一直向中间移动，同学们要留意 ADBADB 是如何变化的？（几何画板演示）学生：ADBADB 是先变大，后来又慢慢变小教师：对了，也就是说，在这条直线上，总会存在一个点，使得 ADBADB 最大，对不对？学生：对。教师：那么我们要在这条直线上找到这个点呢？学生：可以转化为求点 D D 到交点 C C 的距离。教师：对了，要求 CDCD 的长度，那么我们设 CDCD 的长

13、度为 x,x,问题就转化为当 x x 为多少时，ADBADB 最大？为了解决这个问题，我们把 ACAC、BCBC 的长度当成是已知的，AC=m,BC=n,AC=m,BC=n,把一些需要的角标一下，、，这里的也就是 ADBADB（打开 PPTPPT）学生 2:2:教师：也就是（板书出来）我们在上面已经求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值吗？要怎样求？学生1:tantan（）tantantantan（教师板书出来）1 1tantantantan教师：请继续。学生 1:1:把刚刚 tantanm和 tantan代入上式教师：很好，那么大家动手把数据代入并进行化简。那么有那位同学化简得到最终的结果

14、?证明：则有由基:已知 AC=m,BC=n,CD=xAC=m,BC=n,CD=x, ,（x0 x0）, ,求当 x x 为多少时，教师：那么我们就要用这些已知的条件来解决这个问题了。大家先看一下 VACDVACD,刚刚说了悬杆是垂直于地球表面的,学生：直角三角形教师：那么 ACAC、CDCD 与之间有什么关系？最大？（黑板板书）所以 VACDVACD 是一个什么三角形?学生 2 2：tantanm（教师板书出来）x x教师：很好，那么我们再看 VBCDVBCD 呢?学生 1:1:同样是一个直角三角形教师：所以也可以同样得到怎样的关系式？学生 1 1：tantann（教师板书出来）x x教师：那

15、再看看之间有什么关系?C学生 2:2:tantanmn（教师板书出来）mnxmnxx x教师：好的。那么我们看看，我们要求的最大值，是不是就是求 tantan 的最大值？学生：是的。教师：看看上面式子，那些是已知的？学生：m,nm,n教师：所以说，m-nm-n 就是一个定值，那么要求 tantan 的最大值，只需要求式子的分母的最小值，对不对？学生：对。教师：那好，我们就把分母分离出来，xmxm（板书出来）x x现在要求的是 xmxm的最小值，也就是应该要 x xS S（板书出来）xxxx同学们看出什么了吗？学生：基本不等式教师：那要怎样做下去呢？学生 1:1:xmxm- -n2n2j jmn

16、mn（教师板书出来）x x教师：什么时候等号成立？学生 1 1：当 x xS 时，算得 x xj jmnmn（教师板书出来）x x2.-教师：也就是，xmnoxmno 好，到这里已经把结果算出来了，同学们回答一下题目提出问题的答案？学生：当 x xj jmnmn 时，tantan 取得最大值，也就是取得最大值。教师：同学们看一下，我们解决这个问题的时候，先把几何的问题转化为代数问题，再用代数的方法把问题解决了， 但是如果每次都遇到这种问题， 都要算这么多是不是很麻烦？我们在上面的计算过程， 有没有得到什么启示？学生 i i：当 x xj jmnmn 时，取得最大值。教师：很好，这也算是一个结论

17、，有没有一个关于几何方面的结论呢？学生：（思考）教师：刚刚所说的，CDx xJ Jm mT TJABBC,也就是CD2ACBC,那么根据这个式子有没有想到关于圆的一些性质？老师在这里提示一下，大家还记得切割线定理吗？（PPTPPT 展示）这里 PAPA 是圆 O O 的切线，BCBC 是圆 O O 的一条割线，那么切割线定理是怎么描述的？学生：PAPA2PBPCPBPC2教师：这个等式跟上面所说的，CDCD2ACBCACBC 在形式上是不是有点相似啊？学生：PAPA 对应 CDCD, ,PBPB、PCPC 分另灰应 BCBC、ACAC, ,也就是 CDCD、ABAB 分别是某个圆的切线、割线。

18、教师：对了，表示出来就是这样子的图形（PPTPPT 展示）“口所以我们有下面的结论：结论：当且仅当过 ABDABD 三点作外接圆且 CDCD 与该圆相切的时候，ADB最大。同学们可能在这个时候就要问，得出这个结论有什么用？老老实实用代数的方法去算不就行了吗？带着这个问题，下面我们再看一道题目（PPTPPT 展示）在已知直线 l l 的同侧有 P P、Q Q 两点，试在直线 l l 上求一点 M,M,使得 M M 对 P P、Q Q 两点的张角,PMQPMQ 最大？教师：那我们来看看这道题跟第一题有什么区别？（几何画板演示）我们连接 PQ,PQ,再延长 PQPQ 到直线 l l 交于点 O,O,跟第一题画的图比较一下（几何画板演示）同学们看一下，PQPQ 是不是相当于把悬杆 ABAB 倒置了一样，还有哪些是相对应的?学生 2:2:POPO 对应 ACAC, ,PMQPMQ 对应 ABD,ABD,教师：既然有那么多