与自然数n有关的不等式证明

1、与自然数n有关的不等式的证明内江六中 黄兴友【摘要】与自然数有关的不等式证明是高考中一种较难的题型，具有一定的技巧性。这类不等式与一般的局部不等式不同，侧重点不在于要求十分严格的精确放缩，而是对整个不等式的宏观把握，用简单易行的方法推得最后结论。【主题词】自然数 不等式证明 、构造数列、放缩法与自然数有关的不等式证明是高考中一种较难的题型，具有一定的技巧性。这类不等式与一般的局部不等式不同，侧重点不在于要求十分严格的精确放缩，而是对整个不等式的宏观把握，用简单易行的方法推得最后结论，笔者大致研究了高考中出现的这类题型，总结了一定的方法和思路，如：通过求和证明、构造数列、放缩法、分类讨论法等（数

2、学归纳法也可考虑，但通常用于局部不等式的证明）。其中，构造数列与放缩法是最重要的两种方法。一、通过求和证明这一类题较为简单，大多为等差、等比或可裂项的数列（函数）。通过求和转化为局部不等式，大大降低了证明难度。但有时“可求和”这一条件较为隐蔽，需要去挖掘。例题：（08，湖南18）数列满足，（）求，并求数列的通项公式；（）设，.证明：当时，.二、构造数列构造数列（函数）是证明这类不等式的重要方法，通常构造等比数列或可裂项数列。1、构造等比数列此法多用于形如（为常数）的不等式。如果我们能构造出一个等比数列，能使得，且均成立，不等式即可得证。一般来说，构造等比数列需满足两个条件：单减，且随的增大而趋

3、近于0；对任意的，都有。当然这也不是绝对的，只要发现其有类似于等比数列的性质即可。的值如何确定呢？可令为首项，并设公比为，则要有：成立，通常令，解出（还要看是否满足条件）。由此，不等式转化为：. 此时，我们只需证明对应项不等式成立，即成立（可利用递归证明）。2、构造可裂项求和的数列此法多用于另一种情形，如：，这种结构可考虑裂项解决。即：所以，我们只需证明：时: ，时: 即可。 特别的，有时是经过了二次放缩的结果，改变了裂项的结构，导致不能恒成立。此时，若无明显思路，可通过后面的放缩法进行强制裂项，再二次放缩为。即：.例题：（02，全国旧课程22）设数列满足：，（）当时，求，并由此猜测出的一个通

4、项公式；（）当时，证明对所有的，有：（）； （）（10，湖北21）已知函数 的图像在点处的切线方程为.（）用表示出，；（）若在上恒成立，求的取值范围；（）证明： .三、放缩法放缩法在不等式中应用最广，也是其中的难点。在放缩时，要发现和选取最合适的放缩。1、 重要的不等式。这是最重要的核心不等式，凡是与有关的放缩均可考虑。它不仅能衍生出许多不等式，还能将超越式和基本初等函数相结合，简化不等式。二项式放缩：二项式是连接指数与幂函数最有力的工具，形式简洁，更可让数学归纳法黯然失色。在运用时，需注意其灵活性。如：不仅可以放缩为，也可放缩为等等。糖开水加糖：，.看似十分简单，有时却十分管用。均值、贝努利

5、不等式：很少涉及，可适当了解下贝努利的变式： 一些特别的不等式。如： 等。2、 重要的应用：凸函数。（这里只介绍用于处理这类题型的几种不等式）定义：函数在区间内连续可导，且（为的二阶导数）恒成立，则是区间内的上凸函数（若则是下凸函数）。如：就是上凸函数。琴生不等式：（以下凸函数为例）设 ，则有： （从函数图形中可直观看出）通常我们只用一般形式：琴生不等式的作用类似于“求和”，使其转化为证明局部不等式。Hadamard不等式：它的作用是用来裂项，还有过程中的转化。比如：函数，在函数上任取两点和有：恒成立。如：令，就有：.微分面积法（同样以下凸函数为例）：对于下凸函数，若在区间内单减且恒大于0，不

6、难发现：与直线，轴所围成面积的大小在以为底，和为高的两个矩形面积之间，即：，其中为的原函数。如：令，则，再令，则有：，由此可进行裂项放缩。对于凸函数的各种情况，读者可以自己探究（比如将矩形变为梯形等等）。3、整体放缩法。顾名思义，这是将视为一个整体，通过首尾求和、整体平方、错位相消等方式进行放缩。对于多数分式不等式，此法效果甚好。如：证明易知：，那么就有：，化简即证。例题：（05，全国一22）（）设函数 ，求的最小值；（）设正数满足，证明：.（11，四川22）已知函数，.（）设函数，求的单调区间与极值；（）设，解关于的方程；（）试比较与的大小.（07，重庆21）已知各项均为正数的数列的前项和满

7、足，且，.（）求的通项公式；（）设数列满足，并记为的前项和，求证：，.（10，四川22）设 且其余略.（）当时，试比较与4的大小，并说明理由.四、特殊结构分类讨论这类题通常含绝对值，等需讨论正负的项，还可能因的奇偶性不同导致（）的表达式不定，需进行分类讨论的。做这类题时需要有清醒的头脑，否则很容易出错。主要方法有：1、小项统一符号：将数值很小的项统一正负，可以减小负担。2、合并放缩：常见于奇偶性不同导致的表达式不同。此时可按其周期性，将几个项如，合并在一起进行放缩。3、分类放缩：可用于正负性不同的式子（如含有），将正号与负号的项分开，单独进行放缩。例题：（04，全国卷三22）已知数列的前项和满足，（）写出数列的前三项；（）求数列的通项公式；（）证明：对任意的整数，有参考文献：（1）陈德华. 与自然数n有关的不等式的几种证明方法【J