圆的有关概念与性质

1、- 1 -圆的有关概念与性质课前热身课前热身1.如图，AB 是O 的弦，ODAB 于 D 交O 于 E，则下列说法错误的是（ ） AADBD BACBAOE CAE BE DODDE2.如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 P，且 P 是半径 OB 的中点，CD6cm，则直径 AB 的长是（ ）A2 3cm B3 2cm C4 2cm D4 3cm3如图，O 的弦 AB6，M 是 AB 上任意一点，且 OM 最小值为 4，则O 的半径为（） A5 B4 C3 D24如图，O 的半径为 5，弦 AB8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 不可能为（）A2 B3 C4 D55 5如图，AB

2、是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，CDB30,O 的半径为cm3，则弦CD 的长为（ ）- 2 - A3cm2 B3cm C2 3cm D9cm【参考答案参考答案】1.1. D D2.2. D D3.3. A A4.4. A A5.5. B B考点聚焦考点聚焦1圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一 2掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点 3理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、四边形等结合的题型也是中考热点备考兵法备考兵法“垂径定理

3、”联系着圆的半径（直径） 、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.考点链接考点链接1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心.-

4、 3 -3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .6. 直径所对的圆周角是 ，90所对的弦是 .典例精析典例精析例例 1 1（山西太原）（山西太原）如图，在 RtABC 中，C90，AB10，若以点 C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长等于（ ） A5 3B5 C5 2 D6【答案】A【解析】本题考查圆中的有关性质，连接 CD，C90，

5、D 是 AB 中点，AB10，CD12AB5，BC5，根据勾股定理得 AC5 3，故选 A例例 2 2（黑龙江哈尔滨）（黑龙江哈尔滨）如图，O 的直径 CD10，弦 AB8，ABCD，垂足为 M，则 DM 的长为 【答案】8【解析】主要利用垂径定理求解.连接 OA，根据垂径定理可知 AM4，又 OA5，则根据勾股定理可得：OM3。又 OD5，则 DM8.例例 3 3（贵州贵阳）（贵州贵阳）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 在O 上，且 AB=13，BC=5 （1）求 sinBAC 的值；BCDA- 4 - （2）如果 ODAC，垂足为点 D，求 AD 的长；（3）求图中阴影部分的面积 （

6、精确到 01） 【答案】解：（1）AB 是O 的直径， ACB=90 sinBAC= 513BCAB （2）在 RtABC 中，AC= 2222135ABBC =12 又ODAC 于点 D， AD=12AC=6 （3）S半圆=12（2AB）2=121694=1698 SABC=12ACBC=12125=30， S阴影=S半圆SABC =16983036.3 点评 “直径所对的圆周角为 90”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来因此对这部分知识应加以重视迎考精练迎考精练一、选择题一、选择题1.（湖北孝感）（湖北孝感）如图，O 是ABC 的外接圆，已知B60，则CAO 的度数

7、是( )A15 B30 C45 D60 2.（山东泰安）（山东泰安）如图，O 的半径为 1，AB 是O 的一条弦，且 AB3，则弦 AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30 B.60 C.30或 150 D.60或 1203.（浙江嘉兴）（浙江嘉兴）如图，P 内含于O，O 的弦 AB 切P 于点 C，且 ABOP- 5 -若阴影部分的面积为9，则弦 AB 的长为（）A3 B4 C6 D94.（天津市）（天津市）如图，ABC 内接于O，若OAB28，则C 的大小为（ ）A28 B56C60 D625.（安徽）（安徽）如图，弦 CD 垂直于O 的直径 AB，垂足为 H，且 CD2 2，BD3，则 A

8、B的长为（ ） A2 B3 C4 D56.( (浙江温州浙江温州) )如图，AOB 是0 的圆心角，AOB80，则弧 AB 所对圆周角ACB 的度数是( )A40 B45 C50 D80 7.（四川遂宁）（四川遂宁）如图，已知O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，A70o，C50o， 那么 sinAEB 的值为( ) A. 21 B. 33 C.22 D. 23- 6 -8.（甘肃兰州）（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为( )A5 米 B8 米 C7 米 D53米 9.（湖北十堰）（湖北十堰）如图，ABC 内接于O，连结

9、 OA、OB，若ABO25，则C 的度数为（ ）A55 B60 C65 D7010.（山东青岛）（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A0.4 米 B0.5 米 C0.8 米D1 米11.（山西太原）（山西太原）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿OAABBO的路径运动一周设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）PAOBstOsOtOstOstABCD- 7 -二、填空题二、填空题1.（河南）（河南）如图，AB 为半圆 O 的直径，延长 AB

10、 到点 P，使 BP12AB，PC 切半圆 O 于点C，点 D 是AC上和点 C 不重合的一点，则D的度数为 .2.( (广东梅州广东梅州) )如图，在O 中，ACB20，则AOB_度. 3.（山西省）（山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，17040A ，则C 度4.( (湖北鄂州湖北鄂州) )在O 中，已知O 的直径 AB 为 2，弦 AC 长为3，弦 AD 长为2则DC2_ 5.（福建福州）（福建福州）如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上 ，ODAC，若 BD1，则 BC 的长为 6.（广东中山）（广东中山）已知O的直径8cmABC，为O上的一点，30BAC，则BC _ cm

11、ABCD1- 8 -7.( (山东济南山东济南) )如图，O的半径5cmOA ，弦8cmAB ，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 cm 8.（北京市）（北京市）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，E 为BC上一点，若CEA28，则ABD. DABCE9.( (福建宁德福建宁德) )如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，若ACO32，则COB 的度数等于 三、解答题三、解答题1.（广西柳州）（广西柳州）如图，AB 是O 的直径，C 是弧 BD 的中点，CEAB，垂足为 E，BD 交 CE于点 F（1）求证：CFBF；（2）若AD2，O 的半径为3，求 BC 的长 - 9 -2

12、.（广西钦州）（广西钦州）已知：如图，O1与坐标轴交于 A（1，0） 、B（5，0）两点，点 O1的纵坐标为5 求O1的半径 B A O 图 2 xyABO1O 3.（湖北宜昌）（湖北宜昌）已知：如图，O 的直径 AD2，BCCDDE，BAE90(1)求CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点 P，那么点 P 落在四边形 ABCD 区域的概率是多少？ - 10 -4.( (湖北黄冈湖北黄冈) )如图，已知 AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，连结 BC，AC，过点 C 作直线 CDAB 于点 D，点 E 是 AB 上一点，直线 CE 交O 于点 F，连结 BF，与直线

13、CD 交于点G求证：BFBGBC2.【参考答案参考答案】选择题选择题1.1. B B2.2. D D3.3. C C4.4. D D5.5. B B6.6. A A7.7. D D8.8. B B9.9. C C10.10. D D11.11. C C【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点 P 从点 O 向点 A 运动，OP 逐渐增大，当点 P 从点 A 向点 B 运动，OP 不变，当点 P 从点 B 向点 O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s与t之间关系的是 C- 11 -填空题填空题1.302.403.30 4. 3232或5.26.47.38.289.64解答题解答题1.

14、1. 证明：（1） 连结 AC，如图。 C 是弧 BD 的中点 BDCDBC 又BDCBAC在三角形 ABC 中，ACB90，CEAB BCEBAC BCEDBC CFBF 因此，CFBF （2）证法一：作 CGAD 于点 G，- 12 -C 是弧 BD 的中点 CAGBAC ， 即 AC 是BAD 的角平分线 CECG，AEAG 在 RtBCE 与 RtDCG 中，CECG ， CBCDRtBCERtDCGBEDG AEAB-BEAGAD+DG即 6-BE2+DG 2BE4，即 BE2 又 BCEBAC 212BCBE AB32BC（舍去负值）32BC （2）证法二：AB 是O 的直径，CE

15、ABBEF90ADB，在RtADB与RtFEB中，FBEABDADBFEB，则BFABEFAD 即BFEF62， EFBF3 又CFBF ， EFCF3利用勾股定理得：EFEFBFBE2222 又EBCECA则CEBEAECE，即则BEAECE2 BEBEEFCF)6()(2即EFEFEFEF22)226()3(2- 13 -22EF 3222CEBEBC. 2.解：过点 O1作 O1CAB，垂足为 C，则有 ACBC B A O 图 2 xyABO1OC由 A（1，0） 、B（5，0） ，得 AB4，AC2在1RtAOC中，O1的纵坐标为5 ，O1C5 O1的半径 O1A22221( 5)2OCAC33.3. 解：（1）AD 为O 的直径，ACDBAE90 BCCDDE， BACCADDAE BACCADDAE 30在 RtACD 中，AD2，CD2sin301， AC2cos303 SACD12ACCD 32 (2) 连 BD，ABD90， BAD 60，BDABCA 30，BABC.作 BFAC，垂足为 F， （5 分）AF12AC32 ，BFAFtan3012 ，SABC12ACBF