小学奥数-抽屉原理(教师版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业抽屉原理如果给你 5 盒饼干，让你把它们放到 4 个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有 2 盒饼干。如果把 4 封信投到 3 个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有 2 封信。如果把 3 本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到 2 本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。抽屉原理 1：将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于 2件。假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到 2 件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样 n 个抽屉中所放物品的总数就不会超过 n

2、件。这与有多于 n 个物品的假设相矛盾。说明抽屉原理 1 成立。抽屉原理 2：将多于 mn 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m+l。假定这 n 个抽屉中，每一个抽屉中的物品都不到（m+l）件，即每个抽屉里的物品不多于 m 件，这样 n 个抽屉中可放物品的总数就不会超过 mn 件。这与多于 mn 件物品的假设相矛盾。说明原来的假设不成立。所以抽屉原理 2 成立。运用抽屉原理解题的关键是选好“抽屉” ，而构造“抽屉”的方法多种多样，会因题而异。运用原理 1 还是原理 2 要看题目的问题和哪一个更直观。抽屉原理 2 实际上是抽屉原理 1 的变形。【例【例 1

3、1】某校六年级有学生某校六年级有学生 367367 人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？【解析】平年一年有 365 天，闰年一年有 366 天。把天数看做抽屉，共 366 个抽屉。把 367 个人分别放入 366 个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。【小试牛刀】【小试牛刀】某校有某校有 370370 名名 19921992 年出生的学生，其中至少有年出生的学生，其中至少有 2 2 个学生的生日是同一天，为什么？个学生的生日是同一天，为什么？【解析】1992 年共有 366 天，把它看成是 366 个抽屉

4、，把 370 个人放入 366 个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有 2 个学生的生日是同一天的。【例【例 2 2】某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？【解析】首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有 7 种类型，把 7 种类型看成 7 个抽屉，去的人数看成元素。要保证至少有一个抽屉里有 2 人，那么

5、去的人数应大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。买书的类型有：买一本的：有语文、数学、外语 3 种。买二本的：有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3 种。买三本的：有语文、数学和外语 1 种。3+3+1=7（种）把 7 种类型看做 7 个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去 8 位学生。【小试牛刀】【小试牛刀】某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况是：有买一本精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业的的、二本的二本的、三本或四本的三本或四

6、本的。 ，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书每种书最多买一本）？最多买一本）？【解析】买书的类型中买一本的有 4 种，买二本的有 6 种，买三本的有 4 种，买 4 本的有一种，共有 4+6+4+115 种情况。把种 15 种情况看出 15 个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去 16 位学生。【例【例 3 3】一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有摸出多少只手套才能保证有

7、 3 3 副同色的？副同色的？【解析】把四种颜色看成是 4 个抽屉，要保证有 3 副同色的，先考虑保证有一副就要摸出 5 只手套。这时拿出 1 副同色的后，4 个抽屉中还剩下 3 只手套。根据抽屉原理，只要再摸出 2 只手套又能保证有一副手套是同色的。以此类推，要保证有 3 副同色的，共摸出的手套有5+2+2=9（只）【小试牛刀】布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸【小试牛刀】布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。问：最少要摸出多少只袜子，才能保证有出多少只袜子，才能保证有 3 3 双同色的？双同色的？【解析】把三种颜色看作 3 个

8、抽屉，要保证有一双同色的就要摸出 4 只袜子，这时拿出 1 双同色的后，3 个抽屉中还剩 2 只袜子。以后，只要再摸出 2 只袜子就可保证有一双同色的。因此，要保证有 3 双同色的，最少要摸 4+2+28 只袜子。【例【例 4 4】任意任意 5 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 4 的倍数，这是为什么？的倍数，这是为什么？【解析】一个自然数除以 4 的余数可能是 0，1，2，3，所以，把这 4 种情况看做时个抽屉，把任意5 个不相同的自然数看做 5 个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有 2 个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差

9、一定是 4 的倍数。所以，任意 5 个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是 4 的倍数。【小试牛刀】【小试牛刀】证明在任意的（证明在任意的（n+1n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为）个不相同的自然数中，必有两个数之差为 n n 的倍数。的倍数。【解析】一个自然数除以 n 的余数可能是 0、1、2、3、.n1，把这 n 种情况看作 n 个抽屉，把（n+1）个自然数反复如 n 个抽屉中去，则必有一个抽屉中有两个数，这两个数的余数相同，则它们的差一定能被 n 整除，也就是 n 的倍数。【例【例 5 5】幼儿园里有幼儿园里有 120120 个小朋友，各种玩具有个小朋友，各种玩具有 3643

10、64 件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到得到 4 4 件或件或 4 4 件以上的玩具？件以上的玩具？【解析】把 120 个小朋友看做是 120 个抽屉，把玩具件数看做是元素。则 364=1203+4，4120。根据抽屉原理的第（2）条规则：如果把 mxk（xk1）个元素放到 x 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有 m+1 个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有 3+1=4 个元素，即有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。【小试牛刀【小试牛刀】一个幼儿园大班有一个幼儿园大班有 4040 个小朋友个小朋友，班里有各种玩具班里有各种玩具 125125 件件

11、。把这些玩具分给小朋友把这些玩具分给小朋友，是是否有人会得到否有人会得到 4 4 件或件或 4 4 件以上的玩具？件以上的玩具？【解析】把 40 名小朋友看做 40 个抽屉，将 125 件玩具放入这些抽屉，因为 125340+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有 4 件或 4 件以上的玩具，所以肯定有人会得到 4 件或 4 件以上的玩具。【例【例 6 6】布袋里有布袋里有 4 4 种不同颜色的球种不同颜色的球，每种都有每种都有 1010 个个。最少取出多少个球最少取出多少个球，才能保证其中一定才能保证其中一定有有 3 3 个球的颜色一样？个球的颜色一样？【解析】把 4 种不同颜色看做 4 个

12、抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使其精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业中一个抽屉里至少有 3 个颜色一样的球， 那么取出的球的个数应比抽屉个数的 2 倍多 1。 即 24+1=9（个）球。列算式为（31）4+1=9（个）【小试牛刀【小试牛刀】一个容器里放有一个容器里放有 1010 块红木块块红木块、1010 块白木块块白木块、1010 块蓝木块块蓝木块，它们的形状它们的形状、大小都一样大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有 4 4 块颜色相同，应至少取出多少块颜色相同，应至少

13、取出多少块木块？块木块？【解析】至少取出（41）3+110 块木块。【例【例 7 7】某班共有某班共有 4646 名学生名学生，他们都参加了课外兴趣小组他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学活动内容有数学、美术美术、书法和英书法和英语语，每人可参加每人可参加 1 1 个个、2 2 个个、3 3 个或个或 4 4 个兴趣小组个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？【解析】参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个小组的有 6 个类型，只参加三个组的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4

14、+1=15（种）类型看做 15 个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46=315+1，所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。【小试牛刀【小试牛刀】某班有某班有 3737 个学生个学生，他们都订阅了他们都订阅了小主人报小主人报 、 少年文艺少年文艺 、 小学生优秀作文小学生优秀作文三种三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？【解析】全班订阅报刊的类型共有 3+3+17 种，因为 3757+2，所以其中至少有 6 位学生订的报刊相同。【例【例 8 8】将将 400400 张卡片分给若干名同学张卡片分给若干名同

15、学，每人都能分到每人都能分到，但都不能超过但都不能超过 1111 张张，试证明试证明：找少有找少有七名同学得到的卡片的张数相同。七名同学得到的卡片的张数相同。【解析】这题需要灵活运用抽屉原理。将分得 1，2，3，11 张可片看做 11 个抽屉，把同学人数看做元素， 如果每个抽屉都有一个元素， 则需 1+2+3+10+11=66 （张） 卡片。 而 40066=64（张） ，即每个周体都有 6 个元素，还余下 4 张卡片没分掉。而这 4 张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有 7 个元素，所以至少有 7 名同学得到的卡片的张数相同。【小试牛刀】【小试牛刀】把把 280280 个桃分给若干只猴

16、子，每只猴子不超过个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过 1010 个。证明：无论怎样分，至少有个。证明：无论怎样分，至少有 6 6只猴子得到的桃一样多。只猴子得到的桃一样多。【解析】略【例【例 9 9】用黑用黑、白白、红三种颜色将一个红三种颜色将一个 2 27 7 方格图方格图（如下图如下图）中的每个小方格随意涂上颜色中的每个小方格随意涂上颜色，而且每个小方格只涂一种颜色，同列小方格颜色不同。问：是否存在两列，它们的小方格中涂的颜而且每个小方格只涂一种颜色，同列小方格颜色不同。问：是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？色完全相同？【解析】用三种颜色给每列中的两个小方格随意涂色，会有以下

17、6 种情况。将这 6 种情况看成 6 个抽屉，将 7 列分别放入 6 个抽屉中，根据抽屉原理 1，至少有一个抽屉中不少于两列，那么总有两列的小方格中涂的颜色完全相同。【小试牛刀【小试牛刀】在长度是在长度是 1515 厘米的线段上任意取厘米的线段上任意取 6 6 个点个点，是否至少有两个点是否至少有两个点，它们之间的距离不大它们之间的距离不大于于3 3 厘米？厘米？精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【解析】因为 153=5，所以将 15 厘米长的线段每 3 厘米分成一份，总共分成 5 份，并以此作为 5个抽屉。根据抽屉原则 1，在这条线段上任意取 6 个点时，至少有一个抽屉中被放入了两个

18、点。那么它们之间的距离一定不大于 3 厘米。【例【例 1010】一个口袋中有一个口袋中有 5050 个编上号码的相同的小球个编上号码的相同的小球，其中编号为其中编号为 l l、2 2、3 3、4 4、5 5 的各有的各有 1010 个个。问：一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有问：一次至少要取出多少小球，才能保证其中至少有 4 4 个号码相同的小球？个号码相同的小球？【解析】一次至少要取出 16 个小球才能保证其中至少有 4 个号码相同的小球。【小试牛刀】把【小试牛刀】把 154154 本图书分给四年级某班的同学，如果不管怎样分，都至少有一位同学会分得本图书分给四年级某班的同学，如果不管

19、怎样分，都至少有一位同学会分得 4 4本或本或 4 4 本以上的图书，那么这个班最多有多少名学生？本以上的图书，那么这个班最多有多少名学生？【解析】此题是逆用抽屉原理 2，要求有多少个抽屉。由“至少有一位同学分得 4 本或 4 本以上的图书” ，可知 m+1=4，那么 m=3，又因为 154=351+l，得 n=51，那么这个班最多有 51 名学生。因为 154（4-l）=51l所以这个班至少有 51 名学生。【例【例 1111】有有 120120 名学生从名学生从 A A、B B、C C 三人中自己投票选举一人做三好学生三人中自己投票选举一人做三好学生，投票时每人只能投投票时每人只能投一次，

20、且只能选一个人。得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前一次，且只能选一个人。得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前 8181 张选票中，张选票中，A A 得得 2 21 1票，票，B B 得得 2525 票，票，C C 得得 3535 票。在余下的选票中，票。在余下的选票中，C C 至少再得几张选票就一定能当选？至少再得几张选票就一定能当选？【解析】剩下未统计的选票有：120-81=39（张） ，在已统计出的选票中，C 得票最多，其次是 B，B比 C 少得 35-25=10 （票） 。 从最不利的方面考虑， 让接下来的 10 票都给 B， 那么还剩下 39-10=29 （张）选票。

21、根据抽屉原理 2，把 B、C 两人做为 2 个抽屉，由于 292=14l，那么 C 至少再得 14+1=15（张）选票就一定能当选。120-81-（35-25）2=29214114+1=15在余下的选票中，C 至少要再得 15 张选票就一定能当选。【例【例 1212】从 1，2，3，1988，1989 这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于 4？【解析】1，2，3，4，9，10，1l，12，17，18，19，20，25，这些数中任何两个数的差都不为 4，这些数是每 8 个连续的数中选取前 4 个连续的数有 19898=2485，所以最多可以选 2484+4=996 个数

22、评注：评注：对于这类问题，一种方法是先尽可能的多选择，然后再找出这些数的规律，再计算出最多可以选出多少个.【小试牛刀】【小试牛刀】从从 1 1 至至 19931993 这这 19931993 个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续数都不连续且差不等于且差不等于 4 4？【解析】1，3，6，8，11，13，16，18，21，这些数中任何两个数不连续且差不等于 4，这些数是每 5 个连续的数中选择第 1、3 个数19935=3983.所以最多可以选 3982+2=798 个数1.1.某校有某校有 3030 名学生是名学生是 2 2 月

23、份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天？【解析】 2 月份最多有 29 天，把它看作 29 个抽屉，把 30 名学生放入 29 个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这 30 名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。2 21515 个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？【解析】 一年有 12 个月，把 12 个月看作 12 个抽屉，把 15 个小朋友放入 12 个抽屉中，至少有一精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业个抽屉里有两个小朋友，因此至少有 2 个小朋友是才同一个月出生。3.3.一个

24、布袋里有红、黄、蓝色袜子各一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8 8 只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保只。每次从布袋中拿出一只袜子，最少要拿出多少只才能保证其中至少有证其中至少有 2 2 双不同袜子？双不同袜子？【解析】袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子，有可能拿出 8 只都是同一颜色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子，最少要取 3 只。因此，最少要拿出 8+311 只才能保证其中至少有 2 双颜色不同的袜子。4.4.把把 2525 个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有 7 7 个球？个球？【解析】把盒子数看成抽

25、屉，要使其中一个抽屉里至少有 7 个球，那么球的个数至少应比抽屉个数的（71）倍多 1，而 254（71）+1，所以最多方子 4 个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有 7 个球。5.5.学校开办了绘画学校开办了绘画、 笛子笛子、 足球和电脑四个课外学习班足球和电脑四个课外学习班， 每个学生最多可以参加两个每个学生最多可以参加两个 （可以不参加可以不参加） 。某班有某班有 5252 名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？【解析】参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有 4 种类型，只参加两个组的有6 种类型，只参加

26、三个字的有 4 种类型，参加四个组的有 1 种类型。把 4+6+4+115 种类型看作 15个抽屉，把 46 个学生放入这些抽屉，因为 46153+1，所以班级中至少有 4 名学生参加的项目完全相同。6.6.四年级某班有四年级某班有 4545 名同学，那么在这名同学，那么在这 4545 名同学中至少有几个人在同一个月中出生？名同学中至少有几个人在同一个月中出生？【解析】至少有 4 个人在同一个月中出生。7 7学校开办了外语学校开办了外语、音乐音乐、体育体育、美术四个课外活动小组美术四个课外活动小组，每个学生最多可以参加两个每个学生最多可以参加两个（可以不参可以不参加加） 。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于。问：至少有多少名学生，