常熟理工学院-高数A2-题库系列：第12章

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.下列级数中发散的是 ( D )A. B. C. D. 2下列级数中发散的是（ D ）A. B. C. D.3下列幂级数中收敛域为的是（ A ）A. B. C. D. 4.级数的收敛域是( C ).A. x<e B. x>e C. D. 0<x<e5设是非零常数，则级数（B）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与有关6. 下列级数中收敛级数是（ A ）A. B. C. D.7. 级数的敛散情况是（ A ）。 A. 时绝对收敛，时条件收敛 B. 时绝对收敛，时条件收敛 C. 时发散，时收敛 D. 对任何，级数绝对收敛8下列级数中条件收敛的

2、是（ D ）。A. B. C. D. 9当时，幂级数的和函数为（B ）A. B. C. D.10.级数（B） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 11.设级数收敛,则常数满足 ( B ).A. B. C. D. 12. 若级数 收敛，则级数（ D ）A.收敛但不绝对收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定13. 若无穷级数收敛，则满足 （ B ）A. B. C. D. 14下列级数中收敛的为 （ C ）A. B. C. D.15. 设级数,则该级数( A )A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不确定16.若级数收敛，则下列正确的是（C）A.收敛B.

3、绝对收敛C.发散D.收敛17.下列级数中有（D）是收敛的。A. B. C. D. 18. 若无穷级数收敛，则满足 （ B ）A. B. C. D. 19. 下列级数条件收敛的是 （ C ）A. B. C. D. 二、填空题1级数是 条件收敛 （发散，条件收敛，绝对收敛）的.2. 幂级数 的收敛域为 .3.函数展开成的幂级数为 .4、幂级数的和函数为 .5幂级数的收敛半径为 .6.设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是 .7. 幂级数的收敛半径R= 5 .8幂级数的收敛半径为 5 .9级数是收敛的，其和为 _. 10幂级数的收敛域为.11. 幂级数的收敛半径为 .12. 级数是收敛的，其和

4、为3.13. 幂级数的收敛域为 .14. 幂级数的收敛域为 .15. 如果幂级数的收敛半径是1，则级数在最大的一个开区间 内一定收敛.16. 幂级数的收敛半径为R=3.17幂级数的收敛半径为 3 .18幂级数的收敛区间是(不考滤端点).19级数的和函数 .三、解答下列各题1. 判断级数的敛散性（必须给出解题过程）.解：令 1分由于 4分 故所给级数发散2. 判断级数的敛散性（必须给出解题过程）.解： 因为 2分而级数收敛 5分 由比较判别法知，级数收敛 7分3. 判别级数的敛散性（必须给出解题过程）.解：令 4分而 收敛 故 收敛 7分4.判别级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？

5、解： 由题意，因为当时，且， 3分所以由莱布尼茨判别法，知 收敛。 4分又因为 故发散，所以该级数条件收敛。 7分5判别下列级数的敛散性(必须给出解题过程).（1）；（2）.解：（1）假设该级数收敛，则有 2分而 所以和假设矛盾，故级数发散。 4分（2）因为 6分所以 故该级数发散。 8分6.用部分和数列证明是收敛的，并求出级数的和。解：由于 ， 2分因此 4分从而 ，所以这级数收敛，它的和是1. 7分7判别级数的敛散性.解： 因为 1分所以 2分 5分 所以该级数收敛。 7分8.试讨论级数的敛散性.解： 1）时，显然是发散的； 2分 2）是，有，则收敛； 4分 3）时，有，则该级数发散； 6

6、分综上可知，当时，该级数发散；当时，该级数收敛。 9.求幂级数的收敛域（要讨论端点）解：因为 于是收敛半径 3分对于端点，级数成为发散 对于端点，级数成为交错级数收敛 7分证明正项级数是收敛的.证明：由于 4分 所以，正项级数是收敛的 6分10.设收敛，试证明：绝对收敛. 解： 2分又 收敛，且 也收敛，所以也收敛， 4分由比较审敛法，知收敛. 故绝对收敛. 6分11.将函数展开成的幂级数.解：由于，所以 . 2分 而 是收敛的等比函数的和函数： 4分所以将上式从0到逐项积分，得 6分12.在区间内求幂级数的和函数.解：令 ，则 ，故 1分 于是，当 时级数收敛 当时，级数发散当时，级数收敛因

7、此，收敛区间为 3分令当时， 5分当时，令两边求导得，两边从到积分得，从而 因此， 7分13. 将函数展开成的幂级数。解： 1分又 3分 5分即 7分14.在区间内求幂级数的和函数.解：令 ，则 ，故 1分 于是，当 时级数收敛 当时，级数发散当时，级数收敛因此，收敛区间为 3分令当时， 5分当时，令两边求导得，两边从到积分得，从而 因此， 7分 15将展开成关于的幂级数.解：， 2分又因为， 所以 ， 4分 ， 5分所以 . 7分16.将函数 展开成 的幂级数，并写出收敛域.解：由题意，知， 2分又因为， 所以 ， （） ， 5分所以 . （） 7分18.将展开成幂级数，并求展开式成立的区间.解： 4分又展开式成立的区间为 所以展开式成立的区间为，即. 7分19. 将函数 展开成关于(x-1)的幂级数，并写明收敛区间.解： 4分当时, 发散 当时, 发散 6分收敛区间 7分20.试把展开成x的幂级数，并给出收敛域.解：因为 所以， 2分因此， 由于 ，即 所以，收敛半径为 4分又 均发散故收敛区间为 7分21将函数展开成的幂级数.解：因为 2分 而 5分从而 7分22设幂级数