第二章 晶体结构2.3

1、2.3 群和群表示1 群论基础群的定义凡是满足下面几个条件的元素结合或操作集合均称为群，常用G表示。如果等表示群G中所包含的元素或操作，即，或集合必须满足下述条件：(1) 群中任何一对操作或元素与的乘积是唯一的和单值的，仍是集合中的一个操作或元素，。 (2.3.1)(2) 群中的元素集合一定要包含不变元素 (或操作)，常以E表示，E具有下列特性：， (2.3.2)其中是群G中的任何一个元素。(3) 任何三个元素 (或操作) 的乘积满足组合定则 (2.3.3)(4) 如果群中包含元素，也一定包含的逆元素，。 (2.3.4)条件 (1) 所得的乘积与及的次序有关，意味着，依次作用的结果与作用结果相

2、同，如果，则元素与是对易的。在一般情况下，群中的任何两个元素与不一定对易。如果群G的元素 (或操作) 的个数是有限的，这个群称为有限群。有限群的基本性质(1) 群阶 有限群中各不相同元素的数目称为群阶，用g表示。(2) 乘积表 常用乘积表来记述群中所有元素 (或操作) 之间的乘积，表2.3.1给出了一个六阶群的乘积表。表2.3.1 六阶群的乘积表EA1A2A3A4A5EEA1A2A3A4A5A1A1EA4A5A2A3A2A2A5EA4A3A1A3A3A4A5EA1A2A4A4A3A1A2A5EA5A5A2A3A1EA4可以看出，表中的每一行及每一列中，各元素只出现一次。(3) 元素的阶 如果，

3、则满足的最小正整数称为元素的阶。在表2.3.1所示的六阶群中，由于，所以，都是二阶的元素；，都是三阶的元素。(4) 共轭元素 如果都是群G的元素，则，如果，则元素称为的共轭元素。共轭的元素有相同的阶。(4) 类 群中彼此共轭的元素组成类。仍以表2.4.1所示的六阶群为例，根据乘积表，可得到下面的结果：因此，在这个六阶群中，组成一类，组成另一类，不变元素E则自成一类，可表示成 (2.3.5)同类的元素有相同的阶。子群如果在群G的元素集合中能找到某一部分元素，则称为子集合H，用符号来表示，而且子集合H的元素组成群，则H称为G的子群。如果子集合H是G的子群，H的元素只有满足下面的两个条件：(1) H

4、中的任何两个元素的乘积仍在H之中；(2) H中的每一个元素的逆元素仍在H之中。以表2.4.1的六阶群为例，子集合及都是G的子群。可以按照类的定义将子群的元素分类，容易证明子群中的三个元素各成一类，而在群G中是同类的，由此可知在群G中同属一类的元素，在子群H中不一定再属同一类。陪集设子群，H的元素集合是如有，但不在H中，则集合称为元素N所产生的子群H的左陪集，而集合称为元素N所产生的子群H的右陪集。内积陪集中的元素互不相同，也不同于子群的元素；同一个子群的两个右陪集 (或左陪集) 的元素完全相同，或完全不同；子群H的阶h是群G阶g的因子，整数称为子群的指数。如果群G中有两组元素集合， (2.3.

5、6)称为两个集合的内积 (又名正常乘积)。在上式右方的集合中只取不同的元素。表2.4.1的六阶群中和的内积为。共轭子群设子群，。如，取，即元素集合，那么也是G的子群，并称之为G中的共轭子群。表2.4.1的六阶群中子群和子群是共轭子群。不变子群如果对于所有在G中的元素，元素集合与H相同，则H称为不变子群，又名自轭子群或正则子群。可以证明表2.4.1的六阶群的子群即不变子群。不变子群的左陪集与右陪集相等，如表2.4.1的六阶群中不变子群的右陪集和左陪集是完全相同的；不变子群的两个左陪集的内乘积也是一个左陪集；不变子群与其任何陪集的内乘积仍是该陪集本身。商群如将不变子群及其所有不同的陪集等都看作元素

6、，则这些元素也构成群，而元素之间的乘积则相应地为陪集之间的内乘积。这一元素集合称为商群。由于，故常以表示商群。在表2.3.1的六阶群的情况下，为不变子群，取，和就是商群的元素，。此商群的乘积表为表2.3.2 商群乘积表商群具有下列性质：(1) 商群的不变元素即不变子群；(2) 如商群中有，也必有，上例中；(3) 商群的阶等于不变子群的指数；(4) 商群的元素包含不变子群及其所有的不同陪集。同构群如有和两个群，二者的元素集合分别为二者的阶相同，而且在乘积表中元素之间保持一一对应关系，例如在中有，则在中有。具有以上性质的两个群是同构群。同态群如果群G的阶g不等于群的阶，设且群G中的某个元素和群中的

7、几个元素相对应，则称群G和为同态群。核群中与G的不变元素对应的元素集合是的不变子群，又称为同态于G的核。常用K表示。商群与G同构。2 群的矩阵表示如果有一些n维的方矩阵，其中包括单位矩阵，则。某个矩阵的行列式，矩阵之间彼此的乘积关系与群G的元素等一一对应，这样的一组矩阵称为矩阵群，这个矩阵群与群G同构。群G中的不变元素和矩阵中的单位矩阵相对应，与逆元素相对应的矩阵就是与该元素相对应的矩阵的逆矩阵。既然这个矩阵群与群G同构，就可以代表群G的性质，该矩阵群就是群G的矩阵表示，或简称为群G的表示。么正矩阵群如果，则根据矩阵的性质，这样的矩阵称为么正矩阵。如果矩阵群中的每一个矩阵都是么正矩阵，则它们组

8、成的群称为么正矩阵群。么正表示定理 (Maschke定理) 任何有限群G的任何一类等价非么正表示，都可以通过相似变换变到么正表示。即即表示矩阵为么正矩阵。可约表示和不可约表示一个群表示矩阵的维数等于所选的表示空间的维数。对于二维以上的表示矩阵，有可能找到一个么正矩阵，将其化成分块对角矩阵，从而得到一些维数较低的表示矩阵，这就是将一个高维矩阵进行约化。若一个群，有一个维数为n的矩阵表示。对每一个群元来说，若能找到同一个么正矩阵，对D作相似变换，将D化成分块对角型矩阵，则表示是可约的；若被约化后的对应的小方块中维数较低的矩阵，不能再找到一个统一的么正矩阵进一步分块对角化，则说此表示完全被约化。完全

9、约化后的分块矩阵，可能有一些是相同的或等价的，都视作相同的分块矩阵。我们称那些不能再约化且不相同的表示为不等价不可约表示。表示矩阵的约化可用矩阵或公式形式表示为 (2.3.7)或 (2.3.8)式中。是和等价于的小方块矩阵出现的次数。于是D被分解成各个不可约表示的直和。符号表示直和。若有阶数为m的方矩阵和阶数为n的方矩阵，则它们的直和是阶数为的方矩阵。 (2.3.9)这里，和分别是阶和阶零矩阵。上述结果可以推广到更多的矩阵直和，例如 (2.3.10)它是一个分块对角形矩阵，并有下面重要的性质。 (2.3.11) (2.3.12)此外，若都是n阶方阵，都是m阶方阵，则有 (2.3.13)对于有限

10、群来说，不等价不可约表示的个数是有限的，对一般物理体系的有限对称群来说，个数还比较少。这就大大限制了今后要研究的不等价不可约么正表示的数目。不可约表示一般用符号表示。不变子空间一个群表示矩阵的维数等于其表示空间的维数。若这个表示是可约的，它必定能通过相似变换，将表示矩阵分块对角化，每个不能再进一步对角化的分块，就是一个不可约表示。不可约表示对应的基函数则是不变子空间，所有不可约表示对应的子空间的直和，构成原来的的表示空间。舒尔 (Schur) 引理对于一个群的所有元素的表示矩阵，若从直观上看来已是分块对角化的，则显然可约。但一般来说并非如此。于是需要解决如何判断一个表示是否可约以及如何约化的一

11、般性问题。舒尔 (Schur) 引理正是解决此问题的，而且为后面证明群表示的更重要的定理大正交性定理提供基础。Schur第一引理 设D是群G的一个表示，若存在一个矩阵M，与D的一切矩阵对易，即 (2.3.14)则有(1) 若D是不可约的，M必定为常数矩阵 (2.3.15)式中为标量常数，E为单位矩阵。(2) 若M不是常数矩阵，则D必为可约表示。若M是厄米矩阵，则约化矩阵就是使M对角化的矩阵。Schur第二引理 设和是群G在和空间中的两个和维不可约表示，若它们同阶的矩阵M满足下面关系 对于所有 (2.3.16)则(1) 若，；(2) 若，(a) ，则和是等价表示，(b) 或。例2.3.1 利用S

12、chur引理判断群的一个表示为 是否可约？并求出可能的约化矩阵。解：按Schur第一引理，要判断是否可约，必须先找一个与对易的矩阵M，看其是否为常数矩阵。于是，设是一个群元素中类的和，n是类中元素的个数。按元素类的定义：即一个群元素的类与任一群元素对易。对于给定的群，可取或 故能找到或与所有的对易，给定的群是可约的。取求其本征值和本征矢，则由的本征矢组成的矩阵对作相似变换，能将分块对角化 (若无相同本征值则能完全对角化)，因而它也能将群的各分块对角化。即将给定的群表示约化了。本征值和本征矢的计算所得本征值为，本征矢组成的矩阵为由得 群表示的正交性定理设和是群G在矢量空间中的两个和维不可约表示，

13、代表群G的任一群元素，则有 (2.3.17)式中g是群G的阶，求和对一切群元素进行。表示维不可约表示中群元素R表示矩阵中第行第列的矩阵元；表示维不可约表示中群元素R表示矩阵中第行第列的矩阵元。由此定理知，对于任何有 (2.3.18)即对任一不可约表示，所有群元素的任一对应矩阵元的平方和为常数。例2.3.2 验证群的表示的正交性解：群的三维表示可以分解为两个表示如下：E111111利用正交性定理知对任何 对任何可见，群的这两个表示满足正交性定理，是两个不可约表示。实际上由Schur第一引理也可以直接判断，此两个表示不可约。不可约表示基函数的正交性一个群表示D是群算符作用在某个矢量空间上的变换矩阵

14、的集合，矢量空间的基矢可抽象地用，表示。而在实际应用中多选用某个具体的函数集合为基矢。为简单起见，省略了函数的自变量未写出。一个不可约表示又相应于某个不变子空间。因算符可用矩阵表示，故D相应于算符。今用D作用于两不变子空间上的任一基函数和可得： (2.3.19) (2.3.20)上两式作内积并利用算符的么正性得 (2.3.21)假设每个子空间以及内的基矢和是互相正交的，则对所有群元素求平均再利用表示矩阵的正交性定理得 (2.3.22)若各子空间基矢，只之间而不归一化，则上式应为 (2.3.23)3 特征标对于一个群，在不同的表示空间中的表示矩阵是不同的，甚至在同一表示空间中，表示矢量排列次序不

15、同，也得到不同的表示矩阵。即使只考虑一个群的不可约表示，也可由表示空间的选取不同而得到许多等价表示，它们之间由相似变换联系起来。为了应用上的方便，要求找到群表示的一种性质，它与相似变换无关，或与基矢选择无关。相似变换不改变算符的本征值，当然也就不改变算符对应的矩阵的本征值之和。因此，选择算符的矩阵的对角元之和，即矩阵之迹来表示这种特征，并称之为特征标。在以后的应用中，在很多情况下，只需知道一个群的全部不等价不可约表示的特征标就够了。特征标的定义 设群，它的一个表示为，则群元素R的特征标为的对角元之和 (2.3.24)式中是对角元，n是表示空间的维数，R表示G的任一元素。特征标的性质(1) 一个

16、可约表示的特征标等于其各不可约表示的特征标之和。(2) 特征标是群元类的函数，等价表示有相同的特征标。即同类元素有相同的特征标。(3) (2.3.25)和是和类中群元个数，是第i个不可约表示的维数，是类群元的第i个不可约表示的特征标，是常数。(4) 不可约表示特征标第一正交性定理 一个群G的两个不等价不可约表示和的特征标满足关系 (2.3.26)g是群G的阶，R是G中的任一元，代表第i和第j个不可约表示的特征标。(5) 不可约表示特征标第二正交性定理 因为每个群元类的特征标相同，令C是群元类数，是第p类中群元个数。于是可由第一正交性定理定义一个 (2.3.27)可将它看成群元类空间中的一个基函

17、数或矢量，亦即将看成特征标矢量，则群元类空间的维数必等于群元类数，因此又有下面结论：群G的不等价不可约表示数群元类数。进一步证明它取等号。于是特征标表是一个正方表。若进一步将看成矩阵元，则它们形成一个方矩阵B。不等价不可约表示的符号 (1) Mulliken 符号：基矢对绕主轴转动是对称的一维不可约表示。：基矢对绕主轴转动是反对称的一维不可约表示。：来自德文ungerade (奇)，基矢对反演操作是反对称的不可约表示，用u作下标； : 来自德文gerade (偶)，基矢对反演操作是对称的不可约表示，用g作下标；：基矢对操作是对称的不可约表示，用“”作由上标；：基矢对操作是反对称的不可约表示，用

18、“”作由上标； (或)：二维的不可约表示； (或)：三维的不可约表示； (或)：四维的不可约表示； (或，或)：五维的不可约表示；如果不可约表示出现不止一次时，可用i作右下标以资区分，。表示对水平面的反映，水平面垂直于对称度最高的转轴。(2) Bethe符号 各个不可约表示分别用表示。可约表示的约化 已知群G的一个矩阵表示后，可用Schur引理判断其可约，再用相似变换将其化为一些不可约表示的直和，这个过程是很复杂的。如果知道群G的一切不可约表示的特征标和那个给定的可约表示的特征标，很容易将此可约表示约化。由于，按照特征标定义式和同类元素有相同的特征标，得到 (2.3.28)两边乘以，并对G的所

19、有元素求和得 (2.3.29)于是 (2.3.30)因为同一类群元有相同的特征标，若为第p类的群元数，为总类数，上式可化为 (2.3.31)因此，若给定了群G的特征标，又知道群G的一切I、R表示，则可由说明两式算出各I、R在中出现的次数，亦即将或可约表示进行了约化。这是约化一个可约表示的最简单而最重要的方法。可约性的判据 若有了一切群元表示或特征标，在将其约化之前，应先判断其是否为不可约表示。为此取 (2.3.28) 的复共轭乘 (2.4.28)，再对群元取平均，即对所有群元求和再除以g得： (2.3.32)因为各必须是大于1的正整数，故由上式得 (2.3.33)若，是不可约的。即 (2.3.

20、32) 中某个出现一次。就是第i个I、R。若m是大于1的整数，则是可约的。(2.3.33) 也可以改写成 (2.3.34)式中g是群的阶。例2.3.3 已知群 (正四面体群) 的一个7维表示和全部不等价不可约表示如表2.3.3，试将此7维表示约化。表2.3.371111111112200301301解：由 (2.3.34) 判断是可约的。用 (2.3.31) 可将其约化如下：所以，此7维表示分解为和的直和：群元空间和正规表示一个群有多少不等价不可约表示呢？下面的讨论将解决这个问题，并推出构造群的特征标时要用到的不可约表示维数定理。正规表示 当我们构造一个群的乘积表时，使乘积表的上方第一行按元素

21、顺序从左到右排列，而左侧第一列则相应的按以上元素的逆元素从上到下排列，即按 顺序排列。例如群乘积表排列如下表2.3.4EABCDFEEABCDFAAEDFBCBBFEDCACCDFEABDFBCAEDFDCABFE在这样的排列下，对角元都是单位元E。若进一步按这样的群表排列，对每个群元都构造一个方阵，使得每个群元的矩阵在它所处群表的位置上的矩阵元是1，其余处处是零。这样得到一个矩阵集合，叫群G的正规表示。例如群可得下面的矩阵： 按矩阵乘积规则验算，这的确是群的一个表示。不可约表示的维数定理 在正规表示中，相应于单位元的矩阵的对角元全是1，故它的特征标是 (2.3.35)而其它元素的矩阵的对角元

22、全是零，故其特征标为 (2.3.36)下面我们研究正规表示中含有多少不可约表示。首先用可约性判据式 (2.3.33) 判断，正规表示是可约的，其次应用约化公式 (2.3.30) 得 (2.3.37)式中是正规表示的特征标。应用 (2.4.35) 和 (2.4.36) 于 (2.4.37) 得 (2.3.38)式中是第i个不可约表示的维数，它等于第i个存在于正规表示中的次数将 (2.3.38) 代入 (2.3.8) 得： (2.3.39)上式两边对元素E取迹得： (2.3.40)将 (2.3.35) 和 (2.3.38) 代入上式得： (2.3.41)这表明群G的全部不可约表示维数的平方和等于群

23、G的阶g。g阶群G的正规表示含有群G的一切不可约表示，且所含的某一不可约表示的次数等于其维数。一个群G的不等价不可约表示的总个数等于群元类数例2.3.4 对群，有三个不等价不可约表示如下表 2.3.5E111111111所以。特征标表的构造构造特征标表依据的基本公式 现在将一个群G的不可约表示和特征标的一些基本性质总结如下，作为计算特征标表的基本依据(1) 不可约表示的个数s等于群元类数c。 (2.3.42)(2) 所以不可约表示的维数的平方和等于群元数。 (2.3.43)(3) 单位元E的特征标等于不可约表示的维数。因而特征标表第一列的数字为。 (2.3.44)(4) 每个群都有一个恒等表示。，通常将它们写在第一行。(5) 每一行都带权重因子与其它行正交并归一化到g (2.3.45)式中c是群元类总数，p表示第p类，表示第p类中群元个数。若选取j为恒等表示，则有恒等表示 (2.3.46)(6) 每一列都与另一列正交并归一化到 (2.3.47)若选取P类为单位元E类，则对所以其它列有 (2.3.48)例2.3.5 求群的特征标表。群共分三类，群元数。由 (2.3.43) 得，可取，因为每个群都有一个恒等表示，单位元E的特征标等于不可约表示的维数。因而特征标表第一行的数字全部为1，第一列的数字为。得到下表E1111