统计学基础06renew第六讲：参数估计

1、统计学基础第六讲：参数估计甄峰大学统计学院2013年10月30日特别感谢张宇婷同学的贡献！School of Statistics, Renmin University of China1学习目标了解参数估计的基本原理掌握一个总体参数的区间估计方法掌握两个总体参数的区间估计方法掌握样本量的确定方法School of Statistics, Renmin University of China2内容参数估计的基本原理一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本量的确定School of Statistics, Renmin University of China31.0 参数估计的地位Sch

2、ool of Statistics, Renmin University of China4假设检验参数估计推断统计描述统计统计学方法1.1 参数估计的基本概念参数估计：用样本统计量（q）估计总体参数（q ）估计量：用来推断总体参数的统计量（随量）估计值：一个具体样本计算出来的估计量的数值PopulationSampleRandom samplingSchool of Statistics, Renmin University of China5Statistic ： xs2Parameter ：md 21.2 点估计与区间估计点估计:用估计量的数值作为总体参数的估计值一个总体参数的估计量可以

3、有多个 。如估计总体方差时：nnå(xå(x - x)2- x)2ii和 i=1n i=1n -1都可以作为估计量缺点：无法给出误差（可靠性评判）School of Statistics, Renmin University of China61.2 点估计与区间估计区间估计：根据事先确定的置信度1 - a给出总体参数的一个估计范围理论基础：抽样分布例：某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%School of Statistics, Renmin University of China71.2 点估计与区间估计对区间估计的理解 x - m £ Za /2

4、s好的估计量和真实值差距不大：n： Pæ x - mö= a差距大是小概率> Zç sa /2 ÷nèø则：æ x - mPö= 1- a£ Zç sa /2 ÷nèø s £ m £ x + Zs （作为真值m的区间估计）Þ x - Za 2a 2nnSchool of Statistics, Renmin University of China81.2 总体均值的区间估计常用置信水平的Za/2 值置信系数(1- a) 0.90

5、0.950.99置信水平Z a/21.6451.962.5890%95%99%School of Statistics, Renmin University of China91.2 点估计与区间估计 置信度1 - a的含义： 在同样的方法得到的所有置信区间中，有100(1- a)% 的区间包含总体参数 （真实值）样本均值的 抽样分布_xa/2a/2a1 -_X= mmxSchool of Statistics, Renmin University of China101.3 评价估计量的标准：无偏性估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数E(q) = qSchool of Statist

6、ics, Renmin University of China111.3 评价估计量的标准：有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效School of Statistics, Renmin University of China121.3 评价估计量的标准：一致性随样本量的增大，估计量的值越来越接近被估计总体参数School of Statistics, Renmin University of China13内容参数估计的基本原理一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本量的确定School of Statistics, Renmin University o

7、f China142.0 一个总体参数的区间估计School of Statistics, Renmin University of China15总体参数符号表示样本统计量均值mx比例pp方差s 2s22.1 总体均值的区间估计大样本假定条件：总体服从正态分布,且方差(s) 已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n ³ 30)使用正态分布统计量 Z：z = x - m N (0,1)sn总体均值在1-置信水平下的置信区间为 s ns(s 未知)x ± z或 x ± za 2a 2nSchool of Statistics, Renmin Universit

8、y of China162.1 总体均值的区间估计大样本 s n s n£ m £ x + Zx - Zaa22School of Statistics, Renmin University of China17Pæ x - m £ Zö = 1 - aça / 2 ÷ç sn÷èøP ( x - m £ E ) = 1- a2.1 总体均值的区间估计大样本例：一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的：周岁)数据如下表。试建立(投保人90%的置信区间。

9、School of Statistics, Renmin University of China1836个投保人的数据2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322.1 总体均值的区间估计大样本s = 7.77x = 39.5s= 39.5 ±1.645´ 7.77x ± za2n36= 39.5 ± 2.13= (37.37, 41.63)School of Statistics, Renmin University of China192.1 总体均值

10、的区间估计小样本假定条件：总体服从正态分布,但方差(s) 未知总体服从正态分布，小样本 (n < 30)使用t 分布统计量：t = x - m t(n -1)sn总体均值 m 在1-a置信水平下的置信区间为：sx ± ta 2nSchool of Statistics, Renmin University of China202.1 总体均值的区间估计小样本School of Statistics, Renmin University of China21x - ts£ m £ x + tsn-1,a 2nn-1,a 2næ x - mö

11、P ç sn £ tn-1,a / 2 ÷ = 1- aèøP ( x - m £ E ) = 1- a2.1 总体均值的区间估计小样本例：已知某种灯泡的服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用：h)如下。建立该批(灯泡平均使用95%的置信区间。School of Statistics, Renmin University of China2216灯泡使用的数据15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702.1 总体均值的区间估计小样本x

12、 = 1490s = 24.77s7x ± ta2n= (1476.8,1503.2)School of Statistics, Renmin University of China232.1 总体均值的区间估计小样本用SPSS求置信区间（小样本）第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择【Descriptivestatistics-Explore】选项进入主框第2步：在主框中将变量选入【Variables】，点击【Statistics】，在【Descriptive】下确定所需的置信水平(隐含值是95%) 。点击【Continue】回到主对话框。点击【OK】School of S

13、tatistics, Renmin University of China242.1 总体均值的区间估计小样本SPSS输出DescriptivesSchool of Statistics, Renmin University of China25StatisticStd. Errors n灯灯灯灯Mean1490.006.19195% ConfidenceLower BoundInterval for MeanUpper Bound1476.801503.205% Trimmed Mean MedianVarianceStd. Deviation Minimumum RangeInterqua

14、rtile Range SkewnessKurtosis1490.001485.00613.33324.766145015308040.030-1.272.5641.0912.1 总体均值的区间估计School of Statistics, Renmin University of China26± tæsöa 2 çn ÷èøx2.2 总体比例的区间估计假定条件：总体服从二项分布可以由正态分布来近似次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10np(使用正态分布统计量 z： z =p - p N (0,1)p (1- p

15、)n总体比例p在1-a置信水平下的置信区间为（ p未知）p(1-p)p ± za 2nSchool of Statistics, Renmin University of China272.2 总体比例的区间估计 p(1- p) = 65% ±1.96 ´65%(1- 65%)100p ± za 2n= 65% ± 9.35%= (55.65%, 74.35%)School of Statistics, Renmin University of China282.3 总体方差的区间估计假定总体服从正态分布总体方差 s 2 的点估计量为s2,且(

16、n -1) s2 c 2(n-1)s 2总体方差在1-a 置信水平下的置信区间：(n -1) s2s 2c£ ca1-a 2，(n-1) £222，(n-1)(n -1) s2(n -1) s2£ s 2 £cc22a 2，(n-1)1-a 2，(n-1)School of Statistics, Renmin University of China292.3 总体方差的区间估计图示：School of Statistics, Renmin University of China302.4 小结School of Statistics, Renmin U

17、niversity of China31内容参数估计的基本原理一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本量的确定School of Statistics, Renmin University of China323.0 两个总体参数的区间估计School of Statistics, Renmin University of China33总体参数符号表示样本统计量均值差m1 - m2x1 - x2比例差p1 - p 2p1 - p2方差比s 2s 212s2s2123.1.1 两个总体均值之差的估计：大样本假定条件：两个总体都服从正态分布，s1、 s2已知若非正态分布, 可用正态分布来

18、近似(n1³30和n2³30)两个样本是的随机样本使用正态分布统计量 zz = (x1 - x2 ) - (m1- m2 ) N (0,1)ss212+2n1n2School of Statistics, Renmin University of China343.1.1 两个总体均值之差的估计：大样本 s ， s已知时，两个总体均值之差m -m 在1-a置信水平1212下的置信区间为:ss2122(x1 - x2 ) ± za+2n1n2 s ， s未知时，两个总体均值之差m -m 在1-a置信水平1212下的置信区间为:s2s2(x1 - x2 ) ±

19、; za 1 + 2 2n1n2School of Statistics, Renmin University of China353.1.1 两个总体均值之差的估计：大样本例：某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学抽取两个随机样本，有关数据如右表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间。School of Statistics, Renmin University of China36两个样本的有关数据中学1中学2n1=46n1=33x1 = 86x2 = 78S1=5.8S2=7.23.1.1 两个总体均值之差的估计：大样本 两个总体均值

20、之差在1-a置信水平下的置信区间为:s 2s 2( x1 - x2 ) ± za 1 + 2 n22n15.822+ 7.2= (86 - 78) ± 1.96 ´4633= 8 ± 2.97 = (5.03,10.97)两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.0310.97分School of Statistics, Renmin University of China37小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，假定条件：两个总体都服从正态分布，s 、 s 已知12方差未知但相等， s 2=s212两个样本是的小样本 (n1<30和n

21、2<30)总体方差的合并估计量：(n -1)s + (n -1)s22sp =211n1 + n22- 22x1 - x2均值之差的抽样分布标准差为：s2s211pp+= s+pnnnn1212School of Statistics, Renmin University of China38小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，两个样本均值之差的标准化：t = (x1 - x2 ) - (m1- m2 ) t(n+ n - 2)1211+nspn12两个总体均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为：æ 1 + 1 ö( x - x ) ±

22、; t(n + n - 2)s2ç n÷a 21212pnè12 øSchool of Statistics, Renmin University of China39小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，例：为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装所需平均时间差值的置信区间。School of Statistics, Renmin University of Chin

23、a40两个方法组装所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，根据样本数据计算得:= 19.358s2x = 32.5x = 28.8= 15.996s22121合并估计量为= (12 -1) ´15.996 + (12 -1) ´19.358 = 17.677s2p12 +12 - 2(32.5 - 28.8) ± 2.0739 ´17.

24、677 ´æ 1 + 1 ö = 3.7 ± 3.56ç 1212 ÷èø两种方法平均时间之差的置信区间为0.14分钟7.26分钟School of Statistics, Renmin University of China41小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，用SPSS求两个总体参数的置信区间：第1步：选择【Analyze】【Compare Means-IndependentSamples T Test 】进入主框第2步：检验变量(零件)选入【Test Variable(s)】, 将分组变量(方法

25、)选入【Grouping Variable(s)】，并选择【Define Groups】，在【Group1后输入1】,在【Group2后输入2】,点击【Continue】回到主框。点击【OK】第3步：点击【Options】，选择所需的置信水平(隐含值为95%)。点击【Continue】回到主School of Statistics, Renmin University of China框。【OK】42小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，SPSS输出结果（1）：两个样本的描述统计量Group StatisticsSchool of Statistics, Renmin Univers

26、ity of China43组组组组NMeanStd. DeviationStd. Error Mean组组组组12121232.50028.8003.99954.39981.15461.2701小样本：s1 =s 2223.1.2 均值之差，SPSS输出结果（2）：估计部分School of Statistics, Renmin University of China44小样本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，假定条件：两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：s1s2两个的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量：(x - x ) - (m - m )

27、t =1212 t(v)s2s2 1 + 2 n1n2School of Statistics, Renmin University of China45小样本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差， 两个总体均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为:s2s2( x1- x2 ) ± ta 1 + 2 2 (v)n1n2s2 ö2æ s2 1 + 2ç÷è n1n2 ø自由度v =(n1)(n2 )222122ss+n1 - 1n2 - 1School of Statistics, Renmin Uni

28、versity of China46小样本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，例：沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装所需平均时间差值的置信区间。School of Statistics, Renmin University of China47两个方法组装所需的时间方法1方法228.336.022.631.730.137.232.28.929.038.512.837.634.438.032.128.022.028

29、.830.026.8小样本：s1 ¹s 2223.1.2 均值之差，SPSS输出结果School of Statistics, Renmin University of China483.1.3 均值之差，匹配大样本假定条件：两个匹配大样本(n1³ 30和n2 ³ 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差md =m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为：s dd ± za 2nSchool of Statistics, Renmin University of China493.1.4 均值之差，匹配小样本假定条件：两个匹配小样本(n

30、1< 30和n2 < 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差md=m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为：sdd ± t(n -1)a 2nSchool of Statistics, Renmin University of China50差值的样本标准差3.1.4 均值之差，匹配小样本例：由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差md=m1-m2区间。95%的置信School of Statistics, Renmin University of China5110名学生两套试卷的得分学号试

31、卷A试卷B差值d193726111489845691741754951-276855138766016985778105539163.1.4 均值之差，匹配小样本根据样本数据计算得:nånå(di - d )2di110= 6.53 i=1sdd = 11 i=1ndn -110dsd= 11± 2.2622 ´ 6.53d ± t(n -1)a 2n10= 11± 4.67两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分15.67分School of Statistics, Renmin University of China523.

32、1.4 均值之差，匹配小样本用SPSS对配对样本进行估计：第1步：选择【Analyze】下拉菜单，并选择【CompareMeans - Paired- Samples T Test】选项，进入主对话框第2步：将两个样本同时选入【Paired Variables】第3步：点击【Options】，选择所需的置信水平(隐含值为95%)。点击【Continue】回到主框。【OK】School of Statistics, Renmin University of China533.1.4 均值之差，匹配小样本SPSS输出结果School of Statistics, Renmin University

33、 of China543.2 两个总体比例之差的区间估计假定条件：两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似（n较大）两个样本是的n1p1和n1(1-p1)， n2p2和n2(1-p2)，均应该大于10两个总体比例之差p1-p 2在1-a 置信水平下的置信区间为p1 (1- p1 ) + p2 (1- p2 )( p - p ) ± za 212nn12School of Statistics, Renmin University of China553.2 两个总体比例之差的区间估计例：某电视收视率中，农村随机400人，有32%的人收看；城市随机500人，有45%的人收看。试以95%

34、的置信水平估计城市与农村的收视率差别。解：已知 n1=500,n2=400,p1=45%, p2=32%, 1-a =95%, za/2=1.96p1-p 2置信度为95%的置信区间为45% ´ (1- 45%) + 32% ´ (1- 32%)(45% - 32%) ±1.96 ´500400= 13% ± 6.32% = (6.68% , 19.32%)城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%School of Statistics, Renmin University of China563.3 两个总体方差比的区间估计用两

35、个样本的方差比来：22如果 S1 /S2接近于 1 ,说明两个总体方差很接近如果 S12/S2远离 1 ,说明两个总体方差之间存在差异2总体方差比在1-a置信水平下的置信区间为：(n -1)s(n -1)s22u c (n1 -1),u c (n2 -1)221122dd2221(n -1)s2-1)/(n111d2u F (n1 -1, n2-1)1(n -1)s2-1)/(n222d22School of Statistics, Renmin University of China573.3 两个总体方差比的区间估计ds22u F (n1 -1, n2 -1) 12 ds2221ds22&

36、#163;£ Fa / 2F1-a / 2 12 ds2221ss2s222s2s££ 12 1 12 s22FaF1-a 22School of Statistics, Renmin University of China583.3 两个总体方差比的区间估计例：为了研究男女学生在生活费：元)上的差(异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：= 260= 280= 520= 480s2男学生： x11女学生： x2s22试以90%置信水平估计男女学生生活费区间。方差比的置信School of Statistics, Renmin Unive

37、rsity of China593.3 两个总体方差比的区间估计根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得Fa/2(24)=1.98， F1-a/2(24)=1/1.98=0.505s12 /s2 置信度为90%的置信区间为2s2260 280£ 260 280£ 1 s221.980.505男女学生生活费方差比的置信区间为0.471.84School of Statistics, Renmin University of China603.4 小结School of Statistics, Renmin University of China61正态总

38、体内容参数估计的基本原理一个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计样本量的确定School of Statistics, Renmin University of China624.1 关于抽样误差的几个概念实际抽样误差：样本估计值与总体真实值之间的绝| x - m | q - q |对离差真实值未知，因此实际抽样误差是不可知的样本估计值随样本变化，因此实际抽样误差是随机变量School of Statistics, Renmin University of China634.1 关于抽样误差的几个概念抽样平均误差：即标准误，反映样本均值（或比例）与总sq =E(q-q )2，指抽样平均误差

39、体均值（比例）的平均差异程度抽样中可以对抽样误差进行= 1- f d 2, f = n= s2xsE(x - m)2=V(x)xnNSchool of Statistics, Renmin University of China644.1 关于抽样误差的几个概念最大误差：确定置信区间时样本均值（或样本比例）加减的量，一般用E来表示，置信区间长度的一半人为确定，者在相应置信度下可的误差水平æ x - mPö= 1- a£ Zç sa /2 ÷nèø s £ m £ x + Zs（作为真值m的区间估计）

40、22; x - Za 2a 2nnSchool of Statistics, Renmin University of China654.2 必要样本量的确定影响必要样本量的因素：V(x) = s= 1- f d 2, f = n2总体标准差xnNæ x - m P£ Zö= 1- a最大误差ç sa /2 ÷nèø置信度1- a s £ m £ x + Z s nÞ x - Za 2a2n抽样方式School of Statistics, Renmin University of China664.3 估计总体均值时样本量的确定一个总体均值 s n)2s 2(zaE = za2n =2E2式中