常系数非齐次线性微分方程的几种解法

1、精选优质文档-倾情为你奉上常系数非齐次线性微分方程的几种解法广东广州 华南师范大学 （郑海珍 李璇）摘要：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。关键词：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；正文： 常系数非齐次线性微分方程形如： （1）的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组，再设法求出方程（1）的一个特解，则

2、方程（1）的通解易得为 为任意常数。一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解。下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。首先给出本文常用符号：为方程（1）的特征方程。是特征根，其对应的重数分别为。是方程（1）对应齐方程的基本解组。一、 常数变易法 1 可设方程（1）的特解形如： （1.1）其中是待定常函数。将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*） （*）解方程组（*）得到的表达式，对它们分别进行积分，从而得，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解。此法对于自由项的形式没有限制，故使用范围较广。但求解的工作量大。二、

3、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 1 令 则 这时可写，则方程（1）等价于，记，则上面方程可写成（2.1）那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵及其特解就可以求得。若方程（1）满足，则其特解可由常数变易公式给出。其中是的朗斯基行列式，中以第k列代入后得到的行列式。三比较系数法 1 对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为 ，（其中分别为m次，n次，s次多项式。为实常数）时，可预见确定特解的形式，即分别令为一待定m次多项式，k是方程（1）的特征方程有根时的次数）或，（其中位两个

4、代定m次项式，k为方程含根的次数。然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t同次幂系数的方法确定代定系数多项式。再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。四、简化待定系数法 2 比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。下面介绍第四种方法简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。现作如下介绍：定理4.1 方程（2）其中为常数，为m次多项式。则可设方程（2）的一个特解（4.2）其中是待定系数，由恒等式（4.3）来确定，为方程

5、（2）的特征方程，k为由特征方程的根的重数（是单根时k=1，不是特征根时k=0）证明：设为方程（2）的解，则 将代入方程（2）的左端于是得到（4.4）其中由于是F（）的k重特征根，可得于是由（4.4）得（4.5）。反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数是方程（1）当是它相应特征方程的k重根时的特解。当是特征方程的k重根，则方程（1）有形如 。特例 对于方程<1>当不是特征方程时，有特解<2>当是特征方程的单根时，有特解<3>当时特征方程的重根时，有特解当，是特征方程的k重根，则方程（1）有特解 而形如（分别为m次和n次多项式，为常数），则可利

6、用Euler公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。例1：求方程的通解。解：特征方程由可得 所以齐次方程的通解为。 因为，所以依据<1>知原方程有一个特解故原方程的通解为 例2：求方程的一个特解。解：因为可得所以根据<2>故原方程有一个特解五、 代换降阶法 3 由一阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为，我们联想到对于二阶以至高阶常系数非齐次线性方程是否也有类似的通解形式。定理1：设方程 （5.1）对应齐次方程的特征方程为，它的两个特征根为，则（5.1）与方程组 （5.2）是等价的。于是可得（5.1）的通解为 证明：是的两个根，由韦达定理得，从而（5.2）可化为若令，则。于

7、是（5.1）与方程组（5.2）是等价的。方程组（5.2）的解为则（5.1）的通解为 （5.3）其中为任意常数。可以看出，这个方法的实质是把一个二阶常系数线性微分方程（5.1）化成两个相继的一阶常系数线性微分方程组（5.2）来求解。定理2：设方程（5.1）对应的特征根为 ，则1. 当时，此方程的通解为2.当时，此方程的通解为3，当时，此方程的通解为 定理2的结论仅由代入方程（5.3）中再进行简化。例1、 解方程解：解特征方程得特征根。由定理2得到通解 由定理1我们再进行推广，得到：定理3：若方程（1）有n个特征根，则方程（1）与下列方程组等价： （5.4）且方程（1）的通解为证明：设方程（1）的特征方程0的根为。则利用一元高次代数方程根与系数关系有 。于是方程（1）可改写为 即（5.5）令 （5.6）则（5.5）可写成 。从而可解出 。则（5.6）为一个n-1阶常系数线性微分方程。它的特征根为，仿照上面过程，令，则（5.6）又可写成 。从而可解出。依此类推，最后令，于是解出。故方程（1）与方程组（5.4）同解且其解为 这里 表示全体原函数。故方程（1）的通解为。 由此可见，根据方程（1）的特征根，总可以通过适当的代换逐步降阶，化为相继的n个一阶常系数线性微分方程来求解。因此它的通解总可以经过n次积分而求得。参考文献： 1 常