高考向量的重点知识总结

1、高考向量考点总结1.向量的概念（1）向量的基本概念定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。表示法：几何法：画有向线段表示，记为或。在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量=x+y，记作：=(x, y) 称作向量的坐标.=(x2-x1,y2-y1)，其中A(x1,y1),B(x2,y2)（2）向量的运算向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y

2、2)。其中a=(x1，y1),b=(x2,y2)。运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：a=(x,y)=(x, y)(1)=·(2) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，=0 (3)若=（），则·=（）运算律（a）=()a,( +)a=a+a, (a+b)= a+b。3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：（1）向量的夹角：已知两个非零向量与b，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·

3、;=·cos其中cos称为向量在方向上的投影（3）向量的数量积的性质：·=·,()·=·()=（·），（+）·=·+·。若=（）,=（）则·=（）·=0（，为非零向量）;（）向量与夹角为锐角（）向量与夹角为钝角4.定理与公式 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b= a结论： (¹)的充要条件是x1y2-x2y1=0注意：1°消去时不能两式相除，y1, y2有可能为0， ¹x2, y2中至少有一个不为02°充要条件不

4、能写成 x1, x2有可能为03°向量共线的充要条件有两种形式： (¹)平面向量基本定量：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1,2使=1+2两向量垂直的充要条件(i) ·=0 (ii) x1·x2+y1·y2=0（=(x1,y1), =(x2,y2)）三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数、,使=+，其中+=1，O为平面内的任一点。数值计算公式两点间的距离公式：|=，其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)P分有向线段所成的比：设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1

5、、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，0；当点P在线段或的延长线上时，0；分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则： 中点坐标公式：两向量的夹角公式：cos=0180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)图形变换公式： 平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则有关结论(i)平面内有任意三个点O，A，B。若M是线段AB的中点，则(+);一般地，若P是分线段AB成定比的分点（即=，-1）则=+，此即线段定比分点的向量式 (ii)有限个向量，a1,a2,an,相加，可以从点O出发，逐一作向量=a1, =a2, =an,则向量即这些向量的和，即a1+a2+an=+=（向量加法的多边形法则）。当An和O重合时（即上述折线OA1A2An成封闭折线时），则和向量为零向量。注意：反用以上向量的和式，即把一个向量表示为若干个向量和的形式，是解决向量问题的重要手段。5.向量应用（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量