趋势时间序列模型

1、引言：引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。一个宽平稳的时间序列的均值和方差均值和方差都是常数，并且它的协方差有时间上协方差有时间上的不变性。 但是许多经济领域产生的时间序列都是非平稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各种情形，如它们具有非常数的均值t，或非常数的二阶矩，如非常方差t2，或同时具有这两种情形的非平稳序列。第六章 趋势时间序列模型第六章 趋势时间序列模型第一节 非平稳时间序列模型的种类第二节 非平稳性的检验第三节 平稳化方法第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA) 在现实世界中的大多数经济时间序列都表现出趋势性，即时间序列值随

2、时间的变化呈现出增加或减少趋势和方差的不稳定性。例如，城镇居民人均可支配收入数据序列就有上升趋势，并且波动幅度逐年增大，表现出方差的不平稳性。因此在对时间序列建立模型之前，必须分析时间序列的平稳性和平稳化方法，这对于我们进行时间序列的统计分析、预测与控制，都具有十分重要的意义。 趋势性时间序列是在图形上表现出一个长期上升或向下的趋势。一般情况下，通过时间序列观察值来判断序列的趋势性是比较容易，但是有些情况下，就比较困难，这主要原因是从短期看，时间序列具有趋势变动，但从长期看，它只不过是循环波动的一部分。时间序列的趋势性，有确定性和非确定性两种，前者有线性趋势和非线性趋势。具有非确定性趋势的序列

3、，往往表现为一种慢慢地向上或向下漂移的时间序列.第一节 非时间序列模型的种类一、均值非平稳过程二、方差和自协方差非平稳过程 返回本节首页下一页上一页一、均值非平稳过程 均值非平稳过程指随机过程的均值随均值函数的变化而变化。 我们可以引进两种非常有用的均值非平稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。返回本节首页下一页上一页（一）确定趋势模型当非平稳过程均值函数可由一个特定的时间趋势表示时，一个标准的回归模型曲线可用来描述这种现象。.,:,1010模型来描述前面介绍的可以用程是一个零均值的平稳过其中趋势模型表示如下则原序列可用确定的有服从线性趋势若均值例如ARMAyytxtttttttttyttxtt

4、22102210:,原序列可用下式表示对二次均值函数此外，均值函数还可能是指数函数、正弦余弦波函数等，这些模型都可以通过标准的回归分析处理。处理方法是先拟合出t的具体形式，然后对残差序列yt=xt t按平稳过程进行分析和建模。（二）随机趋势模型随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对ARMA模型的性质作一回顾。.1)(1)(:)()(:),(221221为白噪声序列其中模型如下假设有一个tqqpttaBBBBBBBBaBxBqpARMA.,0)(.0)(:,就是非平稳的么那的根不都在单位圆外如果根都在单位圆外的则必须有为满足平稳性txBBttddaBxBBB

5、BBdB)()1)(:)1)()(:,0)(于是原模型可写为则可令而其它根都在单位圆外个根落在单位圆上恰有现假设.)()()(:,)1 (.,运算后可变为平稳序列差分次程经过若干次可见一个齐次非平稳过则令称为齐次性的阶为齐次非平稳过程这时我们就称daBwBxBwdxtttdtt可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的非平稳序列，即齐次非平稳序列。齐次非平稳序列。由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次非平稳序列又称单位根过程。二、方差和自协方差非平稳过程一个均值平稳过程不一定是方差和自协方差平稳过程，同时一个均值非平稳过程也可能是方差和自协方差非平稳过程。不是所有的

6、非平稳问题都可以用差分方法解决，还有期望平稳和方差非平稳序列，为了克服这个问题，我们需要适当进行方差平稳化变换。返回本节首页下一页上一页010ln:,)(tttxxx表示如下稳一般用幂变换使方差平这个变换最早由BOX和COX于1964年提出，因此称作BOXCOX变换。其中为变换参数。第二节 非平稳性的检验一、通过时间序列的趋势图来判断二、通过自相关函数(ACF)判断三、特征根检验法四、用非参数检验方法判断序列的平稳性五、随机游走的单位根检验返回本节首页下一页上一页一、通过时间序列的趋势图来判断这种方法通过观察时间序列的趋势图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为

7、非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。返回本节首页下一页上一页二、通过自相关函数(ACF)判断平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的，要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性来判断时间序列是否为平稳序列。若时间序列具有上升或下降的趋势若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而且随着时滞k的增加而缓慢地下降。返回本节首页下一页上一页若序列无趋势若序列无趋势，但是具有季节性但是具有季节性，那末对于按月采集的数据，时滞12，24，36的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，

8、8，12， )，并且随着时滞的增加变得较小。若序列是有趋势的，且具有季节性若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12， 等处。三、特征根检验法（P146）.1;, 1:,:则该序列就是非平稳的如果的则可以认为序列是平稳即件都满足平稳性条若所有的特征根特征根组成的特征方程的求由该适应模型的参数然后先拟合序列的适应模型基本思想返回本节首页下一页上一页根据拟合出的时序模型参数检验(P146)基本思想：时间序列模型的平稳性条件不仅可以用特征根来表示，也可以用

9、模型的表示，因此要检验一个序列是否平稳，可以先拟合适应的模型，然后再根据求出的来检验序列是否平稳。检验方法：参见课本146.;,.1:),(111:,), 2(1,), 1 (,.21212211作进一步的判定如果满足则需要列原序列肯定为非平稳序那么即如果上述条件不满足种便捷的途径是否平稳提供了一这为我们判断时间序列都有如下必要条件模型要满足平稳性一般的平稳性条件为模型平稳性条件为模型如例如时间序列模型较为方便归阶数较低的这种检验方法对于自回pqpARMAqARMAqARMA四、用非参数检验方法判断序列的平稳性（一）什么是参数检验和非参数检验？参数检验：参数检验是这样一种检验，它的模型对抽出研

10、究样本的总体的分布作了限制性假定。如果对总体的分布不知道或了解很少，则参数检验方法就不可靠，甚至会发生较大偏差。返回本节首页下一页上一页非参数检验：非参数检验是一种不依赖于总体分布知识的检验方法。由于非参数检验不对总体分布加以限制性假定，所以它也称为自由分布检验。非参数检验与参数检验相比有如下优点：a.检验条件比较宽松，适应性强 。b.参数检验对样本容量的要求极低。c.检验方法灵活，用途更广泛。非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验定距数据和定比数据，又可以检验定类数据和定序数据；而参数检验只能处理定距数据和定比数据。因为这些优点，非参数检验比参数检验应用更广泛。d.非参数检验计算

11、相对简单，易于理解。非参数检验的缺点：如果参数统计模型的所有假设在数据中事实上都能满足，而且测量达到了所要求的水平(定距数据或定比数据)，那么用非参数检验就浪费了数据中的信息。也就是说此时非参数检验的功效不如参数检验高。(二)非参数检验方法在检验序列平稳性中的应用1.游程检验方法(1)什么是游程一个游程定义为一个具有相同符号的连续串，在它前后相接的是与其不同的符号或完全无符号。例如，观察的结果用加、减标志表示，得到一组这样的记录顺序：+-+-+-+这个样本的观察结果共有7个游程。（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性的基本思想.,程数并可求出这个序列的游序列这样就形成了一个符号号的观察值记为大

12、比号小的观察值记为对序列中比设其样本均值为对于一个时间序列xxxxt如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将随机出现，因此它的游程数既不会太多，又不会太少；反过来说如果符号序列的游程总数太少或太多，我们就可以认为时间序列存在某种趋势性或周期性。.) 1 , 0()()(:)15() 1() 12(2)(12)(:,212212121212121服布渐近服从有大于或在大样本情况下的期望和方差分别如下数游程总明，对于随机序列可以证总数为出现的次数，游程与为记号序列中分别和设序列长度为NrDrErZNNNNNNNNrDNNNNrErrNNNNNN(3)检验方法a.小样本情况零假设： H0：加号和减

13、号以随机的方式出现检验方法：取显著性水平(一般取0.05),查单样本游程检验表，得出抽样分布的临界值rL、rU判定：若rL r rL 或r rU则拒绝零假设，序列是非平稳的。b.大样本情况零假设： H0：加号和减号以随机的方式出现检验方法：给定显著性水平(一般取0.05)查标准正态分布表，得出抽样分布的临界值-z ,+z 。并计算统计量:)()(rDrErZ判定：若-z z+z ,则不能拒绝零假设，即不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设，序列是非平稳的。（例见P151例6.5）非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行，游程检验可见操作。实例：用游程检验S&T数据的平稳性；步骤如下：1.打开S

14、PSS输入数据2.依次单击AnalyzeNonparmetric TestsRuns; 打开Runs对话框。3.在源变量对话框中选择“stpoor”进入“Test Variable list”栏内4.选中“cut point”栏中“mean”选项5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。288.9746102921944-13.532.000Test ValueaCases = Test ValueTotal CasesNumber of RunsZAsymp. Sig. (2-tailed)STPOORMeana. 输出结果分析：因为P值（sig.）极小，所以拒绝零假设，故原序列是非平稳的。也

15、可以通过其它的非参数检验方法来判断序列是否平稳，如Spearman等级相关系数，Kendall 相关系数等。五、随机游走的单位根检验(Unit root test)在第二章我们已经讲过，随机游走是一种非平稳过程，其实随机游走一种特殊的齐次非平稳过程。 检验序列是否为随机游走，通常利用David Dickey和Wayne Fuller的单位根检验。单位根的含义和检验原理如下：返回本节首页下一页上一页., 1:.),(:11间序列序列就叫做随机游走时一个有位单位根的时间根有一个单位那么就说随机变量并确实发现如果我们作如下回归非平稳的情况它是一种的单位根问题这时我们就遇到了所谓无自相关恒定方差点零均

16、值为白噪声其中可由下式描述假设序列tttttttttyuyyuuyyy)(.)(.,0.;, 0,)1 (:11检验由此得名统计量进行检验算的计和这时需要根据分布不服从值并通常计算的下然而要在原假设序列是平稳的否则它是非平稳的是随机游走过程则如果检验出对上述模型作回归下等价形式随机游走模型可写成如DFtauFullerDickeyttyuyuyytttttt检验时：如果所计算的统计量的绝对值(即|)大于DF分布表中临界值的绝对值，则拒绝=0的假设，原序列是平稳的；否则，如果它小于临界值，则时间序列是非平稳的。注：Eviews输出结果中直接计算出了统计量及其临界值。（所列出的是麦金农MacKin

17、non对DF分布表扩充后的临界值）., 0,).(),(int:)3()2() 1 (:,1121111存在一个单位根即原假设都是在上面每一种有形中为趋势项为常数项其中检验以下形式的回归作人们常用原因由于理论上和实践上的trendterceptuytyuyyuyyFullerDickeyttttttttt用Eviews进行单位根检验时给出了上述选项。.)().(, 0.,:) 3(,2111121检验该检验被称为是非平稳的即个单位根有一即时该检验的原假设仍是独立的要做到使上式中少个滞后的差分项模型中要包含多等如分项上式中包含有滞后的差式修改如下就把上述如果误差项是自相关的FullerDicke

18、yAugmentedADFyyyyyyytytttttttmiititt1.单位根检验例可见操作。2.补充利用Eviews对ARMA模型向多期预测内容。见Eviews操作。第三节 平稳化方法一 差分运算的实质二 差分方式的选择三 过差分一 差分运算的实质差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法Cramer分解定理在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息差分运算的实质是使用自回归的方式提取确定性信息 diitiditdtdxCxBx0) 1()1 (二 差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提

19、取出曲线趋势的影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息 例1 【例1.1】1964年1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算 考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 1tttxxx差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图例2尝试提取1950年1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息差分后序列时序图一阶差分二阶差分例3差分运算提取1962年1月1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息 差分后序列时序图一阶差分1阶12步差分三 过差分 足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确

20、定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费 例4假设序列如下 考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差 ttatx10比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大111tttttaaxxx21122ttttttaaaxxx212)()(tttaaVarxVar22126)2()(ttttaaaVarxVar第四节 ARIMA模型一 ARIMA模型结构二 ARIMA模型性质三 ARIMA模型建模四 ARIMA模型预测一 ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构tsaExtsaaEaVaraEaBxBtsstattttd, 0, 0)(,)(0)()()(2， BBBqqpp

21、ddBBBB11111式中： 为零均值白噪声序列。其中，上述模型可简记：aaXtttdBB注意: 由上式可知,ARIMA模型的实质就是差分运算与ARMA模型的组合.这说明任何非平稳时间序列只要通过适当阶数的差分实现差分后平稳,就可以对差分后序列进行ARMA模型拟合了. XCXitiddidtd 01平均模型。回归移动模型，所以称为求和自动平均它又可以拟合自回归移序列若干值的加权和，的即差分序列等于原序列式中，)(,!ARMAididCidARIMA 模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p

22、,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=random walk model随机游走模型( random walk)模型结构模型产生典故Karl Pearson(1905)在自然杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？tsaExtsaaEaVaraEaxxtsstttttt, 0, 0)(,)(0)(21，二 ARIMA模型的性质1 平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当 时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例5ARIMA(0,1,0)时序图0

23、dARIMA模型的方差齐性 时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性0d2110)()()0 , 1 , 0(txVarxVarARIMAttt模型2)()()0 , 1 , 0(ttVarxVarARIMA模型三 ARIMA模型建模步骤获获得得观观察察值值序序列列平稳性平稳性检验检验差分差分运算运算YN白噪声白噪声检验检验Y分分析析结结束束N拟合拟合ARMA模型模型例6对1952年1988年中国农业实际国民收入指数序列建模 一阶差分序列时序图一阶差分序列自相关图一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数 统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.13442

24、拟合ARMA模型偏自相关图建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著ttBxB)70766. 01 (99661. 4)1 (48763.56)(tVar四 ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理 Green函数递推公式jdpjdpjj1122112111预测值)()(111111tltltlltltltx)(let)( lxt22121)1 ()(0)(lttleVarleE例7已知ARIMA(1,1,1)模型为 且求 的95的置信区间 ttBxBB)6 . 01 ()1)(8 . 01 (5 . 41tx3 . 5tx8 . 0t123tx预测值等价形式计算预测值69. 5) 1 (8 . 0)2(8 . 1) 3(59. 58 . 0) 1 (8 . 1)2(46. 56 . 08 . 08 . 1) 1 (1ttttttttttxxxxxxxxx12126 . 08 . 08 . 1)6 . 01 ()8 . 08 . 11 (tttttttxxxBxBB计算置信区间Green函数值方差95置信区间36. 18 . 08 . 12 . 16 . 08 . 11212896. 4)1 ()3(22221eVar)75. 9 ,63. 1 ()3(96. 1) 3(,)