高二文科数学专题五双曲线

1、专题六-双曲线一、知识点汇总定义（其中）标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长焦距=2c,实轴长2a，虚轴长2b 三者间关系c2a2b2离心率e且e1渐近线yxyx等轴双曲线x2y2(0)渐近线方程为：yx.离心率为：e.二、课前热身：判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)点A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，则点C的

2、轨迹是双曲线()(3)到两定点F1(3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线()(4)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长()(5)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(6)离心率e越大，双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大()【答案】(1)(2)(3) (4)(5)(6)三、典例分析题型一：双曲线定义的应用例1. （1）设动点M到A(5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.1 B.1 C.1(x0) D.1(x0)【解析】由双曲线的定义得，P点的轨迹是双曲线的一支由已知得a3，c5，b4.故P点的轨迹方程为1(x0)，因此选

3、D.【答案】D(2) 双曲线的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是12，则P到F2的距离是()A17B22 C7或17 D2或22【解析】由双曲线方程1得a5，|PF1|PF2|2510.又|PF1|12，|PF2|2（舍）或22.故选B【答案】B(3)已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为()A. B. C. D.【解析】不妨设点F1(3,0)，容易计算得出|MF1|，|MF2|MF1|2.解得|MF2|.而|F1F2|6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|F1F2|MF2|d，求得F1到直线F2M的距离d为.故选C变式

4、训练1：（1）已知圆M1：(x4)2y225，圆M2：(x-4)2y21，一动圆P与这两个圆都外切，则动圆圆心P的轨迹方程为_【解】设动圆的半径是R，则由题意知两式相减得|PM1|PM2|4|M1M2|8，所以动圆圆心P的轨迹是以点M1(4,0)、M2(4,0)为焦点的双曲线中靠近焦点M2(4,0)的一支（2）已知F是双曲线1的左焦点，点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_【答案】9【解析】设右焦点为F，依题意，|PF|PF|4，|PF|PA|PF|4|PA|PF|PA|4|AF|4549.题型二：双曲线的标准方程例2. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a

5、2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4; (3)求经过点(3,0)，(6，3)的双曲线的标准方程(4)虚轴长为12，离心率为；(5)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(6)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【解】(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216.故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得

6、故所求双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，解得故所求双曲线的标准方程为1. (4)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(5)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线的标准方程为1.(6)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.变式训练2已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断：当1t4时，曲线C表示椭圆；当t4或t

7、1时，曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t；若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)【解析】错误，当t时，曲线C表示圆；正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t1或t4；正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10.1t；正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，t4.【答案】题型三：双曲线中的焦点三角形问题例3. (1)如图221，双曲线1(a0，b0)的焦点为F1，F2，过点F1作直线交双曲线的左支于点A，B，且|AB|m，则ABF2的周长为_图221(1)4a2m ，因为所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4a.又

8、因为|AF1|BF1|AB|m，所以|AF2|BF2|4am.所以ABF2的周长为|AF2|BF2|AB|4a2m.（2）若F1，F2是双曲线1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积【精彩点拨】双曲线方程|PF1|PF2|2a|PF1|2|PF2|2的值F1PF290SF1PF2【自主解答】由双曲线方程1，可知a3，b4，c5.由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a6，将此式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.如图所示，在F1PF2中，由余弦定理，得cos F1P

9、F20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.变式训练3（1）若F1，F2是双曲线8x2y28的两焦点，点P在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，则PF1F2的周长为_. 【解析】双曲线8x2y28可化为标准方程x21，所以a1，c3，|F1F2|2c6.因为点P在该双曲线上，且PF1F2是等腰三角形，所以|PF1|F1F2|6，或|PF2|F1F2|6，当|PF1|6时，根据双曲线的定义有|PF2|PF1|2a624，所以PF1F2的周长为66416；同理当|PF2|6时，PF1F2的周长为66820.【答案】16或20（2）.如图222，已知双曲线中c2a，F1，F2为

10、左、右焦点，P是双曲线上的点，F1PF260，SF1PF212.求双曲线的标准方程图222 【解】由题意可知双曲线的标准方程为1.由于|PF1|PF2|2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60，所以|PF1|PF2|4(c2a2)4b2，所以SF1PF2|PF1|PF2|sin 602b2b2，从而有b212，所以b212，c2a，结合c2a2b2，得a24.所以双曲线的标准方程为1.题型四：双曲线的几何性质例4. (1)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 【解】将原方程转化为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3

11、,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yx.(2)已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.【解析】由双曲线x21，得a1，2，b2.【答案】2(3)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D.(3)双曲线x2y21的顶点坐标为(1,0)，渐近线为yx，xy0，顶点到渐近线的距离为d. 选B(4)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等 D焦距相等 (4)因为0k0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为() Ayx By2x Cyx

12、Dyx【解析】由已知，得b1，c，a.因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为yxx.【答案】C8已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2 B. C. D1【解析】由题意得e2，2a，a234a2，a21，a1.【答案】D9椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则a的值是()A. B1或2 C1或 D1【解析】由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.【答案】D10双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是()A(10,0) B(12,0) C(3,0) D(60，12)【解析】双曲线方程化为1，则a24，b2k，c24k，e，又e(1,2)，12，解得12k0.【答案】B

13、11与曲线1共焦点，且与曲线1共渐近线的双曲线的方程为()A.1 B.1 C.1 D.1【解析】根据椭圆方程可知焦点为(0，5)，(0,5)设所求双曲线方程为(0)，即1.由64(36)25，得.故所求双曲线的方程为1.【答案】A12已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|()A2 B4 C6 D8【解析】由题意，得|PF1|PF2|2，|F1F2|2.因为F1PF260，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|8，所以|PF1|

14、PF2|8224.【答案】B13已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且0，|2，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21 C.1 D.1【解析】由双曲线定义|MF1|MF2|2a，两边平方得：|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2，因为0，故MF1F2为直角三角形，有|MF1|2|MF2|2(2c)240，而|2，40224a2，a29，b21，所以双曲线的方程为y21.【答案】A14若点P到点(0，3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c3,2a2，则a1，

15、b2918，所以点P的轨迹方程为y21(y1)【答案】y21(y1)15若直线x2与双曲线x21(b0)的两条渐近线分别交于点A，B，且AOB的面积为8，则焦距为_【解析】由双曲线为x21得渐近线为ybx，则交点A(2,2b)，B(2，2b)SAOB24b8，b2.又a21，c2a2b25.焦距2c2.【答案】216(1)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，双曲线的标准方程为1.【答案】1(2)经过点P(3,2)和Q(6，7)的双曲线的标准方程是_. 【解析】设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.【答案】1(3)以椭圆1短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，5)的双曲线的标准方程为_【解】由1，得a4，b3，所以短轴两端点的坐标为(0，3)，又双曲线过A点，由双曲线定义得2a|2，a，又c3，从而b2c2a24，又焦点在y轴