高二数学双曲线及其标准方程式

1、高二数学双曲线及其标准方程式教案课 题：双曲线及其标准方程式地 点：微机室 辅助工具：微机（附软盘）教学目的：1能根据条件利用工具会画双曲线2 常握双曲线定义及标准方程3 利用定义会求双曲线的方程4 利用标准方程的形式会求双曲线的方程5 提高运算能力重 点：双曲线的定义和及其标准方程难 点：标准方程中a与b的判断和换元法教学过程：（详见于课件） 一.回顾与引入主题椭圆定义是与两定点的距离的和为常数的点轨迹是椭圆,那么与两定点距离的差非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢?二.实物演示与电脑演示工具: 图钉,笔,拉链.方法: 将拉链拉开一部分,在拉开的两边上各选取一点,分别固定在,上,到的长为2a(a

2、>0).把笔尖放在处,随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖就画出一条曲线（先用模型演示，后用电脑演示）。问：这条曲线是满足什么条件的点的集合。答: 如果使点M到点F的距离减去到点F的距离所得差等于2a，就得到另一条曲线（电脑演示），这条曲线是满足下例条件的点的集合，即 。名词：这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。（此时板书课题）上述演示中有几个关键的地方：1、= 常数（=2a>0）2、=常数（=2a>0）3、a<c此时M的轨迹是双曲线问：若a=c 或a>c时，则M的轨迹又是什么？请思考（先电脑演示后回答，再看结果）三双曲线定义(电脑展示)为了给出双曲线定义

3、，请再思考：1、与哪个大？2、点M与F、F点的距离之差应怎么表示？3、点M与F、F点的距离之差与的大小关系怎样？回答后，电脑展示结果。通过上述讨论得到双曲线定义：定义(电脑展示和板书)把平面内与两个定点的距离之差的绝对值是常数2a(小于)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。四求标准方程以过两定点的直线为X轴，以线段的平分线为Y轴，建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为M（x,y），=2c,并设根据，得：（板书此处化简的过程）化简方程，得：由双曲线定义可知，2c>2a，即c>a，所以>0。令，其中b>0，代入上式，得 ()（

4、板书）这个方程叫做双曲线的标准方程。它的特点是焦点在X轴上，焦点是， ，这里。想一想：焦点在Y轴上，标准方程又怎样吗？（电脑演示）归纳：（方程与图形都发生变化）（师生共同完成） 焦点是、，a、b的意义同上，那么只要将原方程的x、y互换，就可以得到它的方程 ()（板书）这个也是双曲线的标准方程。小结：（师生共同完成）电脑展示结果。练习：(电脑展示)1.已知：求：a=_ ,b=_ ,c=_ .2.已知：求：a=_ ,b=_ ,c=_ .五例题(电脑展示)例1 已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在X轴上，所以设它的方程为 (

5、a>0,b>0) 2a=6,2c=10, a=3 , c=5， b=4所以所求双曲线的标准方程为注：此题用双曲线的定义和标准方程的特征来解的，也可以利用轨迹思想和两点间的距离公式来解，但较繁。练习：(电脑展示)例2. 已知双曲线的焦点在Y轴上，并且双曲线上两点的坐标分别为,求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在Y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为 ( a>0,b>0 ) 因为点在双曲线上，所以点的坐标适合上面方程,将分别代入其中，得方程组 令,则方程组化为解这个方程组，得 即所以所求标准方程为。注 ：本题解题方法是待定系数法，化简是用了换元法。六. 练习(电脑展示)1、 求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)、a=4,b=3,焦点在x轴上；(2)、焦点为(0,-6),(0,6),经过点(2,-5)；2、填空：已知方程表示双曲线，则的取值范围是_.七. 小结：(电脑展示)本节课主要掌握： 概 念：双曲线定义，焦点，焦距，长轴，短轴。 公 式：标准方程（两种形式）。 几何含义：a,b,c. 绘图方式：拉链。 解题方法：定义法，待