高中数学概念及方法——向量

1、高中数学概念及方法向量一几种特殊的向量1向量：长度为0的向量，方向任意，记作。2单位向量：长度为1个单位的向量。3平行向量：方向相同或相反的非零向量。 规定：与任何向量平行。4相等向量：长度相等，方向相同的向量。推论：平移后的向量与原向量相等，与起点无关。任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示。 5共线向量：平行向量都可以平移到同一直线上，共线向量可以相互平行，所以平行向量也称为共线向量。二向量的加法1向量加法几何作法的特征：“以尾为首，首尾相接”。2向量加法法则：三角形法则（首尾相接） 和向量：由开始的起点指向最后的终点的向量。平行四边形法则（共起点） 和向量：以已知的两向量作为邻边

2、构造平行四边形，共起点的对角线向量（三向量共起点）。 3交换律： 4结合律：5和向量的模与两向量模之间的关系： （第一个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得， 第二个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得） 6坐标运算：设，则。三向量的减法1向量减法几何作法的特征：“共起点”。2向量减法法则：三角形法则（共起点） 差向量：连终点，箭头指向被减向量的向量。3与长度相等，方向相反的向量称为的相反向量，记作。4差向量的模与两向量模之间的关系：（第一个等号在两向量同向或至少有一个为零向量时取得，第二个等号在两向量反向或至少有一个为零向量时取得） 5是以和作为邻边构造的平行四边形的两条对角线，

3、且，是两条对角线长。 6坐标运算：设，则。四1实数与向量的积实数与向量的积仍是向量，记作。 长度： 方向： 运算率： 定理：和非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 注：与共线 如与共线作用：判断两向量是否共线。要证三点共线，只要证有公共点的两向量共线。坐标运算：设，则。2平面向量的数量积向量运算：已知非零向量，它们的夹角为，则。注：不是向量，是一个实数，其符号由决定。规定：零向量与任何向量的积是0，即。两向量夹角的范围时，与同向；时，与反向。 时，与垂直，记作，此时，称为在方向上的投影。 投影=向量本身的长度夹角的余弦值 几何意义：表示的长度与在方向上投影的乘积。向量数量积的性质：

4、 若是非零向量，为夹角，是与同向的单位向量，则：与同向时，；与反向时，。特例：，即向量的平方等于模的平方。 或（求模的方法） 向量数量积的运算律交换律：分配律：完全平方公式：平方差公式：经典错题：。 例：且。 前者是与共线的向量，后者是与共线的向量。数量积的坐标公式：设，则。即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。 特例：若则 向量模的坐标公式若点，点，则两点间距离公式夹角公式的坐标形式： (非特殊角用反三角求)五平面基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得，并把不共线的称为平面内所有向量的一组基底。六向量平行（或共线） 1向量形式

5、：，的符号能辨别两向量同向或反向。 2坐标形式： 内项之积等于外项之积。 其中，可为。七向量垂直（涉及垂直的向量都必须是非零向量） 1向量形式： 2坐标形式：八线段的定比分点： 1点p分成两条有向线段，由三点共线知： ，即，称为点p分有向线段所成的比，点p为的定比分点。 注：不是长度之比。的字母顺序 2规律：当p在线段上，p为内分点。 当p在线段的延长线或反向延长线上，p为 外分点-内分为正，外分为负（的符号）的计算：先求长度之比，再定符号。（作箭头示意图）推导：设 ，即 定比分点的坐标公式 特征： 特例：当即p是的中点时中点坐标公式九平移： 1设旧点，按平移向量平移后得新点，则有同一坐标系下的坐标平移公式。 2平移公式解决的问题： 旧点，平移向量，新点三者知二求一。旧函数，平移向量，新函数三者知二求一。（注意解题格式：设新点，旧点及平移向量）十其它公式及方法： 1证明四边形为梯形，只要证，且 一组对边平行但不相等。 2在三角形中，分别为三边中点，为三条中线的交点，称为重心。设，则重心坐标公式为顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的两倍。即。三个重要结论：， 3若，求。法一：，用待定系数法解方程组。法二：若给出的坐标，可用平行的充要条件列出内项积等于外项积求，但比法麻烦。 4求的方法： 法一：再开方求。（法一必须给出） 法二：构造平行四边形 数形