高中数学推理与证明 12 类比推理练习 北师大版选修12

1、1.2类比推理明目标、知重点1.通过具体实例理解类比推理的意义.2.会用类比推理对具体问题作出判断1类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理2合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式合情推理的结果不一定正确探究点一平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星；

2、(2)有大气层，在一年中也有季节变更；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等科学家猜想：火星上也可能有生命存在2根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)abacbc; (1)a>bac>bc；(2)abacbc; (2)a>bac>bc；(3)aba2b2等等. (3)a>ba2>b2等等思考1这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？答类比推理的定义：这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理思考

3、2猜想正确吗？答不一定正确思考3类比圆的特征，填写下表中球的有关特征.圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长球的表面积圆的面积球的体积圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等，距球心较近的截面圆面积较大以点P(x0，y0)为圆心，r为半径的圆的方程为(xx0)2(yy0)2r2以点P(x0，y0，z0)为球心，r为半径的球的方程为(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2例1如图所示，面积为S的平面凸四边

4、形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则h12h23h34h4，类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，若K，则H12H23H34H4等于多少？解对平面凸四边形：Sa1h1a2h2a3h3a4h4(kh12kh23kh34kh4)(h12h23h34h4)，所以h12h23h34h4；类比在三棱锥中，VS1H1S2H2S3H3S4H4(KH12KH23KH34KH4)(H12H23H34H4)故H12H23H34H4.反思与感悟解决此类问题注意用类比推理的方法去分析问题，研究当条

5、件变化时，问题的本质有哪些不同，有哪些变化，如本题中平面图形中点到直线的距离类比三棱锥中点到平面的距离，平面图形中的面积类比三棱锥中的体积，进而计算出结果跟踪训练1在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_答案设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则SSSS解析类比条件：两边AB、AC互相垂直侧面ABC、ACD、ADB互相垂直结论：AB2AC2BC2SSSS.探究点二定义、定理或性质中的类比例2在等差数列an中，若a100，证明

6、：等式a1a2ana1a2a19n(n<19，nN)成立，并类比上述性质相应的在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立答案b1b2bnb1b2b17n(n<17，nN)解析在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.相应地，类比此性质在等比数列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n，(n<17，nN)反思与感悟(1)运用类比思想找出项与项的联系，应用等差、等比数列的性质解题是解决该题

7、的关键(2)等差数列和等比数列有非常类似的运算和性质，一般情况下等差数列中的和(或差)对应着等比数列中的积(或商)跟踪训练2设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案1下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论不能判断正误答案B解析根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论2在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_

8、答案18解析两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是相似的几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.3若数列cn是等差数列，则当dn时，数列dn也是等差数列，类比上述性质，若数列an是各项均为正数的等比数列，则当bn_时，数列bn也是等比数列答案呈重点、现规律1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向2合情推理的过程概括为一、基础过关1下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把

9、a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sin xsin yC把a(bc)与axy类比，则有axyaxayD把a(bc)与a·(bc)类比，则有a·(bc)a·ba·c答案D2下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n2)&#

10、183;180°.A BC D答案C解析是类比推理；是归纳推理；是归纳推理所以、是合情推理故C正确3对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心4设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r等于()A. B.C. D.答案C解析设四面体的

11、内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体ABCD(S1S2S3S4)R，R.5类比平面直角坐标系中ABC的重点G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)为顶点的四面体ABCD的重点G(，)的公式为_答案6公差为d(d0)的等差数列an中，Sn是an的前n项和，则数列S20S10，S30S20，S40S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公

12、比为q(q1)的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有_答案，也成等比数列，且公比为q1007如图(1)，在平面内有面积关系，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论解类比，有证明：如图：设C，C到平面PAB的距离分别为h，h.则，故.8在ABC中，若C90°，则cos2Acos2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥PABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21”证明：设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记POh，由PCPA，PCPB，得P

13、C面PAB，从而PCPM，又PMC，cos sinPCO，cos ，cos .VPABCPA·PB·PC(PA·PBcos PB·PCcos PC·PA cos )·h，()h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升9把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行答案B解析推广到空间以后，对于A

14、、C、D均有可能异面，故选B.10.已知数列an为等差数列，若ama，anb(nm1，m，nN)，则amn.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn>0，nN)，若bmc，bnd(nm2，m，nN)，则可以得到bmn_.答案解析设数列an的公差为d，数列bn的公比为q.因为ana1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以类比得bmn11.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为ab·cos Cc·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解如图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PB

15、C，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：SS1·cos S2·cos S3·cos .12.(1)椭圆C：1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)(1)证明设点P(x0，y0)，(x0±a)依题意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直线PA的方程为y(xa)，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又点P(x0，y0)在椭