高中数学导数及其应用 133 最大值与最小值习题 苏教版选修22

1、1.3.3最大值与最小值明目标、知重点1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值1函数在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2在闭区间求函数最值的步骤(1)求函数yf(x)在区间(a，b)内的极值，(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值3函数在开区间(a，b)内的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值

2、，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值情境导学极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf

3、(x)的极大值思考2观察思考1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值小结一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但

4、最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1求导，确定函数在闭区间上的极值点2求出函数的各个极值和端点处的函数值3比较大小，确定结论例 1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsin x，x0,2解(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(

5、x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，单调递减区间为(，)因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f()，f().当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b

6、上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得跟踪训练1求下列函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解(1)f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)0，得x12，x22.f(2)，f(0)4，f(3)1，2D/0,3，函数f(x)在0,3上的最大值为4，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)<0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5

7、.探究点二含参数的函数的最值问题例 2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解(1)f(x)3x22ax.因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.(2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当0<<2，即0<a<3时，f(x)在

8、上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪训练2在例2中，区间0,2改为1,0结果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a，当a0，即a0时，f(x)在1,0上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当a1，即a时，f(x)在1,0上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当1<a<0，即<a<0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)maxfa3.综上所述：f(x)max探究点三函数最值

9、的应用思考函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数例 3设函数f(x)2x39x212x8c，(1)若对任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围(2)若对任意的x(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围解(1)f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)>0；当x(1,2)时，f(x

10、)<0；当x(2,3)时，f(x)>0.当x1时，f(x)取极大值f(1)58c.又f(3)98c>f(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对任意的x0,3，有f(x)<c2恒成立，98c<c2，即c<1或c>9.c的取值范围为(，1)(9，)(2)由(1)知f(x)<f(3)98c，98cc2即c1或c9，c的取值范围为(，19，)反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定

11、参数的范围能否取得“”跟踪训练3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)单调递增1m单调递减对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)<2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)

12、<0，对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m<0，m>1.实数m的取值范围是(1，)1函数yxsin x，x的最大值是_答案解析因为y1cos x，当x时，y>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin .2若函数f(x)、g(x)在区间a，b上可导，且f(x)>g(x)，f(a)g(a)，则在区间a，b上f(x)与g(x)的大小关系为_答案f(x)g(x)解析f(x)>g(x)，f(x)g(x)单调递增xa，f(x)g(x)f(a)g(a)，即f(x)g(x)0，即f(x)g(x)3函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值

13、为10，则其最小值为_答案71解析f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.4函数f(x)exsin x在区间上的值域为_答案0，e解析f(x)ex(sin xcos x)x，f(x)>0.f(x)在上是单调增函数，f(x)minf(0)0，f(x)maxf()e.呈重点、现规律1求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(2

14、)闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)2求含参数的函数最值，可分类讨论求解3“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、基础过关1函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是_，_.答案102解析f(x)2x4，当x3,5时，f(x)<0，故f(x)在3,5上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)，f(3)10，f(5)2.2函数yxex

15、，x0,4的最大值是_答案解析yexx·exex(1x)，令y0，x1，f(0)0，f(4)，f(1)e1，f(1)为最大值3函数y的最大值是_答案解析令y0.解得xe.当x>e时，y<0；当x<e时，y>0.y极大值f(e)，在定义域内只有一个极大值，所以ymax.4函数y的值域为_答案2,2解析令y0，得x±1.x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极小值极大值x>0时y>0，x<0时，y<0.结合表可知，x1时，y取极小值也是最小值2；x1时，y取极大值也是最大值2.5已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函

16、数f(x)的极大值，则m的取值范围是_答案4，2解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题设得2，1，故m4，26函数yx2cos x在区间上的最大值是_答案解析令y12sin x0，得x，比较0，处的函数值，得ymaxy.7已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值及f(x)在2,2上的最大值解f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a当x2时，f(x)min40a37，得a3.当x0时，f(x)最大值为3.二、能力提升8设直线xt与函数f

17、(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当MN达到最小时t的值为_答案解析由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MNyt2ln t(t>0)y2t.当0<t<时，y<0，可知y在此区间内单调递减；当t>时，y>0，可知y在此区间内单调递增故当t时，MN有最小值9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln 22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex，ya有交点，而g(x)2ex，易知函数g(x)2xex在(，ln 2)上递增，在(ln 2，)上递减，因而g(x)2xex的值域为

18、(，2ln 22，所以要使函数g(x)2xex，ya有交点，只需a2ln 22即可10如果函数f(x)x3x2a在1,1上的最大值是2，那么f(x)在1,1上的最小值是_答案解析f(x)3x23x，令f(x)0得x0，或x1.f(0)a，f(1)a，f(1)a，f(x)maxa2.f(x)mina.11已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根由

19、根与系数的关系，得(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.令f(x)0，得x3，x1.当x变化时，f(x)和f(x)随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增极大值c5单调递减极小值c27单调递增而f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c54<2|c|即可，当c0时，c54<2c，c>54；当c<0时，c54<2c，c<18.参数c的取值范围是(，18)(54，)12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解(1)f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x1或x3，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有22a20，a2.f(x)x33x29x2.在(1,3)上f(x)0，f(x)在1,2上单调递增又f(x