高等数学理专升本第二学期自学指导

1、（理）专升本和高起本下学期高等数学课程学习指导资料本课程学习指导资料根据该课程教学大纲的要求，参照现行采用教材高等数学（下）(傅英定，钟守铭，电子科技大学出版社，2007年2月)以及课程学习光盘，并结合远程网络业余教育的教学特点和教学规律进行编写，适用于工科类各专业本科下学期学生。第一部分课程的学习目的及总体要求一、课程的学习目的高等数学是大学理、工、医、农、经、管类的一门十分重要的公共基础课。数学是研究现实中数量关系与空间形式的科学，是自然科学的基础和当代技术发展的源泉。当代科学技术的发展对数学知识的需求越来越广、越来越紧密，在高等理工科院校培养高素质人才的过程中，高等数学是一门必备的基础理

2、论课程。在本课程的学习中，要使学生获得必要的高等数学知识，掌握基本理论，还要在数学的抽象性、逻辑性和严密性方面受到必要的熏陶和训练，掌握数学的思想方法，提高数学素养。具有良好的数学基础才能学好专业知识，才能有掌握现代科学技术、从事科学研究的基本能力。二、课程的总体要求本课程的主要内容为：空间解析几何；多元函数微分学及其应用；多元函数积分学及其应用；无穷级数。学习本课程要具有一元函数微积分学的基础。从一元到多元是数学研究的自然发展也是数学揭示自然规律、解决实际问题的客观需要。学习本课程要掌握其主要内容，理解基本概念和基本理论，学会分析问题解决问题的基本方法；了解各部分知识的结构及知识的内在联系；

3、能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷、熟练地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。要学好本课程，除了课堂上的学习和训练之外，还需要课后及时复习巩固、结合教学内容做一定数量的习题。这是学习中十分重要的环节。只有通过练习才能达到对其概念、定理、法则的理解和认识，才能掌握所学的知识。第二部分课程学习的基本要求及重点难点内容分析第七章 向量代数与空间解析几何一、本章学习要求1. 理解向量的概念，会求向量的模、方向余弦。2. 了解向量在轴上的投影。3. 掌握向量的线性运算、向量的数量积以及向量积。4. 掌握平面的点法式方程、一般式方程。了解截距式方程。5. 会求点到平

4、面的距离、平面与平面的夹角。6. 了解直线的一般式方程，掌握标准式方程、参数式方程。7. 会求直线与直线、直线与平面的夹角。8. 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转曲面、椭球面、抛物面、和双曲面的方程及其图形。9. 了解曲线的一般式与参数式方程，会求曲线在坐标面上的投影曲线。二、本章重点难点分析1. 重点：（1）向量的概念，向量的模、方向余弦的计算。（2）向量的运算(线性运算,数量积,向量积)。（3）两向量垂直,平行的充分必要条件。（4）平面的点法式方程与一般式方程、直线的标准式方程与参数式方程。（5）二次曲面的标准方程及其图形特征。2难点：（1）向量在轴上的投影及相关性质。（2）向量积的

5、概念及性质。（3）空间图形的描绘、空间想象能力的培养。三、本章典型例题分析例题1。分析需先求出 A、B 点的坐标.A点坐标可由的坐标形式得到，B点坐标可由M、N点得到.解，例题2已知的夹角；(3) 上的投影.解例题3 设点A位于第一卦限,向径与 x 轴 y 轴的夹角依次为（1）求点A的坐标；（2）已知点B是点A关于xoy面的对称点, 求分析求出向径的坐标形式就可得到点A的坐标，从而得到点B的坐标，再作向量积计算解 已知则因点A在第一卦限 ,故于是故点A的坐标为（2）由于点B是点A关于xoy面的对称点, 则点B 的坐标为 .例题4求过点M0(-1,3,2)且与平面 2x - y + 3z - 4

6、 = 0和x + 2y +2z -1=0 都垂直的平面p的方程.分析只需求出平面p的法向量.该法向量应该垂直于两已知平面的法向量，从而可取两已知平面的法向量的向量积.解 两个已知平面的法向量为故平面p的法向量为平面p的方程为-8(x +1) - (y - 3) +5(z -2) =0,即 8x + y - 5z +15 =0.例题5求过点A(1,0,-5), 垂直于直线，且与平面平行的直线方程.分析需先求出直线的方向向量.该方向向量要垂直于已知直线及平面p的法向量.解，.例题6设一平面平行于已知直线，且垂直于平面求该平面与平面的夹角.分析 两平面的夹角要用两平面的法向量来计算，所以需要先计算未

7、知平面的法向量.解 平面p1的法向量:直线l 的方向向量:取所求平面的法向量.设所求平面与p2的夹角为q，则.例题7说出该曲面的名称, 求该曲面与平面解 该曲面是旋转抛物面.四、本章作业习题7-1A: 2. 3. 4.B: 2. 3.习题7-2A:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. B: 1. 2. 6.习题7-3A: 1. 2. 4. 5. 6. B: 1. 2. 4.习题7-4 A: 2. 3. 6. 7. 9.B: 5.习题7-5A: 1. 2. 3. 5. B: 3.习题7-6A: 1. 2. B: 2.第七章复习题 7. 9. 10. 12. 13.14. 15.

8、16.第八章 多元函数的微分法及其应用一、本章学习要求1.理解多元函数的概念。2了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。4.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。5.会求隐函数（包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数）的偏导数。 6.了解曲线的切线和法平面、曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。7.了解方向导数和梯度的概念及其计算方法。8理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。二、本章重点难点分

9、析1. 重点：（1）偏导数与全微分的概念及计算。（2）多元复合函数的求导法则，隐函数的求导法。（3）多元函数极值的概念，二元函数的无条件极值与多元函数的条件极值问题。（4）空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。2.难点：（1）二重极限。（2）方向导数与全微分的概念。（3）多元复合函数的求导法则，一阶微分形式的不变性。（4）多元复合函数的高阶偏导数。（5）由方程组所确定的隐函数的求导法。三、本章典型例题分析例题1求极限分析这是型的未定式，但不能用洛必塔法则. 可作变量代换，借助于一元函数的极限来计算.解其中. .例题2讨论函数在点(0,0)的连续性分析只需验证在点(0,0)的极限值是否等于

10、其函数值.解取点P(x , y)沿直线 y = k x 趋于点(0, 0),则有k值不同极限不同. 在 (0,0) 点极限不存在. 故函数在该点不连续例题3.分析.需按(0,0)点是分段点，该点处的偏导数要用定义做计算.证明 按定义可知：例题4求函数，当时的全微分.解，则 将代入上式得：例题5分析这是复合函数的求导问题，复合函数求导要弄清函数的复合关系，按链式法则求导.解例题6分析这是复合函数的求导，将作为一、二两个中间变量按链式法则求导.解例题7.分析由于y为x，z的函数，按复合函数的求导法则，再由方程按隐函数求导法则求出代入上式即可。 也可将f, y视为x，z的函数，由方程组确定的隐函数的

11、求导法则来计算.解法一，解法二 由题意f , y为 x,z 的函数，方程组两边对x求导得将点（1,1,1）代入得解方程组得 .例题8求曲面在点的切平面与法线方程。分析先求出曲面在点的法向量，就可得到其切平面与法线方程.解法，则得曲面在点的法向量切平面方程即.法线方程.例题9设是曲面在点P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,求函数在点P 处沿方向的方向导数.分析需先求的表达式，计算其方向余弦，再按方向导数的公式计算.解，方向余弦为而 同理得.例题10求函数的极值.解解方程组得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .求二阶偏导数在点(1,0)处，为极小值;

12、在点(1,2)处，不是极值;在点(-3,0)处不是极值；在点(-3,2)处为极大值.四、本章作业习题8-1A: 1. 3. 4. 6(1),(3),(5). 7. 8.B: 1. 习题8-2A: 1(单号). 2. 4. 6. 8.B: 1. 习题8-3A: 1(双号). 2. 3.B: 3. 习题 8-4 A: 1.2(2),(4). 3(1),(3),(5). 4(1),(3),(6). B: 1(1),(3). 习题8-5A: 1. 2. 3. 4(3),(4).5. 6. 7. B: 2(3). 习题8-6A: 2. 3. 4. 8. 9.习题8-7A: 1. 3. B: 1. 2.

13、3.习题8-8A: 1(1),(3). 2. 5. 7. B: 2. 3.第八章复习题 1. 3.4. 6.2. 第九章 多元函数积分学及其应用一、 本章学习要求1理解二重积分、三重积分的概念与性质。2. 掌握二重积分的计算法（直角坐标与极坐标）；掌握三重积分的计算法（直角坐标、柱坐标与球坐标）。3掌握二重积分的简单应用。4了解对坐标的曲线积分的概念与性质。5掌握对坐标的曲线积分的计算。6. 掌握格林(Gneen)公式。会用曲线积分与路径无关的条件。 二、本章重点难点分析1. 重点：（1）二重积分的概念与计算（直角坐标与极坐标）。（2）三重积分的概念与计算（直角坐标、柱坐标与球坐标）。（3）对

14、坐标的曲线积分的概念与计算。（4）格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。2.难点：（1）二次积分的换序；二重积分的几何与物理应用。（2）三重积分的定限。（3）对坐标的曲线积分的概念、格林公式。三、本章典型例题分析例题1分析计算二重积分需要将积分区域用不等式表示（X型，Y型），以确定积分限.解D既是X型，又是Y型.(1) 先对y积分,则(2) 先对x积分，则例题2计算其中D 是抛物线及直线所围成的闭区域. 分析根据积分区域的特点先对x 后对y 积分，积分区域无须分块，积分较为简便.解 为计算简便, 先对x 后对y 积分, 则例题3分析由于积分无法用初等函数表示出来，所以应该先对y 积分.解所给

15、积分确定的积分区域为.例题4计算二重积分，其中D 为圆周所围成的闭区域.分析积分区域为圆形区域，被积函数为形式，选用极坐标计算较简便.解利用极坐标.原式.例题5计算三重积分，其中W由抛物面与平面所围成.分析积分区域由旋转曲面所围成，被积函数为形式，选用柱坐标计算较简便.解在柱面坐标系下.原式 =例题6分析积分区域W由锥面和球面围成，积分选用球坐标较为简单.解在球坐标中，球面的方程为锥面的方程为例题7计算，其中L为沿抛物线从的一段. 解法一取 x 为参数, .解法二取 y 为参数,例题8计算其中，L是从点A(R, 0)沿上半圆周到点C(-R,0)的有向曲线弧. 分析直接作曲线积分比较困难，可添加

16、辅助线利用格林公式.解添加辅助线: y= 0 ( x:-R®R ).由格林公式又四、本章作业习题-1A:(1),(3). 3.4(1),(2).B: 1(1).习题9-2A: 2(双号). (单号). (单号).(单号). 习题 9-3A: (1),(3). (1),(2). 3. 4(1). 习题 9-4 A: 1(2),(3),2(1),(2),(4). 3(1),(3). 4. 5.习题9-5A:1(单号). 2. 3. 4. B: 2. 习题9-6A:1(2),(3),(4). 2(2). 3(2),(3). 4. 5.第九章复习题 1(1),(3). 2(3),(4). 3

17、. 4. 6.8. 9. 10(2),(3). 11. 12. 13. 14. 15(2),(3). 16(3),(4).第十章 无穷级数一、 本章学习要求1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2.掌握几何级数和P级数的收敛性。3.掌握正项级数的比值审敛法，了解正项级数的比较审敛法及根值审敛法。4.掌握交错级数的莱布尼兹定理。5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7.掌握幂级数收敛区间的求法。8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求幂级数的和函数。9.了解函数展开为泰勒级数的充

18、分必要条件。10.会利用ex、sinx、cosx、ln(1+x)和的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件，会将定义在的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在的函数展开为正弦或余弦级数。二、本章重点难点分析1. 重点：（1）无穷级数收敛、发散以及和的概念。（2）正项级数的比较审敛法与比值审敛法，交错级数的莱不尼兹准则。（3）幂级数的收敛区间，幂级数的和函数与函数的幂级数展开。（4）函数展开为傅里叶级数。2. 难点：（1）正项级数的比较审敛法。（2）幂级数的和函数与函数的幂级数展开。（3）傅里叶级数。三、本章典型例题分析例题1分析根据已知条件只需考

19、察级数的部分和的极限.解例题2判断级数的敛散性.分析可用比值判敛法判定.解 例题3判断级数的敛散性.分析这是正项级数，用比值判敛法极限不存在，可用比较判敛法.解 根据比较判别法，原级数收敛例题4分析这是交错级数，可用莱布尼茨定理判定.解原式即原级数非绝对收敛由莱布尼茨定理知此交错级数收敛，故原级数是条件收敛例题5 的收敛域.分析将级数化为关于t 的幂级数形式，求其收敛域. 再解不等式得到原级数的收敛域.解级数变为当 t = 2 时, 级数为，此级数发散;当t = 2 时, 级数为，此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为 即.例题6分析通过幂级数的逐项求导与逐项积分性将级数化为等比级数求和.解易