高三一轮专题复习基本不等式及其应用有详细答案

1、§7.3基本不等式及其应用1.基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR).(2)2(a，b同号).(3)ab2 (a，bR).(4)2 (a，bR).3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是

2、定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)函数yx的最小值是2.(×)(2)ab()2成立的条件是ab>0.(×)(3)函数f(x)cos x，x(0，)的最小值等于4.(×)(4)x>0且y>0是2的充要条件.(×)(5)若a>0，则a3的最小值为2.(×)(6)a2b2c2abbcca(a，b，cR).()2.当x>1时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是()A.函数f(x)有最小值2B.函数f(x)有最大值2C.函数f

3、(x)有最小值3D.函数f(x)有最大值3答案C3.若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A.a2b2>2abB.ab2C.>D.2答案D解析a2b22ab(ab)20，A错误.对于B、C，当a<0，b<0时，明显错误.对于D，ab>0，2 2.4.设x，yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，则的最大值为()A.2B.C.1D.答案C解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.

4、5.(2013·天津)设ab2，b>0，则当a_时，取得最小值.答案2解析由于ab2，所以，由于b>0，|a|>0，所以2 1，因此当a>0时，的最小值是1；当a<0时，的 最小值是1.故的最小值为，此时即a2.题型一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0，y>0，且2xy1，则的最小值为_；(2)当x>0时，则f(x)的最大值为_.思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式.答案(1)32(2)1解析

5、(1)x>0，y>0，且2xy1，332.当且仅当时，取等号.(2)x>0，f(x)1，当且仅当x，即x1时取等号.思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.(1)已知正实数x，y满足xy1，则(y)·(x)的最小值为_.(2)已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_.答案(1)4(2)3解析(1)依题意知，(y)(x)1122 4，当且仅当xy1时取等号，故(y)·(x)的最小值

6、为4.(2)x>0，y>0且12，xy3.当且仅当时取等号.题型二不等式与函数的综合问题例2(1)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(，1)B.(，21)C.(1,21)D.(21,21)(2)已知函数f(x)(aR)，若对于任意xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围.答案(1)B(2)，)解析(1)由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0，解得k1<3x，而3x2(当且仅当3x，即xlog3时，等号成立)，k1<

7、;2，即k<21.(2)对任意xN*，f(x)3恒成立，即3恒成立，即知a(x)3.设g(x)x，xN*，则g(2)6，g(3).g(2)>g(3)，g(x)min.(x)3，a，故a的取值范围是，).思维升华(1)a>f(x)恒成立a>(f(x)max，a<f(x)恒成立a<(f(x)min；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性.若不等式x2ax10对于一切x(0，)成立，则a的最小值是()A.0B.2C.D.3答案C解析方法一设f(x)x2ax1，则对称轴为x.当，即a1时，f(x)在(0，)上是减函数，应

8、有f()0a，a1.当0，即a0时，f(x)在(0，)上是增函数，应有f(0)1>0恒成立，故a0.当0<<，即1<a<0时，应有f()110恒成立，故1<a<0.综上，a，故选C.方法二当x(0，)时，不等式x2ax10恒成立转化为a(x)恒成立.又(x)x在(0，)上是减函数，(x)min()，(x)max，a.题型三基本不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到

9、最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用基本不等式即可求解.解设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得40x2×45y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy12020S，则S61600，即(10)(16)0，故0<10，从而0<S100，所以S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x90y且xy100，解得x15，即铁栅的长应设计为15米.思维升华对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表

10、示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用基本不等式求最值.(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是_.答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y元，由题意得y2 20.当且仅当(x>0)，即x80时“”成立，故选B

11、.(2)设原价为1，则提价后的价格为方案甲：(1p%)(1q%)，方案乙：(1%)2，因为1%，且p>q>0，所以<1%，即(1p%)(1q%)<(1%)2，所以提价多的方案是乙.忽视基本不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C.5D.6(2)函数y12x(x<0)的最小值为_.易错分析(1)对x3y运用基本不等式得的范围，再对3x4y运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x2.解析(1)由x3y5xy可得1，

12、所以3x4y(3x4y)()2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的最小值是5.(2)x<0，y12x1(2x)()12 12，当且仅当x时取等号，故y有最小值12.答案(1)C(2)12温馨提醒(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变

13、形形式及公式的逆用等，例如：ab()2， (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.已知0<x<1，则x(33x)取得最大值时x的值为()A.B.C.D.答案B解析0<x<1，1x>0.x(33x)3x(1x)32.当且仅当x1x，即x时取等号.2.若函数f(x)x(x>2)在xa处取最小值，则a等于()A.1B.1C.3D.4答案C解析f(x

14、)xx22.x>2，x2>0.f(x)x222 24，当且仅当x2，即x3时，“”成立.又f(x)在xa处取最小值.a3.3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()A.a<v<B.vC.<v<D.v答案A解析设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为，从而v.0<a<b，<，>a，<，即<，a<v<.4.若a>0，b>0，且ln(ab)0，则的最小值是()A.B.1C.4D.8答案C解析由a>0，b>0，ln(ab)0得.故4.当且仅当ab时上

15、式取“”.5.(2012·福建)下列不等式一定成立的是()A.lg>lg x(x>0)B.sin x2(xk，kZ)C.x212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件.当x>0时，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确.二、填空题6.设x，yR，且xy0，则(x2

16、)(4y2)的最小值为_.答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，当且仅当x2y2时“”成立.7.已知函数f(x)x(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，)上的最小值为4，则实数p的值为_.答案解析由题意得x1>0，f(x)x1121，当且仅当x1时取等号，因为f(x)在(1，)上的最小值为4，所以214，解得p.8.某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_.答案20解析设每次购买该种货物x吨，则需要购买

17、次，则一年的总运费为×2，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为x240，当且仅当x，即x20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨.三、解答题9.(1)已知0<x<，求y2x5x2的最大值；(2)已知x>0，y>0，且xy1，求的最小值.解(1)y2x5x2x(25x)·5x·(25x).0<x<，5x<2,25x>0，5x(25x)()21，y，当且仅当5x25x，即x时，ymax.(2)x>0，y>0，且xy1，()(xy)10102 18，当且仅

18、当，即x，y时等号成立，的最小值是18.10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米.总造价f(x)400×(2x)248×2x80×1621 296x12 960

19、1 296(x)12 9601 296×2 12 96038 880(元)，当且仅当x(x>0)，即x10时取等号.当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元.(2)由限制条件知x16.设g(x)x(x16)，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 296×()12 96038 882(元).当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.已知a>0，b>0，若不等式0恒成立，则m的最大值为()A.4B.16C.9 D.3答案B解析因为a>0，b>0，所以由0恒成立得m()(3ab)10恒成立.因为2 6，当且仅当ab时等号成立，所以1016，所以m16，即m的最大值为16，故选B.2.(2013·山东)设正实数x