高三空间向量及其运算

1、复习课：空间向量及其运算教学目标重点：空间向量的概念，空间向量的线性运算及数量积，空间向量的坐标运算.难点：空间向量的基本定理及其应用.能力点:运用向量的知识判断向量的共线与垂直.自主探究点：合理选择基向量法或坐标法来解决几何问题，坐标法中，如何适当建系，正确写出点和向量的坐标.学法与教具1.学法：学生自学，动手总结规律,梳理知识，解决问题.2.教具：投影仪.一【知识结构】共线向量定理空间向量与立体几何空间向量及其运算立体几何中的向量方法空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共面向量定理空间向量基本定理平行与垂直的条件向量夹角与距离直线的方向向量与平面的法向

2、量用空间向量证平行与垂直问题求空间角求空间距离二、【知识梳理】1空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)相等向量：方向相同且模相等的向量(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(4)共面向量：平行于同一个平面的向量2空间向量的线性运算及运算律(1)定义：同平面向量线性运算的定义.(2)运算律：交换律：结合律：数乘分配律：3空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作，且规定ABl两向量的数量积：已知空间两向量，则叫做向量的数量积，记作即：=由上述定义

3、可知两个向量的数量积是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值之积，此定义对于是零向量及共线向量的情况仍成立由此可知零向量与任何向量的数量积均为零由上述定义我们不难得到如下结论，对于两个非零向量有：=(2)空间向量数量积的运算律：交换律: 结合律: 分配律:4基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使(2)共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使(3)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在唯一的有序实数组，使由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成不共面的三向量构成空间的一个基底，任意

4、三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础5空间向量的坐标运算（1）设，则；（2）设，则 = (为坐标原点)（终点坐标减起点坐标）（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式已知，则，已知，则 .三、【范例导航】题型一：空间向量的线性运算【例1】如图所示，在平行六面体中，是的中心，设，试用表示以下各向量： （1）；（2）.【分析】正确运用空间向量的加法运算用已知向量表示出未知向量.【解析】【点评】(1)通过以上表示可以看出，即证明三点共线，为的一个三等分点.(2)解决几何问题的难点是作辅助线，而利用向量解决几何问题恰好回避了这一难点问题，把证明转化为运算【变式训练】 如右图

5、，已知、分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设，试用表示.解:.题型二：共线共面定理的应用【例2】已知、分别是空间四边形的边、的中点，求证：（1）、四点共面；（2）平面；（3）设是和的交点，对空间任一点，有.【分析】四点共面，考虑构造有关向量，然后利用共面向量定理证明【解析】（1）连接，则，由共面向量定理知：在平面上，即、四点共面.（2）因为，所以/.又平面， 平面，所以/平面.（3）连接由（2）知，同理，所以，即且/，所以四边形是平行四边形.所以、交于一点且被平分.故.【点评】证明、四点共面，只须证明即可，即证三个向量共面这也是证明直线与平面平行的方法【变式训练】 如图，在三棱柱中，为

6、边上的中点，试证平面.证明：，则，平面,因此平面.题型三：空间向量数量积的应用【例3】如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点.（1）求证：,；（2）求的长；（3）求异面直线与所成角的余弦值.【分析】（1）可通过证明两直线的方向向量的数量积为0来证明两直线垂直（2）通过求线段的长度，（3）利用向量的数量积求两向量的夹角，转化为两异面直线直线所成的角，注意二者之间的关系.【解析】(1)设,，.由题意可知：，且三向量两两夹角均为60.，.,同理可证.（2）由（1）可知.,的长为.(3)设向量与的夹角为.,=.又，.向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线与所成角的余弦值.【

7、点评】利用向量方法解决几何问题的“三步曲”即：几何问题代数化，进行代数运算，再把代数运算的结果转化几何结论.特别注意本题中异面直线所成的角是锐角或直角，注意其和向量夹角的区别与联系.【变式训练】如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值.【解析】（1）设,则，（2），=2设与夹角为，即与夹角的余弦值为.题型四：空间向量的坐标运算【例4】（1）求与向量共线且满足方程的向量的坐标；（2）已知三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点的坐标使得；（3）已知，求：；与夹角的余弦值；确定，的值使得与轴垂直，且.

8、【分析】本题考综合考察了空间向量的平行、垂直的充要条件以及坐标运算，是空间向量的重点内容，注意运算的准确性.【解析】（1）与共线，故可设，由得，故.（2）设，则，解得点的坐标为.（3）.=,.与夹角的余弦值为-.取轴上的单位向量，.依题意，即，解得.【点评】本题第问也可以先利用向量的运算律展开，再代入坐标运算.【变式训练】如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面内，且，.（1）求的坐标；（2）设和的夹角为，求的值.【解析】 (1)如图所示，过作，垂足为，在中，由,，得，. ,.，即.（2）依题意：，.，.设和的夹角为，则=-.四、【解法小结】（1）对于共面向量定理和空间

9、向量基本定理可对比共线向量定理进行学习理解空间向量基本定理是适当选取基底的依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量作为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”。（2）空间向量的坐标运算是用来解决立体几何中求角度和距离的有力工具，建立适当的空间直角坐标系、准确地写出几何体中各点的坐标是解决问题的关键所在。五、【布置作业】1.已知点、为空间不共面的四点，且向量，向量，则、中不能与构成空间基底的向量是.2.已知向量，其中若，则的值为.3.已知向量满足，则与的夹角为.4.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点、分别是、的中点

10、，则 的值为.5.已知，为线段上一点，且，则点的坐标为.6.、是空间不共面的四点，且满足，则是三角形（用“锐角”、“直角”、“钝角”填空）.7.如图所示，已知空间四边形，为的中点，为的中点，若，则 =. 8.已知，则的最小值为.9.有4个命题：若，则与共面；若与共面，则；若，则、共面；若、共面，则.其中真命题的个数是.10.下列是真命题的命题序号是.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若，则的长度相等而方向相同或相反若向量，满足，且与同向，则,若两个非零向量向量，满足，则,11.若,且，则=,=.12.已知，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是.五、【教后反思】注意到学生在利用空间向量解决问题时，只喜欢用空间向量坐标法，对基向量的思想和做法比较生疏，事实上，在很多几何问题中，基向量不失为一种很好的方法